摘要：三角形和二次函數(shù)兩塊內(nèi)容的綜合是初中數(shù)學(xué)最突出的綜合內(nèi)容。本文通過確定直角三角形在直角坐標(biāo)系中的位置、特征，介紹題型，剖析解法，對(duì)“K”-型圖相似三角形在二次函數(shù)中的應(yīng)用進(jìn)行了分析和總結(jié)。

關(guān)鍵詞：“K”-型圖；相似三角形；二次函數(shù)

直角三角形的有關(guān)知識(shí)是初中平面幾何中的重點(diǎn)內(nèi)容，而二次函數(shù)則是初中代數(shù)中的重點(diǎn)，這兩塊內(nèi)容的綜合是初中數(shù)學(xué)最突出的綜合內(nèi)容。近年來，這類綜合問題是中考數(shù)學(xué)試卷的壓軸題，如何挖掘幾何條件，并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵。以下是筆者多年教學(xué)過程中對(duì)“K”-型圖相似三角形在二次函數(shù)中應(yīng)用的總結(jié)，以望有助于中考復(fù)習(xí)。

一、 “K”-型模型圖

“K”-型圖是具有“K”字形狀的圖像，一條直線的同側(cè)的兩條直線互相垂直。如下圖：

在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，有意識(shí)提煉一些典型的數(shù)學(xué)模型可以有效提高解題速度，化繁為簡(jiǎn)，提高準(zhǔn)確率?！癒”-型圖是平面幾何中比較常見的一種圖形，

Symbol`@@ 最早出現(xiàn)在全等三角形，如果能在初始接觸時(shí)就加以有意識(shí)訓(xùn)練強(qiáng)化“等角的余角相等”這一性質(zhì)，再在后來的相似中熟練運(yùn)用，并有目的地強(qiáng)調(diào)角、邊關(guān)系，就能準(zhǔn)確寫出比例關(guān)系，為最后階段的解決二次函數(shù)中的有關(guān)問題夯實(shí)基礎(chǔ)。

1. 若∠APC=90，求證兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例

證明：如圖（1）方法（一）

∵∠APC=90°

∴∠1+∠2=90°

又∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3（同角的余角相等）

又∠B=∠D

∴△ABP∽△PDC

∴ABBP=PDCD

方法（二）如圖示

∠1+∠2=90°

∠3+∠2=90°

∴∠1=∠3

在Rt△ABP和Rt△PDC中

tan∠1=tan∠3

即ABBP=PDCD

圖（3）中，同理∠1=∠3

∴tan∠1=tan∠3

即ABBP=PDCD

2. 判定∠APC=90°

（1） 圖（1）中已知∠1=∠3，求證∠APC=90°

證明：∵∠3+∠2=90°

又∠1=∠3

∴∠1+∠2=90°

∴∠APC=90°

（2） 圖（1）中已知ABBP=PDCD，求證∠APC=90°

證明：方法（一）∵ABBP=PDCD

又∠B=∠D=90°

∴△ABP∽△PDC

∴∠1=∠3

又∠3+∠2=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠APC=90°

方法（二）在Rt△ABP和Rt△PDC中

∵ABBP=PDCD

即tan∠1=tan∠3

∴∠1=∠3

又∠3+∠2=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠APC=90°

二、 “K”-型圖在二次函數(shù)中的應(yīng)用

最近幾年，全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)試卷的二次函數(shù)壓軸題中頻繁出現(xiàn)判斷三角形形狀（直角三角形）和求構(gòu)成直角三角形動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。此類問題綜合性強(qiáng)，且?guī)в幸欢ǖ碾y度，通常的方法是利用勾股定理三邊關(guān)系求解，而初中階段直角坐標(biāo)系中，學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)兩點(diǎn)間距離，用學(xué)生已有知識(shí)也可以給出方法，但過程較長(zhǎng)。因此更多老師就直接給出高中知識(shí)的兩點(diǎn)間距離公式，讓學(xué)生死記硬背，算出或表示出三角形三邊的長(zhǎng)度，此方法運(yùn)算量很大，稍有不慎會(huì)算出錯(cuò)誤答案。甚至有更復(fù)雜的方法，在這里就不一一贅述。其實(shí)在實(shí)際解題時(shí)，若能把握問題的關(guān)鍵，排除圖形干擾，在復(fù)雜的圖形中構(gòu)造出“K”-型圖，就可以化難為易，快速解題。

1. 二次函數(shù)圖像中判定直角三角形

（1） 已知：直線AB與二次函數(shù)y=14x2的圖形交于A（-2，1），B（8，16）兩點(diǎn)。求證：△AOB為直角三角形。

【分析】：分別向x軸引垂線構(gòu)造“K”-型圖，有目的的計(jì)算一對(duì)角的正切值。

證明：分別過點(diǎn)A、B作AC⊥x軸，BD⊥x軸，垂足分別為C、D。

在Rt△AOC和Rt△OBD中

AC=1，OC=2，OD=8，BD=16

∴ACOC=ODBD=12

即tan∠AOC=tan∠OBD

∴∠AOC=∠OBD

又∠OBD+∠BOD=90°

∴∠AOC+∠BOD=90°

∴∠AOB=90°

即△AOB為直角三角形

（2） 如圖示，已知二次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)B（3，0）C（0，3）D（1，4），連接DC，BC，DB，求證：△BCD是直角三角形。

【分析】：向y軸引垂線構(gòu)造“K”-型圖。

證明：過點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E在Rt△DEC和Rt△COB中

DE=1CE=1OC=3OB=3

∴∠DCE=∠BCO=45°

∴∠DCE+∠BCO=90°

∴∠DCB=90°

∴△BCD是直角三角形

2. 求構(gòu)成直角三角形動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)

（1） 已知如圖是拋物線y=-12x2圖像，將一把直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點(diǎn)，過B作BF⊥x軸于點(diǎn)F，測(cè)得OF=1，寫出此時(shí)點(diǎn)B和A的坐標(biāo)。

【分析】向x軸引垂線構(gòu)造“K”-型圖。endprint

解：過A點(diǎn)做AE⊥x軸，垂足為E

∵B點(diǎn)橫坐標(biāo)是1

∴B（1，-12）

設(shè)A（x，-12x2）

則OF=1，F(xiàn)B=12，OE=-x，AE=12x2

∵∠AOB=90°

∴∠FOB=∠EAO

∴tan∠FOB=tan∠EAO

∴BFOF=OEAE

即12=-x12x214x2+x=0x1=0（舍去）x2=-4

∴A（-4，-8）

（2） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=kx+n（k≠0）經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，已知A（1，0）C（0，3），且BC=5。

①求拋物線解析式；

②在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得B，C，P三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

【分析】直角頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的向坐標(biāo)軸引垂線，構(gòu)造“K”-型圖，直角頂點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，過直角頂點(diǎn)做坐標(biāo)軸平行線，再向平行線引垂線構(gòu)造“K”-型圖。

解：①∵BC=5OC=3

∴OB=4

∴B（4，0）

y=a（x-1）（x-4）經(jīng)過C（0，3）

4a=3

a=34

∴拋物線解析式為y=34（x-1）（x-4）=34x2-154x+3

對(duì)稱軸x=52

②設(shè)P（52，y）

1）以C為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥CB交對(duì)稱軸于P1，即當(dāng)∠P1CB=90°時(shí)，過點(diǎn)P1作P1D⊥y軸，垂足為D。如圖示：

在Rt△P1DC和Rt△COB中

∠DCP1=∠CBO

∴tan∠DCP1=tan∠CBO

即52y-3=34

y=193

∴P152，193

2） 以B為直角頂點(diǎn)，過點(diǎn)B作BP⊥CB交對(duì)稱軸于P2，即當(dāng)∠P2BC=90°時(shí)，過點(diǎn)B作MN∥y軸，分別過P2、C向MN引垂線，如圖示：

同理∠1=∠2

tan∠1=tan∠2

即34=32-y

y=-2∴P252，-2

3） 當(dāng)P為直角頂點(diǎn)，即∠CP3B=90°時(shí)，過P3作P3E∥x軸，交y軸于E、交MN于Q。如圖示：

∠3=∠4

∴tan∠3=tan∠4

即y-352=32y

4y2-12y-15=0

y1=3+262

y2=3-262

∴P352，3+262P452，3-262

∴P152，193，

P252，-2，

P352，3+262，

P452，3-262

通過以上例題分析，遇到此類問題，我們只需寫出或表示出“K”-型圖里與坐標(biāo)軸平行兩個(gè)直角三角形直角邊的長(zhǎng)度（注意不需要斜邊），有目的算出一對(duì)對(duì)應(yīng)銳角的正切值，從而判斷角的關(guān)系及三角形的形狀；或者利用等角的正切值相等列出比例關(guān)系，算出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)。此方法步驟簡(jiǎn)單，學(xué)生容易掌握，更重要的是可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)自信心。

需要強(qiáng)調(diào)的是，此方法中一直沿用對(duì)應(yīng)角的正切值，而非相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，是因?yàn)椋?/p>

（1） 正切值固定于三角形兩條直角邊，直角邊都平行于坐標(biāo)軸，計(jì)算和表示都非常簡(jiǎn)單，可以一眼看出結(jié)果或表達(dá)式。

（2） 等角的正切固定于兩個(gè)直角三角形中對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊鄰邊，以免學(xué)生常常把對(duì)應(yīng)邊混淆出錯(cuò)。

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作者簡(jiǎn)介：

閆嵐子，中學(xué)高級(jí)教師，西藏拉薩市江蘇中學(xué)。endprint