王友春

高中數(shù)學(xué)的教與學(xué)離不開解題，但題不在多，而在于讓學(xué)生“學(xué)一題，觸一類，通一片”；“一個專心的、認真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生發(fā)掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像一道門，把學(xué)生引入到一個完整的理論區(qū)域”（數(shù)學(xué)家波利亞）.教師在解題教學(xué)中，理應(yīng)科學(xué)、合理地設(shè)計一系列問題，形成一個螺旋式上升的“問題串”，從本質(zhì)上去引領(lǐng)學(xué)生探究、解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.本文筆者結(jié)合自己的一次教學(xué)實踐，通過對出現(xiàn)在函數(shù)題中含全稱、存在量詞的一系列問題（問題串）的分析、探究，以期提高學(xué)生的探究思維能力和課堂的教學(xué)實效，不妥之處敬請方家指教.

一、問題的引入

問題1已知函數(shù)f（x）=x-lnx，g（x）=x2-2ax，a∈R，命題“x∈[1，e]，f（x）≤g（x）成立”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是.

分析∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴對f（x）≤g（x）實行“分離變量”，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)的最值問題.

解∵x∈[1，e]，f（x）≤g（x）恒成立，∴x∈[1，e]時，x-lnx+2ax-x2≤0，即a≤x2+lnx-x2x恒成立，設(shè)h（x）=x2+lnx-x2x（x∈[1，e]），則h′（x）=x2+1-lnx2x2，設(shè)k（x）=x2+1-lnx，由k′（x）=2x2-1x得：當(dāng)x∈[1，e]時，k′（x）>0恒成立，∴k（x）在[1，e]上是增函數(shù)，而k（1）=1>0，∴h′（x）>0（x∈[1，e]），∴h（x）在[1，e]上也是增函數(shù)；∵hmin（x）=h（1）=1，∴a≤1.

評注1.對于含參數(shù)a的不等式f（x）≤g（x）（或f（x）≥g（x））恒成立問題，可以實施“分離變量”轉(zhuǎn)化為a≤h（x）（或a≥h（x））恒成立，進而使a≤hmin（x）（或a≥hmax（x））即可；也可以轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）≤0（或f（x）-g（x）≥0）恒成立，進而使[f（x）-g（x）]max≤0（或[f（x）-g（x）]min≥0）即可.

2.為了更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究思維，由此題的分析和解決，筆者就以“問題1”為引例，“借”題發(fā)揮，設(shè)計了一系列問題，讓學(xué)生“學(xué)一題，觸一類，通一片”，努力使得本次課成為一次生動的習(xí)題探究課.

二、總結(jié)與反思

筆者設(shè)計的7個問題以問題1為源頭借“題”發(fā)揮，進行引申與拓展，給出了函數(shù)題中含全稱、存在量詞的命題的常見類型及其轉(zhuǎn)化方法，將復(fù)雜的問題簡潔有效地解決.探究的這些問題及其解法并不是孤立的，而是相互聯(lián)系和滲透的，這一“串”問題及其探究過程不僅是引領(lǐng)學(xué)生們?nèi)ヂ?lián)想、探索、探究出某類問題的內(nèi)在規(guī)律，也是幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力、提升思維水平、形成數(shù)學(xué)品質(zhì)的重要途徑和提高數(shù)學(xué)課堂效益的主要手段.

（一）善于借“題”發(fā)揮，自覺積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗

解題也是一種創(chuàng)新，作為數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，積累一定的解題經(jīng)驗和把握其中的方法和規(guī)律對以后解題的幫助是很大的，而善于借“題”發(fā)揮，編題變式訓(xùn)練是解題經(jīng)驗自覺積累的有效途徑.如在上述問題的探究后我們可以將其中的條件或結(jié)論適當(dāng)變化，編設(shè)出一些新題，進而鞏固方法，辨析異同，提升能力.

波利亞曾形象地說“好問題同某些蘑菇有些相似，它們大都成堆地成長，找到一個以后，你應(yīng)當(dāng)在周圍找一找，很可能就有幾個”.通過學(xué)生的編題變式訓(xùn)練進行模仿求解，使其思維得到強化，理解更加深入，這是我們教學(xué)中應(yīng)當(dāng)倡導(dǎo)的.

（二）數(shù)學(xué)的方法和思維必須親歷方曉曲折和樂趣

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍存在“一學(xué)就懂、一考就懵”、“懂而不會”的現(xiàn)象，課上聽得懂，課后自己解“還是不會”；知道某類題可以這樣操作，但具體解決時錯誤百出，等等.因此，作為數(shù)學(xué)教學(xué)更需要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生親歷解決或運算過程，增強運算的基本功和探究中的可行性分析和預(yù)判能力；更需要指導(dǎo)學(xué)生“明算理、優(yōu)算法、重突破”；如上面的問題3和問題7，分類討論的思想學(xué)生都能想到，但為了優(yōu)化問題的解決，可以引導(dǎo)學(xué)生采用“正難則反”的思想，其實也就是“求簡變通”的思想，并留時間讓學(xué)生親自操作，提高實效.

解題教學(xué)強調(diào)講題要講透，但“透”并非僅僅是分析到位、展示詳盡，更要讓學(xué)生們能達到“會一題、通一類”的效果，透過現(xiàn)象、抓住實質(zhì)、把握規(guī)律，提升理性思維能力，這應(yīng)該是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)思想和根本目標.

（三）思考和反思能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加投入和深入

所謂的解題反思實際上就是在一個問題解決后再進行如下的探索：本題的命題意圖是什么？本題考查了那些知識和能力？解題過程是否正確、合理？本題還有沒有其他的解法或者更優(yōu)的解法？能否推廣本題的解法或結(jié)論，得到更具一般性的結(jié)論？這些反思有助于學(xué)生在原有基礎(chǔ)上的提高，進一步建構(gòu)更高層次的認知.因此，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要經(jīng)常對所學(xué)知識和方法進行歸納總結(jié)，探尋突破口和規(guī)律；對比較典型的問題（如上面的問題）要留足時間讓學(xué)生認真審題，理解問題的本質(zhì)；在問題探究中應(yīng)盡可能地引領(lǐng)學(xué)生多方法、多角度地思考和發(fā)現(xiàn)問題.通過對典型問題的“一題多解、一題多變、多題同解”地訓(xùn)練，既能促進學(xué)生深入理解知識，又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，從中學(xué)到“等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合”等基本的數(shù)學(xué)思想.

總之，在解題教學(xué)和學(xué)習(xí)中我們應(yīng)該更多地關(guān)注解題分析，不僅關(guān)注如何獲得解答，更要對“解答”進一步分析而增強解題能力、優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，學(xué)會“數(shù)學(xué)地思考”.真正實現(xiàn)羅增儒先生倡導(dǎo)的“通過有限的典型例題的學(xué)習(xí)去領(lǐng)悟那種解無限道題的數(shù)學(xué)機智”.

【參考文獻】

[1]蘇明亮.高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中要善于借“題”發(fā)揮[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2016（4）：30-32，43.

[2]樊宏標.利用問題串優(yōu)化習(xí)題教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探究能力[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2016（4）：37-40.endprint