張芳

[摘要]文章主要運(yùn)用了多元函數(shù)極值的判定方法去解決在實(shí)際生活中利潤(rùn)最大化、效用最大化以及物理學(xué)方面的問(wèn)題。

[關(guān)鍵詞]多元函數(shù);極值;判定方法;應(yīng)用

一、利潤(rùn)最大化問(wèn)題應(yīng)用

多元函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)學(xué)利益最大化問(wèn)題中應(yīng)用較為廣泛，對(duì)于企業(yè)單位來(lái)講，借助多元函數(shù)的極值可以快速得到利潤(rùn)最大化途徑，對(duì)于實(shí)際行為具有一定的指導(dǎo)意義。

例1：某企業(yè)在對(duì)商品進(jìn)行廣告宣傳中，可以采取傳統(tǒng)媒體報(bào)紙和現(xiàn)代媒體電視兩種途徑，通過(guò)單位以往的廣告經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于這兩種廣告途徑所獲得的利潤(rùn)關(guān)系為：

x1為電視廣告費(fèi)用支出，X2為報(bào)紙廣告費(fèi)用支出，Z為企業(yè)商品銷售的總收入（單位為萬(wàn)元）。根據(jù)廣告與收益的關(guān)系，求出最佳的廣告方式，使得企業(yè)的收益最大化。

解：企業(yè)收益值為商品銷售值與廣告投入費(fèi)用值，設(shè)企業(yè)的最大利潤(rùn)為：

由于該函數(shù)的駐點(diǎn)矩陣為負(fù)矩陣，由此可得利潤(rùn)函數(shù)在駐點(diǎn)位置的值為最大值，也就是該企業(yè)廣告策略的利潤(rùn)最大化，即電視廣告費(fèi)用為1/6萬(wàn)元，報(bào)紙廣告費(fèi)用為35/12萬(wàn)元，這樣可以獲得最大利潤(rùn)點(diǎn)。

企業(yè)單位借助于多元函數(shù)的極值可以很好地解決利潤(rùn)最大化的問(wèn)題，通過(guò)極值的運(yùn)用，企業(yè)不僅可以在支付和收入之間尋找一個(gè)均衡點(diǎn)以獲取利潤(rùn)的最大化，還可以在限定的預(yù)算支出情況下找到費(fèi)用支出的最佳點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)資金資源的最佳利用和資源最優(yōu)配置，這對(duì)于企業(yè)追求利潤(rùn)最大化來(lái)講，多元函數(shù)極值的應(yīng)用起到了很大的作用。

二、效用最大化問(wèn)題

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，經(jīng)常會(huì)涉及效用最大化問(wèn)題，在解決該種類型的問(wèn)題中，通常借助拉格朗日乘數(shù)法來(lái)對(duì)此問(wèn)題進(jìn)行解答。消費(fèi)者在生活消費(fèi)中，所追求的就是效用最大化，即對(duì)所購(gòu)商品的滿意程度的最大化。

例2：設(shè)消費(fèi)者的效用函數(shù)u= U（x1，X2），預(yù)算約束條件為I= P1x1+ P2X2，則相應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)函數(shù)為：

式中λ為拉格朗日乘數(shù)，x1為消費(fèi)者所購(gòu)買(mǎi)物品的單價(jià)，X2為消費(fèi)者所購(gòu)物品的件數(shù)，求效用最大化的條件。

解：容易得到效用最大化的一階條件為

由一階條件中的前兩個(gè)式子可得

，式中可以表示商品的邊際替代率。

所以，效用最大化的必要條件為：兩個(gè)商品的邊際替代率等于兩個(gè)商品的價(jià)格之比。由一階條件中的前兩個(gè)式子可得，式中拉格朗日乘數(shù)表示貨幣的邊際效用。效用最大化的必要條件也可以表述為：消費(fèi)者花費(fèi)在各個(gè)商品上的最后一元錢(qián)所帶來(lái)的邊際效用都相等，且等于貨幣的邊際效用。

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，通過(guò)對(duì)多元函數(shù)極值的應(yīng)用，可以很好地將其運(yùn)用到商品經(jīng)濟(jì)的消費(fèi)中來(lái)，這樣消費(fèi)者可以借助于多元函數(shù)的極值問(wèn)題找到一定的消費(fèi)預(yù)算和效用的平衡點(diǎn)，幫助消費(fèi)者選擇性價(jià)比最佳的商品，達(dá)到消費(fèi)者滿意程度的最大化。

本文通過(guò)實(shí)際案例的方式研究了多元函數(shù)在不同領(lǐng)域的實(shí)際應(yīng)用，借助多元函數(shù)極值的應(yīng)用，對(duì)于企業(yè)利潤(rùn)最大化、消費(fèi)者效用最大化以及生活實(shí)際問(wèn)題等進(jìn)行了解決，這對(duì)于各個(gè)領(lǐng)域都起到了一定的擇優(yōu)選配的作用，有效地實(shí)現(xiàn)了資源的合理利用和優(yōu)化配置?，F(xiàn)在，全世界都面臨著資源缺乏的問(wèn)題，如何使能源的分配和使用更加合理已經(jīng)成為人們迫切需要解決的問(wèn)題，而數(shù)學(xué)作為解決這些問(wèn)題的工具必將發(fā)揮其作用。

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