張濡川++鄭秀

【摘要】《教育部關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》頒布后，“核心素養(yǎng)”一詞便成為眾多專家學(xué)者熱議的內(nèi)容.同時(shí)如何提高高中生核心素養(yǎng)也成為重點(diǎn)的討論內(nèi)容.本文針對高中生應(yīng)具備的六大核心素養(yǎng)中的幾何直觀與想象素養(yǎng)進(jìn)行探究，提出了在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中高中生幾何直觀與想象素養(yǎng)的培養(yǎng)策略，并結(jié)合了具體的案例進(jìn)行說明.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)解題；幾何直觀與想象素養(yǎng)；策略

一、加強(qiáng)學(xué)生的用圖意識，在問題表征中更多地運(yùn)用幾何直觀

通常在數(shù)學(xué)解題的過程中，很多學(xué)生知道自己的解題方法比直觀化解法復(fù)雜得多，但是卻很少有學(xué)生會進(jìn)行反思以改進(jìn)自己的解題方法，總是習(xí)慣用原有的解題方法，不厭其煩.學(xué)生一旦養(yǎng)成這樣的學(xué)習(xí)態(tài)度和思維習(xí)慣，就會很容易使得數(shù)學(xué)這門學(xué)科的學(xué)習(xí)會越來越枯燥乏味，學(xué)生也將會越來越不愛學(xué).因此，教師在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中應(yīng)當(dāng)盡可能地指導(dǎo)學(xué)生直觀地分析問題，培養(yǎng)學(xué)生形成直觀分析解題的思路，加強(qiáng)學(xué)生在解題過程中的用圖意識，培養(yǎng)學(xué)生能夠有意識地將數(shù)學(xué)試題中的一些代數(shù)形式的表征與幾何直觀表征產(chǎn)生聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生積極主動地運(yùn)用幾何直觀與想象來解決問題的習(xí)慣.

例1在一個(gè)平面四邊形ABCD中，其中∠A=∠B=∠D=75°，AB=2，求AD取值范圍.

圖1

分析根據(jù)題意可以知道四邊形ABCD中∠C=∠D=75°，以及其中的一條邊AB=2，所以可以畫出△ABM，其中∠A=∠B=75°，AB=2，這樣滿足條件的平行四邊形ABCD可以在△ABM中構(gòu)造出.作一條直線交線段MA，MB分別于D，C兩點(diǎn)，使得∠ADC=75°，過點(diǎn)B作BN∥CD交AM于N.接下來觀察圖形，要使所得到的四邊形ABCD滿足題意，通過平移直線可知點(diǎn)D只能在線段MN上取得有效值.所以容易得到AN=6-2，AM=6+2，所以AD的取值范圍為（6-2，6+2）.

二、經(jīng)常進(jìn)行畫法交流，研究構(gòu)造有利于問題分析的最佳圖形

幾何直觀想象的基礎(chǔ)是圖形，把問題直觀化地呈現(xiàn)出來不僅有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的推理與把握，也將會更有利于對代數(shù)方式的解答過程進(jìn)行審視.但是如果我們所得到的直觀化圖形不利于數(shù)學(xué)題的直觀分析，或者是在直觀化過程中存在問題，那么這樣的幾何直觀就會很難發(fā)揮出它真正的作用，或者說是這樣的幾何直觀是無意義的.那么如何在幾何直觀與想象的前提下，構(gòu)造出有利于分析和理解的最佳圖形呢？

首先，要選擇正確的圖形視角.只有在正確的圖形視角下才能將一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)試題恰當(dāng)?shù)谋硎境鰜?不同的視角構(gòu)造出來的圖形對問題的直觀想象分析會有不同的影響，特別是在解題效率方面.

其次，圖形的構(gòu)造要準(zhǔn)確.一定要根據(jù)問題給出的代數(shù)形式畫出與其相等價(jià)的圖形.在借助幾何直觀與想象來解決問題的過程當(dāng)中，學(xué)生很容易出現(xiàn)對問題理解不透徹從而導(dǎo)致幾何直觀不恰當(dāng)?shù)那闆r.因此，在進(jìn)行構(gòu)造圖形前一定要引導(dǎo)學(xué)生透徹分析和理解題目，畫出與題目要求等價(jià)的直觀圖形.同時(shí)在畫圖時(shí)要確保圖形的精確性，圖形繪制要根據(jù)試題的要求明確圖形所需的精確性.

例2證明：所有的三角形都是等腰三角形.

圖2

分析如圖2所示，△ABC是一個(gè)任意的三角形，AB的中垂線與∠C的平分線相交于一點(diǎn)O，然后過點(diǎn)O作OD⊥AC于點(diǎn)D，OE⊥BC于點(diǎn)E，連接OA，OB.則可以由∠OCA=∠OCB，∠ODC=∠OEC=90°，OC=OC，得出△OCD≌△OCE，即得出，CD=CE，OD=OE.又因?yàn)镺F為AB的中垂線，所以O(shè)A=OB，可以得到Rt△AOD≌Rt△BOE，則得出DA=EB，即得出所有的三角形都是等腰三角形.

這道題的整個(gè)證明過程找不出任何的漏洞，但是證明得到的結(jié)果很明顯是不正確的.其實(shí)原因就出在點(diǎn)O上，點(diǎn)O應(yīng)該在△ABC之外.通常學(xué)生們并不知道，若角平分線CG交AB于點(diǎn)G，會有CGGB=CACB這個(gè)性質(zhì)，所以不知道O點(diǎn)應(yīng)該在△ABC外.但是如果作圖時(shí)更準(zhǔn)確一些，就會發(fā)現(xiàn)O點(diǎn)應(yīng)該畫在△ABC外面了.

三、提高學(xué)生的識圖能力，引導(dǎo)學(xué)生善用運(yùn)動變換來探索解題思路

運(yùn)用幾何直觀與想象來解決一些數(shù)學(xué)問題，不僅要求學(xué)生要能根據(jù)題意準(zhǔn)確的畫出解題所需的圖形，還要求學(xué)生對構(gòu)造出的圖形有一定的直觀洞察力.學(xué)生要能根據(jù)圖形中提供的已知信息探索出解題的思路.

提高學(xué)生的識圖能力，首先培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成良好的觀察圖形的習(xí)慣；其次不僅要善于獲取圖形中所提供的的重要信息，還要能挖掘出一些隱含的條件；最后就是要培養(yǎng)學(xué)生靈活地運(yùn)用圖形的運(yùn)動和變換對圖形進(jìn)行完善.將復(fù)雜的試題轉(zhuǎn)化為簡單的試題.

四、重視數(shù)學(xué)問題語言的直觀描述，實(shí)現(xiàn)多元化評價(jià)

數(shù)學(xué)知識不僅需要通過圖形和符號來進(jìn)行直觀的表示，還需要通過文字語言進(jìn)行詳細(xì)表達(dá).因此，幾何直觀與想象要與文字語言、符號語言有機(jī)結(jié)合.要達(dá)到這一目標(biāo)，首先要養(yǎng)成用文字語言來交流探討解題思路的習(xí)慣；其次要能夠準(zhǔn)確簡潔的運(yùn)用文字語言.

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