甘肅省禮縣第一中學(xué) 楊 薇

圓錐曲線 “易錯(cuò)題”歸類(lèi)剖析

甘肅省禮縣第一中學(xué) 楊 薇

在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中,同學(xué)們由于未從根本上理解曲線與方程之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,故而在數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化時(shí)常出現(xiàn)偏差和遺漏,在繁雜的運(yùn)算中,忽視等價(jià)性,導(dǎo)致“失根”或“增根”的現(xiàn)象。本文針對(duì)圓錐曲線中常見(jiàn)的易錯(cuò)、易混、易忘的典型題進(jìn)行錯(cuò)解剖析和警示展示,希望能引起同學(xué)們的重視。

易錯(cuò)類(lèi)型1——忽略圓錐定義中的隱含條件

A.直線 B.拋物線

C.雙曲線 D.橢圓

剖析:錯(cuò)解中忽略了定點(diǎn)(1,2)就在直線3x+4y-1 1=0上這個(gè)隱含條件,應(yīng)選A。

警示:平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫作拋物線。當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí),軌跡為過(guò)定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線,而非拋物線。

雙曲線的定義中易忽視2a＜|F1F2|這一條件。若2a=|F1F2|,則軌跡是以F1,F2為端點(diǎn)的兩條射線;若2a＞|F1F2|,則軌跡不存在;若去掉定義中的絕對(duì)值,則軌跡僅表示雙曲線的一支。

易錯(cuò)類(lèi)型2——忽略橢圓或雙曲線焦點(diǎn)所在位置的討論

警示:由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求解參數(shù)值時(shí),一定要注意焦點(diǎn)所在的位置,當(dāng)位置不確定時(shí)要分兩類(lèi)進(jìn)行討論。

易錯(cuò)類(lèi)型3——忽略橢圓參數(shù)方程(三角換元)的應(yīng)用

例3 設(shè)點(diǎn)P(x,y)在橢圓4x2+y2=4上,求x+y的最大值、最小值。

錯(cuò)解:因?yàn)?x2+y2=4,所以4x2≤4,解得-1≤x≤1。同理得-2≤y≤2。故-3≤x+y≤3,所以x+y的最大值、最小值分別為3,-3。

剖析:本題中x,y除分別滿足-1≤x≤1和-2≤y≤2條件外,還受制約條件4x2+y2=4的約束。當(dāng)x=1時(shí),y此時(shí)取不到最大值2,故x+y的最大值不為3。選用點(diǎn)參式(三角換元)代入,令x=c o sθ,y=2 s i nθ,則x+y=c o sθ+2 s i nθ=5 s i n(θ+φ),故其最大值為5,最小值為-5。

警示:凡是動(dòng)點(diǎn)在圓或橢圓上的有關(guān)最值問(wèn)題,用圓或橢圓的參數(shù)方程,點(diǎn)參式代入構(gòu)建目標(biāo)函數(shù),利用三角變換化為三角函數(shù)的有界性求解,凸顯了參數(shù)方程的簡(jiǎn)化功能。

易錯(cuò)類(lèi)型4——直線與拋物線或雙曲線的位置關(guān)系研究中忽略特殊情形

例4 已知點(diǎn)M(-2,0),N(2,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=2 2,記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W。

(1)求W的方程;

錯(cuò)解:(1)由|PM|-|PN|=2 2知,點(diǎn)P的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支,實(shí)半軸長(zhǎng)a=2,又半焦距c=2,故虛半軸長(zhǎng)b=2,所以W 的方程為-=1(x≥ 2)。

剖析:(1)的解答是正確的。(2)的解答中忽視了直線A B斜率不存在的情況,從而出現(xiàn)A·無(wú)最小值的錯(cuò)誤結(jié)論。錯(cuò)解中應(yīng)補(bǔ)上“當(dāng)A B⊥x軸時(shí),x1=x2,從而y1=-y2,所 以·=x1x2+y1y2=x21-=2,則·的最小值為2”。

警示:在直線與雙曲線或拋物線位置關(guān)系的研究中,設(shè)出直線方程,然后將直線方程和曲線方程聯(lián)立組成方程組,消元后轉(zhuǎn)化成關(guān)于x(或y)的一元二次方程。利用根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系,凸顯“設(shè)而不解,整體思維”的特點(diǎn),不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形的討論。如本題忽略斜率不存在導(dǎo)致無(wú)最小值的結(jié)論。

易錯(cuò)類(lèi)型5——“點(diǎn)差法”求解與弦中點(diǎn)有關(guān)問(wèn)題時(shí)忽略相交的前提條件

例5 已知雙曲線x2-=1,過(guò)點(diǎn)B(1,1)能否作直線l,使l與所給雙曲線交于兩點(diǎn)M,N,且B為MN的中點(diǎn)?若存在,求出l的方程;若不存在,說(shuō)明理由。

錯(cuò)解:設(shè)M (x1,y1),N (x2,y2),MN的中點(diǎn)B (x ,y),MN的斜率為k,由題設(shè)可知-y=1-=1,兩式相減得(x1++x=2,y+y=2代入,有=k=2122,這說(shuō)明直線的斜率為2,即y=2x-1為直線l的方程。

剖析:把y=2x-1代入x2-=1,整理得2x2-4x+3=0,Δ=1 6-4×2×3＜0,所以此方程無(wú)實(shí)數(shù)根,即M,N根本不存在,不存在這樣的直線l,上述錯(cuò)誤的原因是忽視直線和雙曲線相交的前提。

正解1:在錯(cuò)解的基礎(chǔ)上補(bǔ)充:y=2x-1代入x2-=1,整理得2x2-4x+3=0,因?yàn)棣?1 6-4×2×3＜0,只能說(shuō)明y=2x-1不滿足。還得研究x=1能否滿足,顯然過(guò)B點(diǎn)垂直x軸的直線也不符合題意,則不存在。綜上,這樣的直線不存在。

正解2:用通法,顯然過(guò)B點(diǎn)垂直x軸的直線不符合題意。只考慮有斜率存在的情況。設(shè)l的方程為y-1=k(x-1),代入雙曲線方程x2-=1,整理得 (2 -k2)x2-2k(1 -k)x-k2+2k-3=0。設(shè)M(x1,y1),N(x,y),則有x+x==2,解2212得k=2。由直線與雙曲線必須有兩不同交點(diǎn),所以Δ=4k2(1 -k)2+4(2 -k2)·(k2-2k+3)＞0,把k=2代入得Δ=-8＜0,故不存在滿足題意的直線l。

正解3:以形助數(shù),作出雙曲線和漸近線,對(duì)于漸近線與雙曲線圍成的區(qū)域內(nèi)的任意點(diǎn),過(guò)該點(diǎn)且以該點(diǎn)為中點(diǎn)的雙曲線的弦均不存在,而點(diǎn)(1,1)恰在漸近線與雙曲線圍成的區(qū)域內(nèi),故不存在滿足題意的直線l。

警示:“點(diǎn)差法”揭示了弦的斜率可以用弦的中點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)來(lái)表示。凡涉及弦的中點(diǎn)等有關(guān)問(wèn)題都可選用“點(diǎn)差法”簡(jiǎn)化求解。但用此法必須以直線和圓錐曲線相交為前提,否則就會(huì)出錯(cuò)。

(責(zé)任編輯 王福華)