王廣敏

【摘要】化歸思想方法是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最典型的數(shù)學(xué)思想方法，是創(chuàng)造性數(shù)學(xué)素養(yǎng)的體現(xiàn).化歸方法有以下基本原則：熟悉化原則、簡(jiǎn)單化原則、直觀化原則、極端化原則、和諧化原則.本文基于幾個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，具體解釋小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中化歸方法的原則.

【關(guān)鍵詞】化歸思想方法；基本原則；小學(xué)數(shù)學(xué)；小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：“課程內(nèi)容要反映社會(huì)的需要、數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.它不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過(guò)程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.”[1]“化歸方法”是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最常用的數(shù)學(xué)思想方法，它是指把目前我們尚未解決、難以解決的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為某些現(xiàn)在我們已經(jīng)能夠解決或者較易解決的問(wèn)題，進(jìn)而可以將原問(wèn)題順利解決的一種手段和方法.本文基于幾個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，具體分析總結(jié)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中化歸方法要注意的一些原則.

一、熟悉化原則

將比較“陌生”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為目前我們甚是“熟悉”的問(wèn)題，以便我們利用已有的知識(shí)去解決它.

問(wèn)題1已知三角形內(nèi)角和為180°，問(wèn)：四邊形、五邊形的內(nèi)角和是多少？

分析四邊形、五邊形內(nèi)角和這一問(wèn)題對(duì)于剛學(xué)習(xí)完三角形內(nèi)角和為180°的小學(xué)四年級(jí)學(xué)生而言是比較陌生的，那么我們要如何做呢？如圖所示，我們可以用輔助線（從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)作對(duì)角線）將四邊形分解成兩個(gè)三角形、將五邊形分解為三個(gè)三角形，此為解決該問(wèn)題的關(guān)鍵所在.這樣便將較陌生的四邊形、五邊形內(nèi)角和的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的三角形內(nèi)角和的問(wèn)題.我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和為180°，則四邊形、五邊形內(nèi)角和分別為360°（180°×2=360°），540°（180°×3=540°），問(wèn)題便解決了.同時(shí)借助這一做法和規(guī)律，六邊形、七邊形……多邊形的內(nèi)角和問(wèn)題也迎刃而解.

問(wèn)題2對(duì)于任意一個(gè)給定三角形，如何再畫一個(gè)三角形，使其面積等于給定三角形的面積？對(duì)于任意一個(gè)凸四邊形，如何畫一個(gè)三角形，使其面積等于該四邊形的面積？

分析已知對(duì)于任意兩個(gè)三角形，只要等底等高，則這兩個(gè)三角形面積相等.如在圖1中，在給定的△ABC中，過(guò)點(diǎn)C作線段AB的平行線l，在直線l上任取一點(diǎn)C′，則△ABC的面積和△ABC′的面積是相等的.那么對(duì)于任一給定的三角形，我們便找到了另外一個(gè)三角形使得二者面積相等.此即為已知.

我們已知如何畫面積相等的三角形，那么在圖2中對(duì)于給定的四邊形DEFG，我們可以先借助輔助線將其分解為兩個(gè)三角形，即△DGF和△DEF，而我們的目的是將給定的四邊形變成一個(gè)面積與其相等的三角形.借助已知的畫面積相等三角形的做法，我們?cè)囅肽芊駥⑵渲幸粋€(gè)三角形例如△DGF畫成另一個(gè)面積相等的三角形并且還能與△DEF拼成一個(gè)新的三角形呢？如果可以做到的話，那么這個(gè)問(wèn)題我們就解決了.我們已經(jīng)知道如何做一個(gè)面積與△DGF面積相等的三角形，即只要在過(guò)G點(diǎn)做的線段DF的平行線m上任取一點(diǎn)G′，則△DG′F的面積便與△DGF的面積相等了，但是我們還需要令△DG′F和△DEF組成一個(gè)新的三角形，那么這個(gè)點(diǎn)G′究竟要取在何處才能滿足我們的要求呢？我們發(fā)現(xiàn)只要將G′取在過(guò)G點(diǎn)做的線段DF的平行線m與過(guò)D點(diǎn)做的線段DE的延長(zhǎng)線n的交點(diǎn)處即可.此時(shí)△DG′F和△DGF的面積相等并且△DG′F和△DEF還能拼成一個(gè)新的三角形即△EFG′.那么對(duì)于任一給定的凸四邊形，我們便做出了一個(gè)三角形使得其與凸四邊形面積相等.

同理，對(duì)于凸五邊形，借助這一思路，我們只需先將其轉(zhuǎn)化成一面積與之相等的凸四邊形，然后再借助上述做法將此凸四邊形變成面積與之相等的三角形即可.借助這一思路和做法，凸六邊形、凸七邊形……凸多邊形也可以類似解決.

二、簡(jiǎn)單化原則

將較顯繁雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成較為簡(jiǎn)單的形式，從而使原問(wèn)題順利、簡(jiǎn)便解決.

問(wèn)題3計(jì)算（3.36×4.625×1.25）÷3925×114×458.

分析題目中出現(xiàn)的小數(shù)較為復(fù)雜，倘若直接依據(jù)運(yùn)算法則來(lái)進(jìn)行計(jì)算，先算括號(hào)里的乘法，再將第一個(gè)括號(hào)里乘得的數(shù)與第二個(gè)括號(hào)里乘得的數(shù)做除法運(yùn)算，則運(yùn)算過(guò)程較顯復(fù)雜，并且在計(jì)算過(guò)程中極易出現(xiàn)錯(cuò)誤.但是，若先將小數(shù)轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)的形式3925×458×114÷3925×114×458，此時(shí)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)括號(hào)里由小數(shù)化成的分?jǐn)?shù)剛好與第二個(gè)括號(hào)里的分?jǐn)?shù)是一樣的；或者將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的形式（3.36×4625×1.25）÷（3.36×1.25×4.625），此時(shí)發(fā)現(xiàn)第一個(gè)括號(hào)里的小數(shù)剛好與第二個(gè)括號(hào)里由分?jǐn)?shù)化成的小數(shù)是一樣的，然后再進(jìn)行計(jì)算，得到結(jié)果為1.這樣便將原本復(fù)雜的計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單化，而且還不易出現(xiàn)錯(cuò)誤.

三、直觀化原則

將較為籠統(tǒng)抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體、直觀的問(wèn)題，以便學(xué)生能夠清晰準(zhǔn)確地理清問(wèn)題中事物之間的具體關(guān)系，進(jìn)而可以將問(wèn)題順利地解決.

問(wèn)題4小明在商店買了3支鋼筆和2支圓珠筆，共花了51元，小紅在商店買了2支鋼筆和3支圓珠筆，共花了49元.問(wèn)：鋼筆和圓珠筆分別多少錢？

這是一道小學(xué)三年級(jí)的數(shù)學(xué)題，此時(shí)學(xué)生還未學(xué)習(xí)二元一次方程組，并且小學(xué)三年級(jí)學(xué)生的抽象、邏輯能力還不太強(qiáng)，他們此時(shí)的思維活動(dòng)需要借助具體直觀事物的支持.所以針對(duì)此時(shí)學(xué)生的情況，教師在講解較為抽象的問(wèn)題時(shí)，可以借助一些實(shí)物或其他教具呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生清晰準(zhǔn)確地理清事物之間的關(guān)系，進(jìn)而將問(wèn)題順利解決.

分析+=51元，+=49元，+=20元，那么+=29元，那么圓珠筆價(jià)格為29-20=9（元），鋼筆價(jià)格為20-9=11（元）.有了具體事物的支持，學(xué)生能很容易地理清鋼筆和圓珠筆之間價(jià)格的關(guān)系，進(jìn)而一步步順利地將問(wèn)題解決.

四、極端化原則

將問(wèn)題處于極端化、特殊化位置或狀態(tài)時(shí)得到的答案推廣為一般情況下問(wèn)題的答案.即由特殊到一般.endprint

這個(gè)原則學(xué)生使用最多，特別是遇到不會(huì)做的題目時(shí)，取一特殊情況，求解.

問(wèn)題5兩人輪流在圓桌上擺同樣大小的硬幣，每人每次只能放一枚且硬幣不可有重疊部分，規(guī)定誰(shuí)放最后一枚，誰(shuí)就獲勝.先放好還是后放好？怎么放？

分析取極端、特殊情況，假設(shè)圓桌大小和硬幣大小一樣，要想獲勝的話，此時(shí)應(yīng)先放并且要將硬幣位于圓桌中心，則另一人的硬幣便無(wú)處可放.所以由特殊向一般推廣，得到結(jié)果應(yīng)該為先放較好，并且先放者要將硬幣位于圓桌中心.

當(dāng)然，這只是由特殊情況得到的結(jié)果.實(shí)際上就一般情況而言，借助圓的軸對(duì)稱及中心對(duì)稱性質(zhì)，只要先放的人將硬幣放在圓桌中心，則先放者一定獲勝.所以，在教學(xué)過(guò)程中，我們不僅要解決問(wèn)題，還要將解決問(wèn)題的思路、方法遷移.

五、和諧化原則

將問(wèn)題的條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為數(shù)、式、形更加和諧統(tǒng)一的形式，進(jìn)而有助于我們解決問(wèn)題.

問(wèn)題6一個(gè)籠子里有雞和兔子，共10個(gè)頭，24只腳，問(wèn)：雞和兔子各有多少只？

分析一個(gè)動(dòng)物一個(gè)頭，則共有10個(gè)動(dòng)物.一只雞2只腳，一只兔子4只腳，雞的腳的數(shù)量和兔子的腳的數(shù)量不一樣，不和諧.為了和諧起見(jiàn)，讓所有兔子抬起兩只腳，則雞和兔子都變成一個(gè)頭兩只腳.那么此時(shí)10只動(dòng)物的總腳數(shù)應(yīng)該為10×2=20（只），比原來(lái)的總腳數(shù)少24-20=4（只），少的這4只是所有兔子都抬起兩只腳所減少的腳的總只數(shù)，每只4腳兔的腳減少4-2=2（只），所以4腳兔共有4÷2=2（只），則2腳雞有10-2=8（只）.

匈牙利著名數(shù)學(xué)家路沙·彼得（Rozar Peter）在《無(wú)窮的玩藝》中寫道：“數(shù)學(xué)往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面攻擊，而是不斷對(duì)它進(jìn)行變形，直到把它轉(zhuǎn)化成能夠解決的問(wèn)題”[2].當(dāng)然，變形并不是一種無(wú)目的的活動(dòng)，應(yīng)始終“盯住目標(biāo)”，一步步朝目標(biāo)靠近.

化歸法最終表現(xiàn)為一種解決問(wèn)題的方法，但是要想成功地應(yīng)用它，必須以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為前提，即關(guān)鍵在于要找到正確的化歸方法和方向.只有通過(guò)一定的實(shí)踐與反復(fù)，才能找到正確的化歸方向和方法，才能更快、更有效地解決問(wèn)題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：2.

[2]潘勇.數(shù)學(xué)化歸思想方法及其教學(xué)探研[D].南京：南京師范大學(xué)，2004：9.endprint