胡志廣 阿孜古麗·吉力力

(1. 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 300387； 2. 新疆和田地區(qū)教育學(xué)院 848000 )

在中學(xué)，圖形的相似和位似是兩個(gè)教學(xué)內(nèi)容.

定義1如果兩個(gè)多邊形滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形相似.

定義2兩個(gè)多邊形相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或共線，這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.

關(guān)于位似圖形，人教版就采用上面的定義方式.但不同教材給出的定義不盡相同，位似概念引起了很多老師的討論([1-5])，甚至產(chǎn)生誤解(可見(jiàn)[3]).本文，我們給出位似概念的常見(jiàn)誤解剖析，并給出圖形位似的常見(jiàn)等價(jià)形式：

定理下面陳述中，當(dāng)圖形都是多邊形時(shí)，相互等價(jià)：

(1)兩多邊形位似，即它們相似，且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊平行或共線.

(2)兩圖形相似且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線過(guò)一固定點(diǎn).

1 常見(jiàn)誤解的剖析

(a)定理中的相似為“一種存在”，不一定與所給的相似相同.如圖一，正方形ABCD與正方形GFEB相似，而在此對(duì)應(yīng)下，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線沒(méi)有公共交點(diǎn).但這兩個(gè)正方形位似，且有兩個(gè)位似中心O和P.

圖一

圖二

圖三

圖四

(b) 定理的(1)中的“對(duì)應(yīng)邊平行或共線”不可缺少.如圖二，三角形ABC與ABD關(guān)于AB軸對(duì)稱，它們?nèi)?，自然相?顯然它們有對(duì)應(yīng)邊不平行，故不位似.也可見(jiàn)[4]中的反例.

(c)定理的(1)中的“相似”不是多余條件.如圖三，梯形ABEF與BCDE不位似.

(d)定理的(1)中的“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)”不能少.如圖四，三角形的平移不位似.

(e)定理的(2)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)不能是“對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)”，與上(b)同.

(f)定理中的(3)之②的“向量”不能改成“線段”.如位似比為k和-k的圖形組合.

2 定義等價(jià)的證明

(2)?(1)設(shè)AB和A′B′是不共線的對(duì)應(yīng)邊，假設(shè)AB和A′B′不平行，設(shè)交點(diǎn)為H.取AB和A′B′的中點(diǎn)C和C′，則它們是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而C、C′和O三點(diǎn)共線.由梅涅勞斯定理，用直線COC′分別截△AA′H和△BB′H，得

圖五

這說(shuō)明AB∥A′B′，矛盾.因此AB∥A′B′.

若AB∥A′B′，則如圖六所示都有

圖六

若AB和A′B′共線，分兩種情況討論.當(dāng)點(diǎn)A、B均不等于點(diǎn)O，則頂點(diǎn)A和B所在的另一邊ZA和BC分別平行于Z′A′和B′C′，于是

注意到kAB至少與kZA和kBC之一相等，不妨設(shè)kAB=kZA.于是

也得到kCD=kZA.

(3)?(2)我們先證明命題：在(3)的條件下, 邊對(duì)應(yīng)于邊.

=cos∠A′B′C′，

可知對(duì)應(yīng)角相等.因此兩多邊形相似.

3 圖形位似的性質(zhì)

(i)M1與M2位似，位似比為k1，M2與M3位似，位似比為k2，則當(dāng)k1k2≠1時(shí)，M1與M3位似，位似比為k1k2；當(dāng)k1k2=1時(shí)，M1與M3重合或相差一個(gè)平移.

設(shè)位似中心分別為O1和O2，在位似變化下，A1的像為A2，A2的像為A3，于是有

從而

當(dāng)k1k2≠1時(shí)，上式可變形為

(ii) 兩有界位似圖形的位似中心至多有兩個(gè).并且有兩個(gè)位似中心的多邊形邊數(shù)為偶數(shù).

注：兩平行線有無(wú)窮多個(gè)位似中心.