李申華

【摘 要】數學解決問題教學，不應該忽視數量關系，而應該更加重視數量關系的建構。具體而言，可以從“注重積累，建構數量關系；注重策略，活用數量關系”兩個方面展開教學，從而有效促進學生解決問題能力的提升。

【關鍵詞】數量關系；問題解決；能力培養(yǎng)；途徑策略

新課改實施以來，一線教師對于解決問題教學，存在最大的困惑就是能否提數量關系，怎樣提數量關系，提到什么程度。許多教師在教學中不敢提數量關系，只停留在具體的情境上，趨向以題論題，日積月累下來，學生對問題的結構特征和數量關系模糊不清，解決問題能力薄弱。到了高段，學習復雜的解決問題以及列方程解應用題，就會更加困難，也會致使兩極分化加劇。數量關系是解決問題的基礎和關鍵，是解決問題的引擎，是動力所在。解決問題，學生首先要理解題意，明確題中的條件和問題，明確條件與條件之間存在什么樣關系，才能有效清晰地解決問題，這就是數學核心素養(yǎng)之一的“數學建?！薄祵W從某種角度說，就是研究數量關系的科學，數量關系不清楚，數學也很難學好。新課改倡導，不但不能削弱數量關系教學，而且應該加強數量關系教學，培養(yǎng)學生“數學建?！蹦芰Α．斎?，不能從數量關系的模式出發(fā)，機械照搬使用，而應該從實例出發(fā)，積累、感悟、歸納和運用，使“數量關系”自然生成、靈活使用。下面筆者談談自己的一些實踐經驗。

一、注重積累，建構數量關系

解決問題教學，要求學生能厘清情境中的信息與所求問題之間的數量關系，能用語言有條理地表述思維過程，明確解決問題的結構，能在整合溝通中梳理數量關系。這些數量關系的得出，都必須經過一個長期不斷積累的過程。因此，對中低年級學生的解題思路進行訓練，在學生闡述的過程中不斷積累數量關系，鞏固數量關系，使這些基本的數量關系在學生的知識體系中網絡化，有利于學生形成數量關系體系。

（一）表述思維——建構數量關系

引導學生對思考過程進行闡述，學生表述的過程就是其在頭腦中抽象數量關系的過程。其實也就是讓學生說解題思路，這個語言化的過程可以是口頭的闡述，也可以是畫圖、列表，或者是文字表述，運用這些數學化的手段，分析、梳理信息之間的數量關系，進而達到真正建構數量關系的目的。

1.畫解題思路。引導學生學會畫直觀圖，直觀呈現數量關系。這種圖可以是線段圖或者是學生自己喜歡的圖形與文字等的結合。教師一定要經常在幫助學生梳理、篩選信息的過程中，示范畫線段圖，教會學生看線段圖和梳理、挖掘已知條件，并體會線段圖對于解決問題的好處。經過一段時間的訓練后，就要讓學生嘗試借助畫線段圖來整合條件，把解決問題中的本質直觀形象地呈現出來。教師及時點撥學生理清根據哪兩個數量畫出來的，可以求出什么數量？這樣數形結合的過程，也是畫解題思路的過程，并且為明晰數量關系掃清了障礙。

如在教學三年級上冊“用乘除法解決問題”一課時，教師出示問題：媽媽買3個茶杯用去27元，買8個這樣的茶杯需要多少元？讓學生在獨立審題的基礎上要求學生采用畫圖或文字表述的方式來表示題目的意思。

學生通過自主表示題目的意思，多元表征，在合作討論交流中很好地梳理了題目的數量關系，逐步從具體實物圖過渡到線段圖以及文字表征等，豐富了表征的形式，發(fā)展了學生的概括能力，為理解數量關系、獨立列式解答奠定了良好的基礎。

2.寫解題思路。有了畫線段圖為基礎，接下來學生才有可能理清數量關系。讓學生在圖示基礎上，把數量關系式寫出來。開始階段，為了幫助部分有困難的學生準確有效地找到數量關系，就要教會他們找到涉及基本數量關系的關系句。告訴學生這些關系句中通常都會提及兩個量，只要把這個關系句進行劃分，搞清楚這兩個量之間的關系后，再寫成數量關系式，就可以為建構數量關系打下堅實的基礎。寫解題思路的方法在高段尤其是學習分數應用題時顯得尤為重要，通過學生寫解題思路，引發(fā)頭腦的聯(lián)想風暴，將學過的知識進行融會貫通，為解決問題掃平思維的障礙。如低年級學習“男生比女生多4人”，要求學生在會畫圖的基礎上寫出“女+4=男，男-女=4”等關系式，再到六年級學習分數應用題時出示“男生比女生多[14]”，就能根據圖示寫出關系式“女×（1+[14]）=男”，再針對這個信息進行聯(lián)想，學生會由此想到：男生是女生的[54]，女生是男生的[45]，男生與女生的比是5∶4，女生與男生的比是4∶5，男生是女生的125%……根據這些信息也能寫出相對應的數量關系式和解題思路，學生解決問題時就能觸類旁通、游刃有余。

3.說解題思路。在教學中，教師可以先讓學生說一說已知的條件和問題，檢查學生是否已經讀懂相關的條件和問題。這個過程也是辨別信息、梳理條件和問題之間匹配性的重要過程。接著，讓學生說一說，根據哪兩個量，可以求出什么量，再根據求出的結果和第3個量，又可以求出什么結果。學生說的解題思路，可以是從條件到問題，也可以是從問題到條件。學生一開始在教師的提問和自己的回答中說解題思路，經過一段時間的訓練后，就能流暢地用分析法或者綜合法說解題思路。這就是學生能有效把握數量關系的證明。

如在教學歸總問題時，教師充分運用學生已經學習了歸一問題的知識基礎，出示了幫助學生說理的思維“腳手架”，即根據（ ）和（ ）可以求出（ ），再根據（ ）和（ ）又可以求出（ ），利用這個思維的腳手架充分搭起了學生有序思考問題的橋梁，為學生分析數量關系，順利地解決問題打下堅實的基礎。

（二）明確結構——積累數量關系

兩步計算解決問題是解決問題體系中的關鍵和轉折點。明確兩步計算解決問題的結構，使學生在此過程中弄清和積累數量關系，為解決問題策略的多樣化以及解決更復雜的復合問題打好基礎。兩步計算雖然和一步計算僅僅一步之差，但是就是這一小步，卻是關鍵的一步。這對幫助學生在條件和問題之間找到中間的踏板，加強兩步問題的結構訓練就顯得尤其重要。使學生通過把握兩步計算問題的結構，學會解決兩步問題，進而解決更復雜的問題。endprint

1.“過渡”改編。讓學生進行“過渡”改編，不直接出示兩步計算問題，而是出示兩道有聯(lián)系的一步問題，學生解題后要求他們合并成一道題。再讓學生觀察兩組題之間的聯(lián)系與區(qū)別。這樣的過渡訓練既把隱藏的條件揭示出來，又使學生無形中了解到兩步計算問題的結構，有了這個過程，學生說起解題思路來也就輕松了。在教學兩步計算問題時，教師化解難度，讓學生更好地理解題意，掌握方法，對問題進行過渡，一分為二，尋找方法再解決問題。如：王叔叔帶領工程隊修一段路長600米，已經修了320米，余下的每天修70米，還要幾天才能完成？由于三年級學生初學兩步問題，教師采用出示兩題的方式：王叔叔修一段長600米的路，已經修了320米，還剩下多少米？再出示：一段路剩下280米，每天修70米，還需要多少天才能完成任務？將這個問題一分為二，降低難度，幫助學生掌握分析問題的方法。在此基礎上再重新出示原題讓學生體會解決問題的方法，同化新知，使學生順利掌握解題思路。

2.擴展改編。在學生對兩步問題有了一定認識的基礎上，訓練學生把一步問題中的一個信息擴展為兩個信息，引導學生把直接條件轉化為間接條件。這樣做不僅能使學生進一步明確兩步問題是由一步問題的直接條件轉化成間接條件而來的，而且為分析以后更復雜的問題結構打好了基礎。如 一、二年級學習的加法問題“男生20人，女生80人，一共多少人？”將題目中的“女生80人”這個直接條件改編成“女生是男生的4倍”，讓學生求總人數，通過改編實現一步問題向兩步問題的跨越，在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設置問題，幫助學生理解，促使學生的思維能力得到發(fā)展。

3.縮題改編。讓學生進行縮題改編，就是讓他們先找到中間問題，先算一算變成直接條件，然后把兩步問題轉化成一步問題。教師可以提出要求：條件不變，變問題，把兩步問題改為一步問題；條件變，問題不變，把兩步問題縮成一步問題。然后讓學生比較這組題有什么相同和不同之處。通過這樣的練習，學生會懂得：把間接條件轉化為直接條件，兩步計算的問題可變成一步計算的問題，這就為學生正確認識中間問題作了鋪墊。

（三）整合溝通——網絡數量關系

學生在切實理清兩步問題結構的同時，也間接落實并積累了常見的基本數量關系，以這個基本數量關系為基礎，發(fā)展到一組數量關系，再由此及彼，拓展那些結構類似的基本數量關系，形成數量關系群，就是由點到線、由線到面、由面到體逐步發(fā)散的過程。這樣呈放射狀的數量關系群，必須進行針對性訓練和綜合性訓練，然后引導學生通過比較、辨析、溝通、整合，逐步抽象出它們的數學模型。學生不僅了解到這群數量關系的本質，而且了解到它們的來龍去脈，知道了它們在具體生活情境中的變式，也意味著抓住了數量關系的靈魂。

如學習了“速度、時間和路程”后，可以拓展單價、數量、總價的數量關系和工作效率、工作時間與工作總量的數量關系。出示這兩組類型的問題，讓學生解決。因為有了基礎，所以學生能比較順利地歸納出這兩組數量關系。最后，引導學生比較這三組數量關系，有何異同，在溝通和比較中概括出速度、單價、工作效率相當于每份數，時間、數量、工作時間相當于份數，路程、總價、工作總量相當于總數，這三組數量關系就相當于份總關系，在拓展和延伸中學生也建構了數學模型。

學生在教師的帶領下，從一個數量關系到一組數量關系再到一群數量關系，其實就是把個別特殊的數量關系拓展為一群數量關系，再從中找出和它們本質相關的數量關系，在此過程中，學生也在比較、辨析中建構了數量關系。

二、注重策略，活用數量關系

高年級的解決問題教學，要把重心放在引導學生學會運用策略解決實際情境中的數學問題，激發(fā)他們主動自覺運用策略解決問題的意識，幫助學生更好地梳理數量關系，直觀地分析數量關系，從而進一步概括出精練且內化的數量關系，最終達到靈活運用的目的。

（一）對比——體驗活用

讓學生在對比中溝通解法的聯(lián)系，異中求同，防止學生在解決問題中形成思維定勢，幫助他們從根本上理解數量關系，學會構建數學模型，發(fā)散多樣化的解決策略。

⑴甲書架有書60本，乙書架的書比甲書架的2倍少20本。乙書架有書多少本？

⑵甲書架有書60本，比乙書架的書的2倍少20本。乙書架有書多少本？

學生容易產生思維定勢，看到少就減，看到多就加，教師為了打破學生的思維定勢，使他們真正理解數量關系，就要求學生畫線段圖整理信息，再結合線段圖進行解讀，對關鍵詞句進行逐一分析，從文字表述和線段圖兩方面對比異同，在數形結合中洞察數量關系。最后，對兩題的結構和解法進行比較，學生體會到像這樣的1倍數未知的題目，還是用列方程來解更好一些。

教師應該引導學生通過數形結合，抓比較，抓關鍵詞句分析，使學生意識到不能見少就減，見多就加。引領學生感受并自主選擇求1倍數的時候用列方程解決問題更恰當。學生也從根本上理解和內化了數量關系，形成了解決問題的策略。

（二）跟蹤——鞏固活用

學生在積累了一定的數量關系后，教師可以針對某個專題、某種策略進行跟蹤研究，讓學生學會列方程解決問題的方法。在專題研究中，學生更能靈活選擇策略，運用數量關系，解決問題。如在初步學習購票問題的解決方案后，教師出示了旅行社推出“××風景區(qū)一日游”兩種價格方案。

[方案一

成人每人150元，

兒童每人60元。] [方案二

團體5人以上

（含5人）

每人100元。]

（1）成人6人，兒童4人，怎樣購票最省錢？

（2）成人4人，兒童6人，怎樣購票最省錢？

學生在思考問題時充分考慮人數的變化選擇相應的方案，鞏固學習的方法。

（三）反思——自主活用

教師及時引導學生回顧與展望解題過程，加強反思訓練，有利于舉一反三、觸類旁通，培養(yǎng)思維的深度和廣度。

如教學“梯形的面積”后，教師出示這樣的問題：有一堆鋼管，它的橫截面是梯形，最上層有3根，每層多一根，最下層有7根，這堆鋼管一共有幾根？讓學生思考解決這個問題可以運用學過的什么數量關系。你還想到什么類似的問題也可以運用這個數量關系來解決？有學生舉例排隊問題。教師繼續(xù)拓展：學校合唱隊表演，排成四排，第一排有8個人，每排多兩人，這個合唱隊一共有幾人？學生獨立解決后，思考、比較這個隊形和算式，有什么發(fā)現？學生通過對梯形面積的及時反思，發(fā)現這些問題最終都能化歸到求梯形的面積計算公式上來，鞏固、深化了梯形面積計算公式的數量關系。

解決問題策略應該是和數量分析密不可分的，不能切割開來，我們要多著力于策略的有機滲透。教師站在策略的高度俯視，再來引導學生進行數量關系的建構，才能教活數量關系。

總之，教師教學解決問題時首先應該著重于鋪墊，活用主題圖，善用提問，巧用自編題，讓學生感悟數量關系。在此基礎上，讓學生在表達思維、明確結構和形成數量關系網絡的過程中逐步理解掌握數量關系。最后，要引導學生靈活運用數量關系，教師通過對比策略、專題跟蹤策略、反思策略，引導學生瞻前顧后，提升思考力，形成解決問題策略。當然，有效地落實數量關系的建構，不是落實套路和模式，而是教師在課堂教學中要重視學生對數量關系的建構過程，關注學生的數學思考力和數學思想方法的發(fā)展。

參考文獻：

[1]鐘輝.小學數學“解決問題”教學的思考與實踐[J].教學月刊·小學版（數學），2007（11）：28～30.

[2]卞慶龍.新課標背景下的數量關系分析教學[J].教學與管理，2015（08）：47～49.

（浙江省臨海市桃渚鎮(zhèn)連盤小學 317013）endprint