段志貴

(鹽城師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 224002)

許多人熟知波利亞的怎樣解題表，卻對(duì)他的解題思維圖解并不十分清楚．在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中，波利亞分析了解題思維的作用，提出了面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的思維路徑，構(gòu)畫了“我們?cè)撛鯓铀伎肌币粓D[1]．這是一張正方形圖解，位于四個(gè)頂點(diǎn)的分別是“動(dòng)員”、“組織”、“分離”和“組合”，四條邊上安排是“辨認(rèn)”、“回憶”、“充實(shí)”以及“重新配置”，位于正方形中心的是“預(yù)見(jiàn)”，這些都是這張圖解的關(guān)鍵詞．這里的“重新配置”，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是改變問(wèn)題構(gòu)思的“結(jié)構(gòu)”[1]．“窮則變，變則通”，根據(jù)問(wèn)題求解的需要對(duì)問(wèn)題的條件和結(jié)論做出必要的變動(dòng)，把相關(guān)因素進(jìn)行合理的再調(diào)配、再組合，這種依情況變化而做出解題改變的思維策略，就是人們常說(shuō)的變通．

數(shù)學(xué)解題中的變通策略，其實(shí)質(zhì)就是當(dāng)我們遇到問(wèn)題且難以直接用所學(xué)到的公式定理去解決時(shí)，對(duì)原問(wèn)題的相關(guān)要素或關(guān)系作等價(jià)或同構(gòu)式的轉(zhuǎn)換，以實(shí)現(xiàn)解題的更好預(yù)見(jiàn).變通的思維不完全等同于化歸、類比等具體的數(shù)學(xué)思想方法，貫穿于變通思維其中的是開放、靈活、調(diào)適與機(jī)動(dòng)，通過(guò)改變問(wèn)題思考的方式去發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法．一般說(shuō)來(lái)，常常用于數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的變通策略有以下六種．

1 變審題視角，讀懂問(wèn)題立意

許多問(wèn)題難于入手，往往是我們不能很好地理解題意．需要我們通過(guò)調(diào)整角度重新審視問(wèn)題的條件與結(jié)論，才能更準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)問(wèn)題本質(zhì)．例如,已知“直線l和圓O相切”，就是已知“點(diǎn)O到直線l的距離等于半徑”；要證“a，b，c中至少有一個(gè)為1”，只要證“(a-1)(b-1)(c-1)=0”就行了；限定“ABCD四人排成一行,A不準(zhǔn)排在首位”,換個(gè)角度,就是要求“ABCD四人排成一行,B排在首位,或C排在首位,或D排在首位”[2]．問(wèn)題本質(zhì)沒(méi)有改變，認(rèn)識(shí)的角度換了，理解起來(lái)容易得多了．

例1當(dāng)a為何值時(shí),由不等式1

例2滿足不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，求p.

分析若不仔細(xì)審題，可能會(huì)直接討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，找出對(duì)應(yīng)方程的根，再對(duì)根進(jìn)行大小討論來(lái)化解問(wèn)題，這樣做顯然不簡(jiǎn)單.事實(shí)上，從題設(shè)不等式解的最大值含義去解讀已知條件，就會(huì)發(fā)現(xiàn)適合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值為3，所以x-3≤0，故|x-3|=3-x.所以，原命題等價(jià)于“已知適合不等式|x2-4x+p|≤2+x的x的最大值為3，求p．”這一命題只含有一個(gè)絕對(duì)值，解決起來(lái)容易得多了．

若|x2-4x+p|=-x2+4x-p，則原不等式為x2-3x+p+2≥0，其解集不可能為{x|x≤3}的子集，所以必有|x2-4x+p|=x2-4x+p.原不等式化為x2-4x+p+3-x≤0，即x2-5x+p-2≤0.令x2-5x+p-2=(x-3)(x-m)，可得m=2，p=8.

2 變破題方法，理解隱含條件

有一些問(wèn)題，讀起來(lái)感覺(jué)并不難懂，但就是無(wú)從下手．這可能就是我們對(duì)題目本身的隱含條件認(rèn)識(shí)和挖掘的還不到位．有的題目冗長(zhǎng)，讀了就過(guò)去；有的條件或待求結(jié)論本身藏著條件，但沒(méi)有突顯出來(lái)；有的題目借助圖形不明說(shuō)出條件；還有的題目創(chuàng)新或自定義概念等等．這就需要我們?cè)诮忸}的各個(gè)環(huán)節(jié)，注意對(duì)隱含條件的充分理解．

例3直線m:y=kx+2k+1與直線n:2x+y-4=0的交點(diǎn)在第一象限內(nèi)，求k的值．

圖1

圖2

3 變題柱元素，轉(zhuǎn)換問(wèn)題主元

絕大多數(shù)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的變量都不唯一，通常情況下，會(huì)有一些變量處于題柱角色，它們是解決矛盾的主要方面，稱之為主元；其他的元素則處于問(wèn)題解決的次要和服從地位，稱為次元．在一些問(wèn)題所給條件或結(jié)論中，往往掩蓋主元次元之間的關(guān)系，把相關(guān)變量攪拌在一起，增加解題難度．因此，在解題中如果能迅速準(zhǔn)確地找出主要元素，并突出主要元素，則可能解題目標(biāo)指向更清晰，更有利于抓住問(wèn)題的要害，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．特別地，在我們討論某些含參問(wèn)題時(shí),要學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換題柱元素角色，但通過(guò)變換主元,調(diào)整設(shè)定參數(shù),以避免討論,把握解題思路，實(shí)現(xiàn)解題過(guò)程的優(yōu)化與高效．

例5已知方程ax2-2(a-3)x+a-2=0中的a為負(fù)整數(shù),試求使方程的解至少有一個(gè)為整數(shù)時(shí)的a值．

例6設(shè)不等式2x-1>m(x2-1)對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

4 變題源背景，回歸概念定義

許多問(wèn)題的編擬都有一些特定的背景，要么是某個(gè)概念或數(shù)學(xué)公式，要么是某個(gè)已經(jīng)解決了的實(shí)際問(wèn)題，要么是一個(gè)基本思想的應(yīng)用等．在這其中，數(shù)學(xué)概念的背景，最值得重視和加強(qiáng)．任何一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的編擬與解決，數(shù)學(xué)概念不可或缺．一些特定的問(wèn)題中，概念既是推導(dǎo)公式、定理的依據(jù)，也是解題常用的一把鑰匙.所以對(duì)于一些特定的數(shù)學(xué)問(wèn)題,如能回到數(shù)學(xué)概念所定義的形式中去，往往能獲得題設(shè)一些具有本質(zhì)特征的屬性,達(dá)到合理運(yùn)算、準(zhǔn)確判斷、靈活解題的目的[2]. 因此，對(duì)概念的厘清和定義的把握，是對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的一種最好的理解．

然而有些問(wèn)題的解決，表面上看對(duì)定義的依賴性不強(qiáng)，但是如能透過(guò)題意，挖掘其中的基本元素間的關(guān)系，亦能幫助我們把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，厘清變量間錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系．因此，回到定義中去考慮,借助定義所反映的數(shù)學(xué)表達(dá)式進(jìn)行調(diào)節(jié)轉(zhuǎn)化，是把問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)的又一行之有效的解題策略．

例7將7個(gè)同樣的白球全部放入4個(gè)不同的盒子內(nèi)(可以有盒子不放)，問(wèn)共有多少種不同的放法？

分析本題題意并不費(fèi)解，但求解起來(lái)似乎并不容易．有些學(xué)生看到題目，就考慮分情況討論，這一過(guò)程將會(huì)十分繁瑣．可以考慮改變?cè)瓎?wèn)題情境，把原問(wèn)題“放到不同的盒子內(nèi)”等價(jià)地改編為“排列組合中的插板”問(wèn)題，因而可以直接利用組合的定義進(jìn)行解答．

事實(shí)上，把7個(gè)白球排成一排，并插入3個(gè)黑球，如圖3．在左邊的第一個(gè)黑球前面只有1個(gè)白球，表示第一盒子放1個(gè)白球；第二個(gè)黑球與第一個(gè)黑球之間有3個(gè)白球，表示第二盒子放3個(gè)白球；依次類推，第三和第四兩個(gè)盒子分別放2個(gè)和1個(gè)白球．同樣，圖4表示4個(gè)盒子放入的球數(shù)依次為0，4，0，3．

圖3

圖4

例8若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，F(xiàn)為拋物線y2=2x的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，為使|PA|+|PF|取最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖5

分析容易作出草圖如圖5所示，顯然A在拋物線開口方向內(nèi)．能否作出準(zhǔn)線，能否想到拋物線的定義，是解決本題的關(guān)鍵．

5 變題引線索，增設(shè)輔助參數(shù)

有些問(wèn)題，初看上去似乎缺少條件，一時(shí)難以入手，或是已知條件較多，無(wú)從下手，這時(shí)，我們可以增加一些輔助參數(shù)，來(lái)拓寬思路尋求解題良策.這一輔助參數(shù)，從更廣泛的意義上說(shuō)，包括增設(shè)的未知數(shù)，也包括一些輔助圖形．所謂的“設(shè)而不求”未知數(shù)，就是一種特別的輔助參數(shù)．所有這些輔助參數(shù)的加入，為解題增添了活力，使得問(wèn)題中的各變量之間的關(guān)系，特別是未知量與已知量之間的關(guān)系進(jìn)一步明朗化，為最終實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決，奠定了基礎(chǔ)．

例9有一個(gè)半徑是1的圓，圓心在x軸上運(yùn)動(dòng)，拋物線方程是y2=2x，試問(wèn)當(dāng)這個(gè)圓運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，圓與拋物線在同一個(gè)交點(diǎn)處的兩條切線相互垂直．

分析依據(jù)解題常規(guī)，一般是這樣思考的．首先依據(jù)題意，不妨設(shè)圓的方程(x-a)2+y2=1，與拋物線方程y2=2x聯(lián)立解方程組，從中可以求得交點(diǎn)P(x0,y0)的坐標(biāo)，然后再分別計(jì)算點(diǎn)P處的兩條切線的方程，并兩直線相互垂直知他們的斜率之積為-1．求得a的值．如果按照這一方案來(lái)解題，那是相當(dāng)繁冗的，特別表現(xiàn)在計(jì)算量比較大．本題也可以從另一個(gè)角度去思考，設(shè)而不求，從整體結(jié)構(gòu)上去分析思考，也許能夠事半功倍．

事實(shí)上，由已知條件易得：

6 變難題形式，反向探求解法

有些問(wèn)題難于求解，好比攻城，一條路徑行不通，看看可不可以采用其他的辦法，特別是逆向思維，從問(wèn)題結(jié)論的反面入手．羅巴切夫斯基從許多失敗者的教訓(xùn)中看到了把歐氏第五公設(shè)作為定理直接來(lái)證明是不可能的，反向而行之，提出了一個(gè)和第五公設(shè)相矛盾的命題,用它來(lái)代替第五公設(shè)，終于發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)的嶄新天地——非歐幾何學(xué)．解題中的舉反例、反證法、逆推法、排除法、同一法、補(bǔ)集思想等技巧，都可以說(shuō)是正難則反策略在數(shù)學(xué)中的具體應(yīng)用．反向探求解法，可以避免相關(guān)知識(shí)的縱向深入或分類討論，有效地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，拓展了解法探求的思維空間，為問(wèn)題解決打開了一個(gè)新的天地．

例11已知三個(gè)方程x2-mx+4=0，x2-2(m-1)x+16=0，x2+2mx+3m+10=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

分析若正面求解，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，將出現(xiàn)7種可能，情況復(fù)雜，但其反面則只有一種情況：三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根，問(wèn)題變得極為簡(jiǎn)單．有

再求補(bǔ)集，得三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2]∪[4,+∞)．

例12設(shè)AB為過(guò)拋物線y2=2px(p>0)

焦點(diǎn)的弦，試證拋物線上不存在關(guān)于直線AB對(duì)稱的兩點(diǎn)(不考慮A、B的自身對(duì)稱)．

所以，(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)．

所以，x1+x2=-p．

因?yàn)閜>0，所以x1+x2<0．這與已知x1+x2>0矛盾，故原命題正確.