許楚濱

摘要：《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》是高中新課程標(biāo)準(zhǔn)增加的主要內(nèi)容，是高等數(shù)學(xué)微積分理論在高中數(shù)學(xué)的下移。受限于高中生的認(rèn)知水平與高中課程編排，產(chǎn)生知識(shí)上斷層和方法上的缺失。本文是基于作者的教學(xué)實(shí)踐，就本章內(nèi)容談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)、補(bǔ)充和拓展。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；高中教學(xué)；導(dǎo)數(shù)； 概念； 解題

高中教學(xué)的內(nèi)容是常量數(shù)學(xué)和變量數(shù)學(xué)的初步知識(shí)，是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，高等數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的升華。《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》作為新課標(biāo)新增加的內(nèi)容，實(shí)際上是將高等數(shù)學(xué)《數(shù)學(xué)分析》部分內(nèi)容下移到高中教材上，學(xué)時(shí)上跨越了高校和高中兩個(gè)階段。在實(shí)際的教學(xué)過程當(dāng)中，高等數(shù)學(xué)研究問題的深度和廣度較于高中有較大的優(yōu)越性和基礎(chǔ)性，因此具體概念闡述更加規(guī)范科學(xué)，在解題應(yīng)用方面更能提供方向和深度的拓展。

一、 高等數(shù)學(xué)的邏輯嚴(yán)密性指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)更加嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)

高中數(shù)學(xué)課程在有些知識(shí)點(diǎn)上面邏輯性顯得不夠嚴(yán)謹(jǐn)，且高中教師教學(xué)上偏重學(xué)生的直觀認(rèn)識(shí)，往往會(huì)造成學(xué)生對(duì)某些知識(shí)點(diǎn)，特別是基本概念的理解出現(xiàn)模糊甚至是錯(cuò)誤，給高中教學(xué)帶來負(fù)面的影響。

（一） 關(guān)于切線概念理解和解題誤區(qū)

在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)安排中，由于切線的概念是在模塊Ⅱ引入與介紹的，因此，學(xué)生對(duì)于切線的理解會(huì)借助直線與圓這一直觀的平面幾何模型進(jìn)行識(shí)記。大部分的學(xué)生會(huì)形成這樣的概念：切線就是直線與曲線有唯一交點(diǎn)的直線，而且這一概念在后來的圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的學(xué)習(xí)過程中，尤其是在求閉合曲線的切線問題時(shí)，屢屢得到證明和正確的應(yīng)用，學(xué)生更加確信了對(duì)切線的理解的正確。這一簡(jiǎn)單直接的認(rèn)識(shí)從高等數(shù)學(xué)的角度來看是錯(cuò)誤的，但是，教材上并沒有專門就這一問題與學(xué)生展開探討。比如在解答如下問題時(shí)，離開了解析幾何的閉合曲線，學(xué)生就容易出現(xiàn)錯(cuò)誤：

案例1 已知函數(shù)為f（x）=13x3，求過點(diǎn)P2，83的切線方程。

學(xué)生的常規(guī)錯(cuò)誤解法：f′（x）=x2，所以k=f′（2）=4，由點(diǎn)斜式可得切線方程為y-83=4（x-2）。

再進(jìn)一步整理得標(biāo)準(zhǔn)形式：12x-3y-16=0。

分析：這顯然是一種很常規(guī)的錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的最根本原因就在于對(duì)切線的理解，即“切線就是直線與曲線有唯一交點(diǎn)的直線”。對(duì)此讓我們來看看高等數(shù)學(xué)對(duì)于切線的定義，然后再來得出正確的解法：

如圖1，設(shè)曲線C是函數(shù)y=f（x）的圖像，點(diǎn)P（x0，y0）是曲線C上一點(diǎn)，點(diǎn)Q（x0+Δx，y0+Δy）是曲線C上與點(diǎn)P鄰近的任意一點(diǎn)，作割線PQ，當(dāng)點(diǎn)Q沿著曲線C無(wú)限地走近于點(diǎn)P，割線PQ便無(wú)限地走近于某一極限位置PT，我們把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點(diǎn)P處的切線。

三、 高等數(shù)學(xué)對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)思考

數(shù)學(xué)作為一完整的知識(shí)學(xué)科，高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)是一個(gè)不能割裂的整體。新課程標(biāo)準(zhǔn)將包括微積分、極限、向量和線性規(guī)劃部分下放到高中階段，更加顯得高等數(shù)學(xué)與高中教學(xué)的整體性。如何在教學(xué)實(shí)踐中做好高等數(shù)學(xué)與高中教學(xué)的銜接，利用高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)，筆者僅從一個(gè)高中教師角度提出以下兩點(diǎn)見解。

首先，充分認(rèn)識(shí)到高中數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的關(guān)系，兩者有基礎(chǔ)和升華的關(guān)系，但不是一個(gè)絕然的割裂。固然高等數(shù)學(xué)與高中數(shù)學(xué)在教學(xué)內(nèi)容上有重復(fù)、知識(shí)脫節(jié)和嚴(yán)謹(jǐn)性問題，但高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)高中數(shù)學(xué)教學(xué)有重要意義，這種指導(dǎo)對(duì)于提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平，拓寬學(xué)生解題思路，提高學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)解決問題的能力具有非常深遠(yuǎn)的意義。

其次，要敢于直面教學(xué)中的問題，以問題為導(dǎo)向主動(dòng)向高等數(shù)學(xué)的教材尋求解決辦法。作為一線的教師要將教學(xué)實(shí)踐中的問題區(qū)分為知識(shí)上，還是方法上的問題，進(jìn)行必要的積累，像本例中的案例1屬于學(xué)生典型的對(duì)于“切線”問題認(rèn)知模糊不清，那么教師就應(yīng)以“切線”為問題的索引，翻閱文獻(xiàn)于更高層次的高等數(shù)學(xué)教材中去導(dǎo)求相關(guān)的答案，并做出及時(shí)的教學(xué)調(diào)整，實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對(duì)高中教學(xué)在知識(shí)層面的補(bǔ)充更正，對(duì)概念的厘清。案例4中，是在解題教學(xué)過程中出現(xiàn)了方法的困惑，無(wú)法找到更好的直接解題方法，屬于方法問題，教師結(jié)合個(gè)人的大學(xué)學(xué)習(xí)知識(shí)，從高等數(shù)學(xué)中尋求“極限”的方法引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行更好的解答，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深刻認(rèn)識(shí)。

四、 反思與不足

本文僅僅站在一個(gè)普通高中教師的實(shí)踐基礎(chǔ)上，基于日常教學(xué)與解題中碰到的困難，從學(xué)生的學(xué)習(xí)角度，在《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》的實(shí)例中感悟高等數(shù)學(xué)與高中教學(xué)的連貫性，體驗(yàn)到高等數(shù)學(xué)在知識(shí)和方法上對(duì)高中教學(xué)指導(dǎo)的必要性和實(shí)用性。在理論研究和系統(tǒng)闡述顯然有明顯的不足，有待在后續(xù)教學(xué)中進(jìn)一步的積累總結(jié)。

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