虎永強(qiáng)

摘 要：在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，與概率相關(guān)的知識(shí)是比較獨(dú)特的。頻率和概率兩個(gè)概念之間的關(guān)系是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，能否攻克這個(gè)難點(diǎn)直接影響著“用頻率估計(jì)概率”課程的教學(xué)。由于北師大版的數(shù)學(xué)教材將概率知識(shí)分別分布在七年級(jí)下冊(cè)和九年級(jí)上冊(cè)中，因此要注重前后知識(shí)的聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：頻率；概率；初中數(shù)學(xué)

在初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，與概率相關(guān)的知識(shí)是比較獨(dú)特的。這部分知識(shí)一方面與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，另一方面對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)提出了較高的要求。這部分知識(shí)需要的是嚴(yán)密的邏輯推演能力、基于此的數(shù)據(jù)計(jì)算能力以及一定的形象分析能力?！坝妙l率估計(jì)概率”是北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教材第三章第二節(jié)的教學(xué)內(nèi)容。這一章是關(guān)于概率的知識(shí)。這一章的知識(shí)和同版本七年級(jí)下冊(cè)第六章的知識(shí)相關(guān)。因此，在講授“用頻率估計(jì)概率”課程時(shí)應(yīng)當(dāng)首先復(fù)習(xí)與之相關(guān)的已學(xué)知識(shí)。

一、復(fù)習(xí)與新課程相關(guān)的已學(xué)內(nèi)容

在復(fù)習(xí)七年級(jí)下冊(cè)第六章的知識(shí)時(shí)，要重點(diǎn)讓學(xué)生回憶、再現(xiàn)和理解頻率和概率兩個(gè)概念之間的關(guān)系，即二者之間的聯(lián)系和區(qū)別。既可以讓學(xué)生翻閱七年級(jí)下冊(cè)的教材重讀相關(guān)章節(jié)，也可以直接提問(wèn)或讓能迅速回憶起相關(guān)知識(shí)的學(xué)生主動(dòng)回答這個(gè)問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，可以讓有不同意見的同學(xué)進(jìn)行補(bǔ)充。

當(dāng)學(xué)生對(duì)頻率和概率的知識(shí)進(jìn)行了回憶后，教師可以進(jìn)行如下總結(jié)：第一，頻率就是不確定事件A發(fā)生的次數(shù)m與總試驗(yàn)次數(shù)n的比值。頻率可以用來(lái)表示不確定事件A在下一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性。第二，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來(lái)越多時(shí)，m/n的值即頻率會(huì)越來(lái)越接近于某一個(gè)固定值。這個(gè)固定值就是概率。概率同樣可以用來(lái)表示不確定事件A在下一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性。第三，頻率和概率的聯(lián)系是：在試驗(yàn)次數(shù)接近于無(wú)限次時(shí)，頻率無(wú)限接近于概率。第四，頻率和概率的區(qū)別是：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)不同時(shí)，頻率可能不同，而概率是恒定不變的。第五，有些不確定事件的概率是可以進(jìn)行計(jì)算的，如等可能事件；而有一些不確定事件的概率是無(wú)法進(jìn)行計(jì)算的，只能用頻率估計(jì)概率。進(jìn)行上述總結(jié)，可以讓學(xué)生明確頻率和概率的關(guān)系，為之后的教學(xué)進(jìn)行鋪墊。

二、以問(wèn)題啟發(fā)學(xué)生思考如何“用頻率估計(jì)概率”

1.拋出需解決問(wèn)題，設(shè)置引導(dǎo)性問(wèn)題

先拋出教材中的“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題，讓同學(xué)們進(jìn)行思考：

一個(gè)口袋中有紅球、白球共10個(gè)，這些球除顏色外都相同。如果不將球倒出來(lái)數(shù)，那么你能設(shè)計(jì)一個(gè)試驗(yàn)方案，估計(jì)其中紅球和白球的比例嗎？

在給出問(wèn)題后，教師可以通過(guò)由淺入深地設(shè)置問(wèn)題以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，如：

第一，什么是不確定事件？“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題中的不確定事件具體指什么？

第二，等可能事件的特征有哪些？

第三，“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題中的不確定事件是等可能事件嗎？

第四，應(yīng)該怎樣設(shè)計(jì)試驗(yàn)來(lái)計(jì)算“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題中不確定事件的頻率呢？

2.引導(dǎo)性問(wèn)題的設(shè)置目的及解釋

提出上述四個(gè)問(wèn)題的目的在于：

第一，讓學(xué)生深化對(duì)不確定事件的理解。在“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題中，不確定事件是指從袋中摸出一個(gè)球?yàn)榧t球或摸出一個(gè)球?yàn)榘浊颉?/p>

第二，讓學(xué)生理解等可能事件的特征，進(jìn)而明確就已學(xué)知識(shí)而言，只可以計(jì)算等可能事件的概率。等可能事件的特征有兩點(diǎn)：一是一個(gè)試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果有n種，每次試驗(yàn)有且只有其中的一種結(jié)果出現(xiàn)；二是每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

第三，讓學(xué)生理解“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題中的不確定事件不是等可能事件。在“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題中，從袋中摸出一個(gè)球?yàn)榧t球?yàn)椴淮_定事件。按照等可能事件的兩個(gè)特征進(jìn)行比對(duì)會(huì)發(fā)現(xiàn)：第一，在摸球試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有2種，即紅球或白球。每次從袋中摸球或者是紅球或者是白球，結(jié)果只可能是二者之一。這一點(diǎn)與等可能事件的第一個(gè)特征相符。第二，從袋中摸出紅球和白球的可能性是否相同是不確定的。因?yàn)榇屑t白球的具體個(gè)數(shù)是不明確的，這就使得每次試驗(yàn)摸出紅球和白球的可能性存在不確定性。這一點(diǎn)與等可能事件的第二個(gè)特征不相符。因此，“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題中的不確定事件不是等可能事件，無(wú)法計(jì)算其概率。

第四，在前述三個(gè)問(wèn)題的鋪墊下來(lái)解決“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題。在設(shè)計(jì)試驗(yàn)時(shí)，可以讓學(xué)生參考七年級(jí)下冊(cè)第六章第二節(jié)開篇的試驗(yàn)。根據(jù)這個(gè)試驗(yàn)可以做如下設(shè)計(jì)：

從袋中摸出一個(gè)球并記錄下球的顏色為1次試驗(yàn)。以10n次試驗(yàn)為一組，當(dāng)n=1，2，3，……時(shí)分別計(jì)算摸出紅球的頻率、摸出白球的頻率、紅白球的比例。在此基礎(chǔ)上，估計(jì)紅白球在下一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率以及紅白球的比例。試驗(yàn)需要的記錄表格可以設(shè)計(jì)成如下樣式：

三、需要注意的問(wèn)題

第一，通過(guò)上述內(nèi)容可以看出，學(xué)生對(duì)于基本概念的理解對(duì)于理解問(wèn)題和解決問(wèn)題是十分重要的。在解決“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題時(shí)，涉及對(duì)“不確定事件”“頻率”“概率”“等可能事件”等概念的理解。在此過(guò)程中，需著重理解各個(gè)概念間的聯(lián)系和區(qū)別?？梢姡趯W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中對(duì)于基本概念的理解是十分重要的。因此，在教學(xué)過(guò)程中，要著重強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基本原理、基本方法的理解。

第二，要重視通過(guò)設(shè)置問(wèn)題對(duì)學(xué)生進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué)。當(dāng)學(xué)生面對(duì)“估計(jì)紅白球比例”問(wèn)題無(wú)從下手時(shí)，教師就應(yīng)當(dāng)將這個(gè)問(wèn)題分解成幾個(gè)具有難度梯度和遞進(jìn)關(guān)系的小問(wèn)題，逐步地啟發(fā)學(xué)生從基本概念入手，一步一步地接近需要解決問(wèn)題的核心。這樣可以緩解學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)問(wèn)題的畏難心理，培育學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。在這個(gè)過(guò)程中，教師需要能夠準(zhǔn)確地預(yù)估學(xué)生在解決目標(biāo)問(wèn)題時(shí)可能會(huì)遇到的“瓶頸”，以此為根據(jù)設(shè)置具有啟發(fā)性的問(wèn)題，這樣才能發(fā)揮啟發(fā)式教學(xué)的效果。

參考文獻(xiàn)：

[1]丁楓.初中階段概率教學(xué)問(wèn)題分析及策略研究[D].山東師范大學(xué)，2008.

[2]馮樹超.初中統(tǒng)計(jì)與概率課堂教學(xué)準(zhǔn)備策略研究[D].合肥師范學(xué)院，2015.

編輯 趙飛飛