【摘要】導(dǎo)數(shù)是刻畫(huà)變化率問(wèn)題的重要模型，在數(shù)學(xué)、物理及其他學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。但在中學(xué)階段，由于學(xué)生不具備極限等理論知識(shí)，因而在學(xué)習(xí)這一概念時(shí)會(huì)有很大的困難。那么在新課標(biāo)背景下，教師應(yīng)該如何把握教學(xué)的“度”，而學(xué)生又如何學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容呢？這是值得我們每一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師思考的問(wèn)題。本文我將針對(duì)上述問(wèn)題，結(jié)合自己在教學(xué)中的實(shí)踐提出幾點(diǎn)思考。

【關(guān)鍵詞】新課標(biāo) 導(dǎo)數(shù) 實(shí)踐 反思

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）52-0179-03

為了描述現(xiàn)實(shí)世界中運(yùn)動(dòng)變化的現(xiàn)象，數(shù)學(xué)中引入了函數(shù)這一重要概念。通過(guò)對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，我們把握事物變化的規(guī)律。對(duì)于基本初等函數(shù)，研究方法是通過(guò)圖像研究性質(zhì)。對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的函數(shù)，導(dǎo)數(shù)成為了研究這類函數(shù)性質(zhì)非常重要的工具。導(dǎo)數(shù)有著豐富的實(shí)際背景，凡是變化率的問(wèn)題，本質(zhì)上都是導(dǎo)數(shù)的問(wèn)題。那么，在新課標(biāo)下，如何學(xué)好導(dǎo)數(shù)這部分內(nèi)容呢？本文我將從以下幾個(gè)方面進(jìn)行分析。

一、導(dǎo)數(shù)如何教

新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)教材對(duì)于導(dǎo)數(shù)的編排下了很大的功夫，并不是把數(shù)學(xué)分析中導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容縮編后加以簡(jiǎn)單下放，而是充分考慮到高中學(xué)生的認(rèn)知水平和思維特點(diǎn)，考慮微積分思想與初等數(shù)學(xué)方法的共存，考慮到高中課程的學(xué)時(shí)分配，對(duì)導(dǎo)數(shù)的教學(xué)提出了明確而具體的要求，這就要求我們?cè)诮虒W(xué)中做到以下幾點(diǎn)：

1.強(qiáng)調(diào)過(guò)程，淡化概念

在數(shù)學(xué)分析中，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的安排順序是：數(shù)列的極限→函數(shù)的極限→函數(shù)的連續(xù)性→導(dǎo)數(shù)→導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。而在人教版課本中，導(dǎo)數(shù)是由實(shí)際情境出發(fā)，沿著平均變化率→瞬時(shí)變化率→導(dǎo)數(shù)的概念→導(dǎo)數(shù)的幾何意義→導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用這一思路發(fā)展的，充分體現(xiàn)了由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法。

設(shè)想一下，如果按照數(shù)學(xué)分析的方法講導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的極限和函數(shù)的連續(xù)性不可避免，如果拋給高中生“對(duì)任意，存在一個(gè)使得當(dāng)時(shí)，便有”這樣的問(wèn)題，多少學(xué)生會(huì)感到絕望，學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的興趣從一開(kāi)始就被澆滅了。因此，高中教材大膽逾越極限的嚴(yán)格定義，從兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題出發(fā)（氣球膨脹率問(wèn)題和高臺(tái)跳水瞬時(shí)速度問(wèn)題），經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道導(dǎo)數(shù)即瞬時(shí)變化率，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。以變化率為核心，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程中，在解決認(rèn)知沖突的矛盾中，在已有的平均變化率知識(shí)基礎(chǔ)上積極探索。

2. 突出應(yīng)用，弱化嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)是講究精確與嚴(yán)密的一門科學(xué)，數(shù)學(xué)的精確性表現(xiàn)在數(shù)學(xué)的邏輯推理和數(shù)學(xué)結(jié)論的確定無(wú)疑和無(wú)可爭(zhēng)辯。數(shù)學(xué)分析中的導(dǎo)數(shù)對(duì)概念、性質(zhì)和公式都有嚴(yán)格的定義和證明。但是在高中課程中，由于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維水平的局限性，導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的嚴(yán)謹(jǐn)性必須要弱化，弱化的對(duì)象主要在導(dǎo)數(shù)的概念及其計(jì)算公式上。

事實(shí)上，《課標(biāo)》中除了要求對(duì)五個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)由瞬時(shí)變化率推導(dǎo)外，其它則只需能利用給出的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，包括簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則也是直接給出公式的。這都說(shuō)明在新教材中，強(qiáng)調(diào)的是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念本質(zhì)的理解，真正的落腳點(diǎn)是希望學(xué)生能利用導(dǎo)數(shù)解釋生活中大量存在的變化率問(wèn)題，而非這些公式的嚴(yán)格證明。因而教學(xué)中不必舍本逐末，對(duì)于本質(zhì)的問(wèn)題應(yīng)該迎難而上，對(duì)于推導(dǎo)公式的問(wèn)題可以暫時(shí)緩緩。

3. 強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，適度形式

“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)，注意適度形式化”是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)課程的一個(gè)基本理念，此理念在導(dǎo)數(shù)這里體現(xiàn)的可謂是淋漓盡致。

在教學(xué)中，我們可從物理中的平均速度類比得到平均變化率，那么如何順利過(guò)渡到瞬時(shí)變化率呢？注意，這里出現(xiàn)了極限符號(hào)，這是導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，對(duì)于此極限符號(hào)該講到什么程度呢？把握不好的話就牽涉到數(shù)學(xué)分析中的左極限、右極限了。實(shí)際上，對(duì)于高中生來(lái)講，最高效的解決方案就在課本中。

在高臺(tái)跳水問(wèn)題中，先計(jì)算某一時(shí)間段內(nèi)的平均速度，然后時(shí)間間隔越來(lái)越小，學(xué)生在經(jīng)歷計(jì)算、觀察、比較、分析之后發(fā)現(xiàn)無(wú)論是從左邊還是右邊趨近一個(gè)時(shí)刻時(shí)，平均速度都會(huì)無(wú)限逼近一個(gè)確定的常數(shù)，這個(gè)常數(shù)實(shí)質(zhì)上就是這一時(shí)刻的瞬時(shí)速度。平均速度和瞬時(shí)速度的關(guān)系其實(shí)就是由平均變化率向瞬時(shí)變化率過(guò)渡的一個(gè)影子和模板。另外，下節(jié)在研究導(dǎo)數(shù)幾何意義時(shí)，我們又從圖形角度進(jìn)一步理解極限和導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)?？傊诟咧薪虒W(xué)中，完全沒(méi)有必要人為加深極限這一概念，重要的是透過(guò)現(xiàn)象看到本質(zhì)，極限就是無(wú)限逼近的思想，導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)確定的常數(shù)，是瞬時(shí)變化率，是在這個(gè)點(diǎn)處切線的斜率，反映在這個(gè)點(diǎn)附近函數(shù)的變化情況。

二、學(xué)生如何學(xué)

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，恰恰微積分這部分內(nèi)容是非常好的契機(jī)。導(dǎo)數(shù)有著豐富的實(shí)際背景，且在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)相當(dāng)好用，高二的學(xué)生對(duì)它可謂是愛(ài)不釋手。可是另一方面，導(dǎo)數(shù)屬于微分領(lǐng)域，它的概念與本質(zhì)對(duì)于高中生仍然有一定的難度。那么，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，應(yīng)該如何把握呢？

1.聯(lián)系實(shí)際，抓住本質(zhì)

導(dǎo)數(shù)來(lái)源于生活，氣球的膨脹率問(wèn)題就是人們的生活經(jīng)驗(yàn)，物理學(xué)中處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物體就要分析速度及其加速度，化學(xué)中的平均反應(yīng)速率問(wèn)題，甚至行星的運(yùn)動(dòng)、熱傳導(dǎo)問(wèn)題等等，本質(zhì)都是數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)解決的是函數(shù)的核心問(wèn)題：函數(shù)到底是怎么變化的？它是增還是減？增減的范圍是什么？增減的快慢如何？我們最終得到的結(jié)果非常明了：由導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可知函數(shù)是增還是減，由導(dǎo)數(shù)絕對(duì)值的大小可知函數(shù)變化得快還是慢。人教版2-2課本上有一道例題，雖然簡(jiǎn)單，但很能說(shuō)明問(wèn)題。

例：將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果在第時(shí)，原油的溫度（單位：℃）為。計(jì)算第2h和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義。

解析：這里還沒(méi)有學(xué)到導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式，通過(guò)計(jì)算瞬時(shí)變化率可得。意義是在第2h附近，原油溫度大約以3℃/h的速率下降；在第6h附近，原油溫度大約以5℃/h的速率在上升。endprint

再如，課本另一道練習(xí)題也恰如其分得說(shuō)明了導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)。

例：如圖，直線與圓C，當(dāng)從開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)（轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)90°）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖象大致是（ ）。

解析：對(duì)于函數(shù)圖象高中生通常的做法是求出函數(shù)解析式，可是此題完全是根據(jù)變化率，即變化的快慢來(lái)解決的。

總之學(xué)生要想學(xué)好導(dǎo)數(shù)，不至于流于形式或者套路，必須得吃透這一本質(zhì)問(wèn)題。

2.重視基礎(chǔ)，理清關(guān)系

學(xué)完導(dǎo)數(shù)的概念之后，緊接著就要利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，包括增減性、極值以及最值問(wèn)題。無(wú)論是具體的函數(shù)還是實(shí)際問(wèn)題抽象出來(lái)的函數(shù)解析式，在研究其性質(zhì)時(shí)，最起碼應(yīng)該先求函數(shù)的定義域，這一點(diǎn)很多同學(xué)都失誤了，直接造成了函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或者極值點(diǎn)出現(xiàn)錯(cuò)誤。因此，高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)該重視基礎(chǔ)和解題習(xí)慣的養(yǎng)成。另外，對(duì)于增減性、極值及其最值，它們?nèi)咧g是息息相關(guān)的，比如對(duì)于增減性的研究等價(jià)于在定義域范圍內(nèi)解兩個(gè)不等式和；是函數(shù)有極值的必要不充分條件；在閉區(qū)間的最值來(lái)源只能是極值點(diǎn)或者端點(diǎn)處。理清這些關(guān)系，解決基礎(chǔ)問(wèn)題就會(huì)信手拈來(lái)。

3.舉一反三，歸納反思

當(dāng)能利用導(dǎo)數(shù)解決一些基礎(chǔ)問(wèn)題時(shí)，千萬(wàn)不可得意忘形。我們需要時(shí)時(shí)反思，解決一類問(wèn)題的通法是什么？易錯(cuò)點(diǎn)是什么？反思越多，對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解就越深刻，進(jìn)而對(duì)函數(shù)的理解就越深刻。函數(shù)才是數(shù)學(xué)的核心，導(dǎo)數(shù)只不過(guò)是研究函數(shù)性質(zhì)的工具而已。在高考所謂的壓軸題中，充分體現(xiàn)的是導(dǎo)數(shù)的工具性，真正的難點(diǎn)仍然在于函數(shù)本身，在于方程、函數(shù)、不等式之間的關(guān)系上。

三、導(dǎo)數(shù)如何用

1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)

例：函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是_________。

解析：對(duì)于三次函數(shù)的研究是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一個(gè)很好的體現(xiàn)。對(duì)于三次函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，只需畫(huà)出函數(shù)簡(jiǎn)圖結(jié)果便一目了然。

定義域?yàn)镽

可得或；當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。

因而在上遞增，在上遞減，在上遞增。

因而在處取得極大值，且，此時(shí)可做函數(shù)簡(jiǎn)圖，由圖象可得此函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。

2.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例：證明：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立。

解析：這類題通常的做法是構(gòu)造新函數(shù)，求函數(shù)在已知區(qū)間上的最值，解答的關(guān)鍵在于找到函數(shù)在什么時(shí)候等于0。

構(gòu)造函數(shù)，定義域?yàn)椤?/p>

當(dāng)時(shí)，恒大于0，因而在上單調(diào)遞增，所以，原不等式成立。

3.利用導(dǎo)數(shù)解決幾何問(wèn)題

例：在上求一點(diǎn)P，使P到直線的距離最短？

解析：解析幾何中的距離問(wèn)題有很多解法，對(duì)于拋物線來(lái)講，導(dǎo)數(shù)提供了一種非常便利的解法，這里利用的是導(dǎo)數(shù)的幾何意義。原理是將直線平移至與曲線相切的位置，此時(shí)切點(diǎn)恰好就是所求的點(diǎn)。

，可得，因而所求的點(diǎn)P 為（2，4）。

4.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)綜合性問(wèn)題中的使用

這類問(wèn)題中著重體現(xiàn)的是導(dǎo)數(shù)的工具性，其核心是代數(shù)中函數(shù)、方程、不等式之間的關(guān)系，很多時(shí)候用到分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等高中數(shù)學(xué)中重要的思想，具有一定難度。

例：（2015年寧夏高考題21）設(shè)函數(shù)。

（1）證明：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

（2）若對(duì)于任意，都有，求m的取值范圍。

解析：此題作為高考?jí)狠S，難度很大，許多同學(xué)第（1）問(wèn)都證不出來(lái)?？梢园l(fā)現(xiàn)，高考中的導(dǎo)數(shù)題目是跳脫常規(guī)的，必須要建立在對(duì)于函數(shù)的研究方法非常熟悉的基礎(chǔ)上。

定義域?yàn)镽。

（1）當(dāng)時(shí)，，明顯結(jié)論成立。

若，則當(dāng)時(shí)，，，于是，則；當(dāng)時(shí)，，，于是，則，因而結(jié)論成立。

若，則當(dāng)時(shí)，，，于是，則；當(dāng)時(shí)，，，于是，則，因而結(jié)論成立。

綜上，無(wú)論m取任何實(shí)數(shù)，原結(jié)論都成立。

（2）由（1）可知，對(duì)任意的m，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因而在處取到最小值。所以對(duì)于任意，的充要條件是，即。

構(gòu)造函數(shù)，則，易知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；又，因而當(dāng)時(shí)，。

當(dāng)時(shí)，，則充要條件成立；

當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性，，即；

當(dāng)時(shí)，，即。

綜上，m的取值范圍是。

以上只舉到了導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的一些方面，在具體解題中，還需仔細(xì)分析問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)難點(diǎn)，然后開(kāi)動(dòng)腦筋擊破難點(diǎn)，在平常做題的過(guò)程要注意歸納總結(jié)，體會(huì)高中數(shù)學(xué)中各種解題思想方法。

由平均速度到瞬時(shí)速度，由平均變化率到瞬時(shí)變化率，由割線斜率到切線斜率，這一過(guò)程非常漂亮，足可見(jiàn)新教材對(duì)于導(dǎo)數(shù)的編寫(xiě)下的功夫。學(xué)生剛開(kāi)始接觸導(dǎo)數(shù)的興奮也仍然歷歷在目，但是到了高三總復(fù)習(xí)階段學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用平淡無(wú)奇，含參量的問(wèn)題非常容易出錯(cuò)，稍復(fù)雜的問(wèn)題感到無(wú)從下手，造成這些問(wèn)題的根本原因還是高中生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的理解并不到位，對(duì)于函數(shù)的研究仍然不得要領(lǐng)。因而在教學(xué)中，必須加強(qiáng)基礎(chǔ)概念的理解和深化，使得學(xué)生能從學(xué)數(shù)學(xué)到應(yīng)用數(shù)學(xué)解決生活中的實(shí)際問(wèn)題的轉(zhuǎn)化。對(duì)于這一目標(biāo)，我們高中一線教師的道路還非常漫長(zhǎng)。

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作者簡(jiǎn)介：劉芳 （1983.8-）女 ，中學(xué)二級(jí)教師，大學(xué)本科，銀川唐徠回民中學(xué)，高中數(shù)學(xué)教育。endprint