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        一個(gè)新的三角形面積公式

        2017-12-26 09:04:58曹嘉興
        數(shù)學(xué)通報(bào) 2017年12期
        關(guān)鍵詞:內(nèi)切圓正三角形海倫

        曹嘉興

        (浙江省開化縣第二中學(xué) 324300)

        已知△ABC的三邊長a、b、c求其面積△有我國南宋時(shí)期著名數(shù)學(xué)家秦九韶(1202—1261)在《數(shù)書九章》(1247)中提出的三斜求積公式:

        以及古希臘著名數(shù)學(xué)家海倫(Heron,約公元1世紀(jì))在《測(cè)量學(xué)》(Metrica)一書中提出的公式:

        證明設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為r,

        推論如圖1, 在△ABC中,它的內(nèi)切圓⊙O與各邊AB、BC、CA分別相切于點(diǎn)D、E、F,設(shè)AD·DB=x,BE·EC=y,CF·FA=z,則△ABC的面積為

        圖1

        容易驗(yàn)證本文給出的三角形面積公式與海倫公式也是等價(jià)的.事實(shí)上,

        本文給出的三角形面積公式同樣具有結(jié)構(gòu)對(duì)稱的形式,因此顯得優(yōu)美. 在一些場(chǎng)合還能簡(jiǎn)化計(jì)算(或證明)的過程,現(xiàn)舉兩例說明.

        例1(Finsler―Hadwiger不等式)設(shè)△ABC的各邊長分別為a、b、c,它的面積為△,則

        當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

        (p-a)(p-b)=x,(p-b)(p-c)=y,

        (p-c)(p-a)=z,

        則a2-(b-c)2=4y,b2-(c-a)2=4z,

        所以原不等式等價(jià)于

        [a2-(b-c)2]+[b2-(c-a)2]+[c2-(a-b)2]

        ?(x+y+z)2≥3(xy+yz+zx)

        ?x2+y2+z2≥xy+yz+zx

        最后的一個(gè)不等式顯然成立,故原不等式成立.

        由最后的不等式不難看出當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z,也就是p-a=p-b=p-c,即a=b=c時(shí)等號(hào)成立,故當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

        例2(Goldner不等式)設(shè)△ABC的各邊長分別為a、b、c,它的面積為△,則a4+b4+c4≥16△2,當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

        (p-a)(p-b)=x,(p-b)(p-c)=y,

        (p-c)(p-a)=z,

        所以a4≥16(p-b)2(p-c)2=16y2,

        同理可得b4≥16z2,c4≥16x2.

        所以a4+b4+c4≥16(x2+y2+z2)

        ≥16(xy+yz+zx)=16△2.

        由上述證明過程不難看出當(dāng)且僅當(dāng)p-a=p-b=p-c,即a=b=c時(shí)等號(hào)成立,故當(dāng)且僅當(dāng)△ABC為正三角形時(shí)等號(hào)成立.

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