閆 鑄，汪甜芳

（1.南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，江蘇 南京 210046；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

移除最高分最低分的均值統(tǒng)計(jì)理論研究

閆 鑄1，汪甜芳2

（1.南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，江蘇 南京 210046；2.內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，內(nèi)蒙古 呼和浩特 010051）

在競技比賽中個(gè)人表現(xiàn)可以用裁判分?jǐn)?shù)的平均值來評估.兩種方法可以得到平均值.一種方法是直接取平均數(shù)，而另一種則是通過剔除最高分和最低分取剩下樣本的平均值.后者在實(shí)際中得到了廣泛的應(yīng)用.本文建立了這種評價(jià)方法的統(tǒng)計(jì)理論，并與經(jīng)典理論進(jìn)行了比較.結(jié)果表明兩種方法的準(zhǔn)確性無顯著性差異.只有當(dāng)最高最低分代表少數(shù)評委的評價(jià)，并且被懷疑有一定的傾向性時(shí)，移除最高分和最低分才是合理的.該結(jié)果可指導(dǎo)實(shí)踐中選擇競賽評委和評價(jià)方法.

次序統(tǒng)計(jì)量；均值；最高分；最低分

0 引言

近年來,隨著各種選秀、比賽節(jié)目的增多,經(jīng)?？吹皆u委對選手進(jìn)行評分來反映選手的水平,評委的評分方法主要分為兩種:第一種是傳統(tǒng)的評分方法,即對所有得分求均值定為選手的得分；第二種為新式的方法,即除掉得分中的最高分和最低分求均值定為選手的得分.目前,這種新式的去掉最高分和最低分再求均值的評分方法廣受大眾推崇,但是卻很少發(fā)現(xiàn)有針對這種方法評價(jià)的理論研究,這種新式的評分方法理論上是否具有一定優(yōu)勢,相比較傳統(tǒng)的方法能不能更精確地體現(xiàn)選手的水平,為此本文中從理論和數(shù)值上進(jìn)行研究.

因?yàn)樵u委的打分是集中在一定區(qū)域的,均勻散布或呈現(xiàn)兩頭小中間大的趨勢,所以可以將評委的打分近似看成是服從均勻分布或正態(tài)分布的,也就是說,可以將評委所打的分?jǐn)?shù)看成是均勻分布或正態(tài)分布總體的子樣.

在基于這兩種分布,除掉最高分和最低分即為這一樣本中除掉最大次序統(tǒng)計(jì)量和最小次序統(tǒng)計(jì)量,討論傳統(tǒng)方法選手的得分即為樣本均值,而新式的方法即為除掉最大次序統(tǒng)計(jì)量和最小次序統(tǒng)計(jì)量后的樣本的均值,針對這兩種方法精度的比較,也就轉(zhuǎn)換成了:對這兩種均值的期望與方差大小的比較.

1 均勻分布情形

本節(jié)討論上述兩種評價(jià)方法的精度.

設(shè)評委的打分為 ξ1,ξ2,…,ξn，將其按從小到大排列為 ξ(1),ξ(2),…,ξ(n).假設(shè)評委的打分總體服從均勻分布,即 ξ1,ξ2,…,ξn是U(a,b)的容量為 n 的子樣,ξ(1),ξ(2),…,ξ(n)為對應(yīng)的次序統(tǒng)計(jì)量.令

1.1 計(jì)算 E()

因?yàn)棣?k)的密度函數(shù)為:

所以

1.2 計(jì)算 Var()

根據(jù)(1.6),有

通過一些數(shù)學(xué)計(jì)算,容易得到以下結(jié)果:

根據(jù)協(xié)方差公式有:

因?yàn)?η(k),η(j))的聯(lián)合密度函數(shù)為:

根據(jù)(1.7)和（1.13）可以得到

所以

1.3 比較 Var()和 Var()

當(dāng)n≥3時(shí),很顯然以下不等式成立:

表1 和的方差

表1 和的方差

n Va Varξ)4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15 0.2500000 0.3200000 0.2000000 0.2804233 0.1666667 0.2334184 0.1428571 0.1966667 0.1250000 0.1687243 0.1111111 0.1471614 0.1000000 0.1301653 0.0909091 0.1164927 0.0833333 0.1052916 0.0769231 0.0959690 0.0714286 0.0881019 0.0666667 0.0813827

2 正態(tài)分布情形

假設(shè)評委的打分服從正態(tài)分布,即 ξ1,ξ2,…,ξn是 N(μ,σ2)的子樣,ξ(1),ξ(2),…,ξ(n)是次序統(tǒng)計(jì)量.同樣地,令為傳統(tǒng)方法選手的得分為新方法選手的得分.

η(1)的密度函數(shù)為

η(n)的密度函數(shù)為

則

根據(jù)方差和協(xié)方差的定義公式:

η(k)的密度函數(shù)為:

此時(shí)E(η(k)),E(η2(k))可以寫成如下表達(dá)式:

η(k),η(j)的聯(lián)合密度函數(shù)為:

則 E(η(k)η(j))可以寫成如下表達(dá)式:

D':(0＜u＜+∞,0＜v＜+∞),且 Jacobi行列式 J=1.則

表2 和的方差

表2 和的方差

n Var(ξˉ) Var(ξ~)4 5 6 7 8 9 1 0 11 12 13 14 15 0.2500000 0.301409 0.2000000 0.229054 0.1666667 0.185498 0.1428571 0.156094 0.1250000 0.134828 0.1111111 0.118704 0.1000000 0.106045 0.0909091 0.095839 0.0833333 0.087431 0.0769231 0.080385 0.0714286 0.074393 0.0666667 0.069234

當(dāng) n=4,5,…,15 時(shí),分別運(yùn)行程序并得到 Var()和 Var()的值,并將其值在表 2 中.(考慮到 Var()和 Var()都有系數(shù)σ2,在這里計(jì)算的值是分別提取系數(shù)σ2后的值.)

3 結(jié)論

通過以上分析知道,在評委的打分服從均勻分布或正態(tài)分布的情況下,令為傳統(tǒng)的評分方法(即以所有評委打分的平均值估計(jì)選手的得分)中的選手得分,為新式的評分方法(即除掉分?jǐn)?shù)中的最高值和最低值后的平均分計(jì)為選手的得分)中選手的得分,則有 E()=E(),Var()＞Var().從以上結(jié)果可以知道,兩種方法都能估計(jì)選手的真實(shí)水平,且在評委數(shù)不是特別大的情況下,傳統(tǒng)的方法較新方法更能精確的反映選手的真實(shí)水平,也就是說傳統(tǒng)的評分方法要優(yōu)于新評分方法.

但現(xiàn)實(shí)生活中新式評分方式仍然大受歡迎,究其原因,更多的是防止評委偏袒,從而達(dá)到對選手的公平公正.

附錄R程序

〔1〕John Verzani.Using R for introductory statistics,Chapman&Hall CRC Press,New York，2004.

〔2〕茆詩松，王靜龍，濮曉龍.高等數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：高等教育出版社，1998.

〔3〕Philippe Caperaa,Louis-Paul Rivest.On the variance of the trimmed mean.Statistics&Probability Letters 22(1),79-85(1995).

O213

A

1673-260X（2017）12-0004-03

2017-09-19