楊瀟

【摘要】本文基于線性代數(shù)課程內(nèi)容抽象，知識(shí)點(diǎn)豐富，學(xué)生掌握起來比較困難的特點(diǎn)，通過對(duì)線性代數(shù)教與學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，在已有教學(xué)方法的基礎(chǔ)上，探討從線性方程組到線性代數(shù)整個(gè)課程的一種教學(xué)思路.

【關(guān)鍵詞】線性方程組;線性代數(shù);教學(xué)思路

【基金項(xiàng)目】本文感謝鄭州大學(xué)教學(xué)改革研究與實(shí)踐項(xiàng)目的支持，項(xiàng)目名稱：《線性代數(shù)》教學(xué)改革的研究與實(shí)踐.

線性代數(shù)作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，主要研究線性問題.一方面，就課程本身而言，內(nèi)容十分豐富，涉及行列式、矩陣、線性方程組、特征值與特征向量、二次型乃至向量空間多個(gè)方面;有相對(duì)簡單的“線性”關(guān)系，即從幾何上看表示直的關(guān)系，又有相對(duì)困難的增加課程抽象性的“代數(shù)”問題，即用符號(hào)代替元素和運(yùn)算的問題.另一方面，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，科技的日新月異，各學(xué)科之間的相互融合，線性代數(shù)作為高等院校的一門基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課，其重要性不言而喻;同時(shí)教學(xué)上又面臨需在有限課時(shí)內(nèi)，使學(xué)生全面掌握課程內(nèi)容，形成較強(qiáng)邏輯思維能力的挑戰(zhàn).因此，講究授課方法，幫助學(xué)生順利完成學(xué)習(xí)任務(wù)成為教學(xué)者普遍關(guān)注的問題.本文將探討一種從線性方程組開始，聯(lián)系整個(gè)課程內(nèi)容的教學(xué)思路.該思路是在麻省理工學(xué)院線性代數(shù)課程公開課的啟發(fā)下形成的，其主要內(nèi)容將在下文中一一闡述.

一、線性方程組解的幾何表示

求解線性方程組是線性代數(shù)課程的一個(gè)重要內(nèi)容，通過對(duì)該內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以把線性代數(shù)各部分內(nèi)容緊密相連.作為開始，我們來討論線性方程組解的幾何表示.

以2×2的線性方程組的解為例.下面的2×2的線性方程組

x-2y=0，2x+y=5.

解的幾何表示分為兩種情形.一是以方程組的行為觀察對(duì)象，其解可以看成分以行向量α1=（1，-2），α2=（2，1）為方向向量的兩條直線x-2y=0和2x+y=5的交點(diǎn);二是以方程組的列為觀察對(duì)象，其解可以看成兩個(gè)2維列向量β1=（1，2）T和β2=（-2，1）T線性組合的組合系數(shù)，具體表為

x12+y-21=05.

類似地，3×3線性方程組也有兩種幾何表示.行表示：方程組的解是三個(gè)平面的交點(diǎn);列表示：方程組的解是三個(gè)3維列向量的線性組合系數(shù).

我們進(jìn)一步分析方程組的上述幾何表示，得到下面內(nèi)容.

二、向量空間部分概念的引入

對(duì)于線性方程組的行表示，方程組的解就是求交點(diǎn).在2、3維情況下，我們有具體的幾何對(duì)象與之對(duì)應(yīng)，交點(diǎn)可以通過畫圖求得，然而高維情況就復(fù)雜多了.此時(shí)，無法具體畫出圖像，我們將如何判斷是否有交點(diǎn)，以及交點(diǎn)有多少個(gè)呢？在上例列表示等式中，右端列向量對(duì)應(yīng)的表示系數(shù)為x=2，y=1.我們將列表示擴(kuò)展一下，提出問題：是否在列表示等式右端任意給定一個(gè)列向量都能有相應(yīng)的x，y與之對(duì)應(yīng)呢？

為解決這些問題，我們可以引入向量空間中的一些概念，首先是向量組的線性相關(guān)性.對(duì)于上述2×2的例子，因向量α1與α2線性無關(guān)，知有唯一交點(diǎn);因β1與β2無關(guān)，知有唯一表示.這一結(jié)論不僅能推廣至高維，對(duì)于方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)不等的方程組一樣適用.對(duì)于第二個(gè)問題，在左端向量線性無關(guān)的情況下，我們能唯一找到對(duì)應(yīng)的x和y.同時(shí)，第二個(gè)問題實(shí)際上反映了向量空間中的維數(shù)，基與坐標(biāo)問題，這些在課程的學(xué)習(xí)中將具體講述.

上段中我們只說明了向量組線性無關(guān)時(shí)的情況，當(dāng)線性相關(guān)時(shí)如何處理呢，我們需學(xué)習(xí)下面內(nèi)容.

三、矩陣與行列式

引入矩陣概念，上述方程組可以通過矩陣乘法來表示

1-221xy=05.

記矩陣A=1-221，則{α1，α2}，{β1，β2}分別稱為矩陣A的行、列向量組.

此時(shí)，判斷向量組的相關(guān)性可以用求行列式法，方陣的行列式為零，則其行、列向量組線性相關(guān)，否則向量組線性無關(guān);也可以用矩陣初等變換法，將矩陣進(jìn)行初等變換求得矩陣的秩，秩比矩陣的階數(shù)小，則向量組線性相關(guān)，秩與矩陣的階數(shù)相同則無關(guān).

然而行列式的判斷法僅適用于方陣，當(dāng)矩陣非方陣時(shí)，可以用矩陣的初等變換法.

至此，我們在討論2×2線性方程問題解的基礎(chǔ)上，融入了線性代數(shù)課程的其他內(nèi)容.事實(shí)上，行列式產(chǎn)生于求解線性方程組，由萊布尼茨和關(guān)孝和發(fā)明.而較為明確完整的行列式的定義和展開法則的闡述則是由克萊姆給出的，同時(shí)這位數(shù)學(xué)家還給出了求解未知量和方程個(gè)數(shù)相等的利用行列式求解的克萊姆法則.而矩陣的概念由凱萊提出，史密斯和道奇森給出了利用矩陣的初等變換求解任意形式的線性方程組的方法.在矩陣論的形成中，凱萊還提出了特征方程和特征值理論，求解矩陣的特征值及特征向量又要用到計(jì)算行列式及求解線性方程組.之后課程內(nèi)容中，二次型的化簡又需要用到特征方程的概念.

總之，線性代數(shù)的內(nèi)容雖然較多，但彼此聯(lián)系，抽象問題都有具體對(duì)象與之對(duì)應(yīng).因此，我們從線性方程組的求解出發(fā)，由具體到抽象，由點(diǎn)到面地進(jìn)行講解，是一種可行的思路，對(duì)于更好地把握課程內(nèi)容，達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)是有意義的.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄧俊強(qiáng).線性代數(shù)[M].鄭州：鄭州大學(xué)出版社，2007.

[2]戈丁.數(shù)學(xué)概觀[M].胡作玄，譯.北京：科學(xué)出版社，2001.

[3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.

[4]哈爾濱工程大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)與空間解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2008.