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        講類同,講區(qū)別

        2018-01-08 21:02:38趙曉輝楊廣武
        關(guān)鍵詞:復(fù)變函數(shù)區(qū)別

        趙曉輝 楊廣武

        【摘要】本文試圖用辯證唯物論觀點(diǎn)分析復(fù)變函數(shù)論的發(fā)生和發(fā)展以及復(fù)變函數(shù)與實(shí)變實(shí)函數(shù)的關(guān)聯(lián)和區(qū)別.

        【關(guān)鍵詞】實(shí)變實(shí)函數(shù);復(fù)變函數(shù);類同;區(qū)別

        【基金項(xiàng)目】河北省教委基金資助項(xiàng)目(2350044).

        復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)分析的后繼課之一(本文所指為單復(fù)變函數(shù)論,下同).在教與學(xué)中,如何認(rèn)識(shí)和處理二者之間的關(guān)系,我們也想談一點(diǎn)意見.

        我們一直堅(jiān)持主張,要用辯證唯物主義和歷史唯物主義的世界觀來認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科.復(fù)變函數(shù)的發(fā)生和發(fā)展,也是符合辯證唯物主義的認(rèn)知論的,它是因科學(xué)和實(shí)際應(yīng)用的需要而有一個(gè)發(fā)生和發(fā)展的過程的,而且至今還在繼續(xù)發(fā)展著.

        第一次提到“虛數(shù)”,把它作為負(fù)數(shù)的平方根,還是16世紀(jì)的事.直到18世紀(jì)中葉,復(fù)數(shù)僅僅是偶然出現(xiàn)在個(gè)別數(shù)學(xué)家的著作里.第一篇復(fù)數(shù)理論的論文是歐拉(Euler)用俄文發(fā)表的,符號(hào)i=-1也是歐拉在研究流體力學(xué)中首創(chuàng)使用的.高斯(Gauss)把復(fù)數(shù)定義為有序的實(shí)數(shù)對(duì),并把復(fù)整數(shù)定義為a+ib,其中a,b為普通整數(shù).歐拉是復(fù)變函數(shù)的一個(gè)締造人,他詳細(xì)地研究了復(fù)變函數(shù)的初等函數(shù)(如,對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)),著名的歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ,把指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系了起來,并得到了令人叫絕的關(guān)系式eπi+1=0(把e,π,i,0,1放在一個(gè)等式中).歐拉把復(fù)變函數(shù)應(yīng)用到流體力學(xué)及地圖制圖學(xué)等實(shí)際問題中.任何一門學(xué)科,如果無用,它就不可能長(zhǎng)期存在和發(fā)展.20世紀(jì)中葉,關(guān)于復(fù)變函數(shù)及其拓展在彈性理論和空氣動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,均已成書.20世紀(jì)80年代,錢學(xué)森在一封信中明確談到復(fù)變函數(shù)的重要應(yīng)用性(發(fā)表在中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦的《數(shù)學(xué)通訊》中).著名數(shù)學(xué)家G·波里亞與G·拉達(dá)合作所著《復(fù)變函數(shù)》一書中,多處極力講述應(yīng)用性內(nèi)容.

        一、形式類同,但有區(qū)別

        設(shè)z=x+iy,w=u+iv,復(fù)變函數(shù)w=f(z)定義在形式上與一元實(shí)變實(shí)函數(shù)y=f(x)相同,但這里討論的是復(fù)變函數(shù),一般涉及四個(gè)實(shí)變量x,y,u,v.y=f(x)的圖形是xOy坐標(biāo)平面上的一條曲線,而w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)就不能在通常具有直觀性的一個(gè)平面上作圖,所以常說w=f(z)構(gòu)成一個(gè)從z平面的一部分(定義域)到w平面的一部分(函數(shù)值域)的映射(映照).

        關(guān)于極限 limn→∞zn=z0及 limz→z0f(z0)=A,形式上也與一元實(shí)變實(shí)函數(shù)情形類同,而實(shí)際上它們的關(guān)系是

        limn→∞zn=z0→←limn→∞Re(zn)=Re(z0),limn→∞Im(zn)=Im(z0);

        limz→z0f(z)=A→←lim(x,y)→(x0,y0)Ref(z)=Re(A),lim(x,y)→(x0,y0)Imf(z)=Im(A).

        即研究一個(gè)復(fù)數(shù)序列的極限問題,相當(dāng)于對(duì)應(yīng)地研究?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)序列的極限問題.關(guān)于f(z)在點(diǎn)z0=x0+iy0處連續(xù),即 limz→z0f(z)=f(z0),也相當(dāng)于對(duì)應(yīng)地研究?jī)蓚€(gè)二元實(shí)變實(shí)函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)問題.由在復(fù)數(shù)域內(nèi)關(guān)于正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的定義可知,正(余)弦函數(shù)不再是有界的,而指數(shù)函數(shù)為周期函數(shù),還有對(duì)數(shù)函數(shù)的多值性,此處不再贅述.

        關(guān)于數(shù)域的擴(kuò)張,講到復(fù)數(shù)域時(shí)特別強(qiáng)調(diào)它是“良序集”(即復(fù)數(shù)不比大?。?所以,在復(fù)變函數(shù)的極限中沒有“夾逼準(zhǔn)則”,沒有“單有界”定理,也沒有左右極限概念.在導(dǎo)數(shù)及微分之后,沒有“微分學(xué)中值定理”,沒有以微分學(xué)中值定理為基礎(chǔ)證明的“洛必達(dá)法則”,沒有函數(shù)單調(diào)性的概念,沒有函數(shù)的最大值和最小值,只有最大模原理.

        二、類比化歸,關(guān)注精彩

        18世紀(jì)數(shù)學(xué)界的中心人物,占統(tǒng)治地位的理論物理學(xué)家,并能與牛頓、高斯齊名的人是歐拉,他所發(fā)現(xiàn)的復(fù)變函數(shù)里的那些結(jié)果和方法,被利用、發(fā)展、改進(jìn)和系統(tǒng)化.19世紀(jì)復(fù)變函數(shù)已成為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)最重要的分支.做出貢獻(xiàn)的主要代表人物是柯西(Cauchy)、魏爾斯特拉斯(Weierstrass)和黎曼(Riemann),前兩人的主要工作在積分和級(jí)數(shù),黎曼的工作是復(fù)變函數(shù)的幾何理論(現(xiàn)代人稱為“共形映射”).

        函數(shù)w=f(z)在點(diǎn)z0=x0+iy0可導(dǎo)的定義為 limz→z0f(z)-f(z0)z-z0或 limΔz→0f(z0+Δz)-f(z0)Δz存在.這個(gè)定義在形式上也與一元實(shí)變實(shí)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義類同,而實(shí)際上則不相同,那里只有Δx>0而趨于0,即Δx→0+和Δx<0而趨于0,即Δx→0-,從而有左右導(dǎo)數(shù),而這里z→z0(或Δz→0)是要沿任何途徑,不止兩個(gè)方向.我們知道研究w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)相當(dāng)于研究一對(duì)二元實(shí)變實(shí)函數(shù),而在二元實(shí)變實(shí)函數(shù)中沒有可導(dǎo)概念,只有偏導(dǎo)數(shù)和全微分,正是由于這種聯(lián)系,得到了復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)的所謂C-R條件(C-R方程是Caucky-Riemann方程的簡(jiǎn)稱).C-R條件是u(x,y)及v(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)可微,且滿足C-R方程ux=vy,uy=-vx.f(z)在一點(diǎn)z0可導(dǎo),也叫在z0單演;而f(z)在點(diǎn)z0解析,則要求存在z0的一個(gè)鄰域N(z0),f(z)在N(z0)內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo).如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱f(z)在D內(nèi)解析.因?yàn)橐院罂梢宰C明解析函數(shù)f(z)的導(dǎo)函數(shù)f′(z)也是解析的.因此,f′(z)=ux+ivx=vy-iuy是連續(xù)的,從而u(x,y),v(x,y)均有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),則它們均可微.所以,在前述的C-R條件中可以寫為u(x,y),v(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足C-R方程.f(z)=u+iv在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件可敘述為,u,v在D內(nèi)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)函數(shù),且滿足C-R方程.關(guān)于C-R條件,蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家們研究指出,在柯西、黎曼之前,達(dá)朗倍爾和歐拉在研究流體力學(xué)和復(fù)變函數(shù)的積分問題時(shí),早已經(jīng)得到了這個(gè)條件.所以,他們稱之為達(dá)朗倍爾-歐拉條件.在一元實(shí)函數(shù)中構(gòu)造一個(gè)處處連續(xù)、處處不可導(dǎo)的函數(shù)是很費(fèi)力、很困難的,而在復(fù)變函數(shù)中f(z)=Re(z),f(z)=z均處處連續(xù)、處處不可導(dǎo).此處我們不再敘述關(guān)于解析函數(shù)的其他等價(jià)條件.endprint

        再如,復(fù)變函數(shù)積分的定義:

        ∫Cf(z)dz=limmax|zk+1-zk|→0∑nk=0f(zk)(zk+1-zk).

        其中,C為一定向的可度長(zhǎng)曲線.形式上也與一元實(shí)變實(shí)函數(shù)的定積分定義相像;而實(shí)際上這里C是復(fù)平面上一條定向可度長(zhǎng)曲線,而不是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間,zk+1-zk=Δzk也不是實(shí)數(shù)軸上小區(qū)間的長(zhǎng)度Δxk;函數(shù)值f(zk)一般也不保證是實(shí)值.當(dāng)然,還可以與實(shí)變實(shí)函數(shù)中的曲線積分相比較和聯(lián)系,在非數(shù)學(xué)專業(yè)用的一些教科書中,也就是用組合型對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的有關(guān)結(jié)論來證明復(fù)變函數(shù)理論的基本定理的(柯西積分定理).

        復(fù)變函數(shù)論中心是研究解析函數(shù),有的就將書名寫為《解析函數(shù)論》,而柯西積分定理被視為理論基礎(chǔ).由此得到的柯西公式也是極為重要的,在復(fù)變函數(shù)的課程中還要介紹一下柯西型積分.所證明的一個(gè)在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)f(z),有各階導(dǎo)數(shù),這種驚人新鮮的結(jié)論,在一元實(shí)變實(shí)函數(shù)中是沒有的.

        關(guān)于解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開,也是借助于柯西公式完成的.在羅朗級(jí)數(shù)的基礎(chǔ)上,討論了函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)處的性態(tài).有一個(gè)索霍茨基定理(人們常說的魏爾斯特拉斯定理)說:如果a是函數(shù)f(z)的一個(gè)本性奇點(diǎn),則對(duì)于任何一個(gè)有限的復(fù)數(shù)A或∞,總存在一個(gè)點(diǎn)列zn→a,使得 limn→∞f(zn)=A.這是多么新鮮奇特的結(jié)果呀!

        在復(fù)變函數(shù)中,黎曼的重要貢獻(xiàn)是復(fù)變函數(shù)的幾何理論,我國(guó)數(shù)學(xué)界老前輩陳建功先生曾翻譯過一個(gè)大本專著《復(fù)變函數(shù)的幾何理論》(現(xiàn)在通常說成共形映射).共形映射的基本問題是給定兩個(gè)區(qū)域D和G,是否存在一個(gè)單葉解析函數(shù)把D共形映射為G,這個(gè)事實(shí)稱為黎曼存在定理.著名數(shù)學(xué)家莊圻泰先生,把他20世紀(jì)50年代在北京大學(xué)專門化課程中的講稿再簡(jiǎn)練,寫在教科書中.正是依據(jù)黎曼存在定理,我們才可以常常把復(fù)雜區(qū)域內(nèi)的問題歸結(jié)為在單位圓內(nèi)或圓界多連通區(qū)域內(nèi)來討論.

        由于科學(xué)和實(shí)際應(yīng)用的需要,進(jìn)入20世紀(jì)復(fù)變函數(shù)論得到了巨大的發(fā)展.蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家們側(cè)重于在彈性力學(xué)等方面的應(yīng)用,И·Н·Вeкуa院士,С·?!ぇ濮悃绉支荮讧毵缨讧荮谠菏恳约哀丁ぇァぇxoΒ等都先后出版了專著,美國(guó)L·Bers院士從研究空氣動(dòng)力學(xué)問題,也出版了專著[3].尤其應(yīng)該特別提到的,是我國(guó)在這個(gè)研究方向上已經(jīng)形成了一個(gè)隊(duì)伍,趕超世界先進(jìn)水平,并于20世紀(jì)80年代末舉辦了第一次該方向的全國(guó)學(xué)術(shù)會(huì),至今已舉辦了十七次,并多次主辦國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì),在偏微分方程的復(fù)分析方法、擬共形映射及Clifford分析等方面的研究,都取得了可喜的成果.例如,在偏微分方程的復(fù)分析方法方面(也叫函數(shù)論方法),И·Н·Вeкуa及L·Bers大都是討論線性、擬線性橢圓型方程,而我們不但研究了非線性橢圓型方程,而且還用復(fù)分析方法討論了拋物型和雙曲型偏微分方程的有關(guān)問題.當(dāng)然,偏微分方程的復(fù)分析方法,至今仍是國(guó)際數(shù)學(xué)界的一個(gè)熱門話題,還在繼續(xù)發(fā)展著.

        【參考文獻(xiàn)】

        [1]И·Н·Вeкуa.廣義解析函數(shù)[M].中國(guó)科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所偏微分方程,北京大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系函數(shù)論教研組,合譯.北京:人民教育出版社,1960.

        [2]L·Bers.準(zhǔn)解析函數(shù)論[M].聞國(guó)椿,譯.北京:科學(xué)出版社,1964.

        [3]G·波里亞,G·拉達(dá).復(fù)變函數(shù)[M].路見可,等譯.北京:高等教育出版社,1985.

        [4]М·А·拉甫倫捷夫,?!ぇ∩嘲吞?復(fù)變函數(shù)論方法[M].施祥林,等譯.北京:高等教育出版社,1956.endprint

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