馬 峰

(上海市上海中學(xué) 200231)

傳統(tǒng)意義的數(shù)學(xué)課程給人的印象是學(xué)新的數(shù)學(xué)知識(shí)、技巧與做題練習(xí).一些文科出生的人士會(huì)經(jīng)常調(diào)侃自己當(dāng)年為何“數(shù)學(xué)不好”.與此同時(shí)，中國(guó)被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育的強(qiáng)國(guó).當(dāng)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)遇到了如今的教育反省思潮，老師們紛紛開(kāi)始尋找課堂教學(xué)方式和評(píng)價(jià)方式的改進(jìn)策略.本文著重探討發(fā)動(dòng)學(xué)生做課題的一種評(píng)價(jià)方式——IB課程的內(nèi)部評(píng)價(jià)，試圖揭示IB數(shù)學(xué)內(nèi)部評(píng)價(jià)最新演變的關(guān)鍵點(diǎn)及其實(shí)質(zhì)，以期對(duì)我國(guó)的教學(xué)課程改革有所借鑒.

IB數(shù)學(xué)的內(nèi)部評(píng)價(jià)在很多IB教師和學(xué)生的實(shí)踐與爭(zhēng)議中不斷地發(fā)展.2006版的內(nèi)部評(píng)價(jià)模式自2014年5月起被舍棄，取而代之的是2014版的新內(nèi)部評(píng)價(jià)方案.

1 2006版內(nèi)部評(píng)價(jià)概要

1.1 布置方式

2006版的內(nèi)部評(píng)價(jià)基本上是采用國(guó)際文憑組織官方命題的形式，由學(xué)生按照給定的命題，一步步按照既設(shè)的方案進(jìn)行解答.IB組織鼓勵(lì)I(lǐng)B教師自行命題，但由于自行命題的質(zhì)量并不一定能夠保證學(xué)生在各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)上都能夠達(dá)到最高水平，因此，絕大多數(shù)老師自然都要求學(xué)生去完成官方的命題.請(qǐng)注意，學(xué)生對(duì)命題的回答不僅僅是給出答案那么簡(jiǎn)單，而是要用語(yǔ)言文字很好地解說(shuō)自己的原理、方法和過(guò)程，言之有據(jù)，形成一篇小型的數(shù)學(xué)文章.

2006版的內(nèi)部評(píng)價(jià)要求學(xué)生在“數(shù)學(xué)探究”(以下簡(jiǎn)稱(chēng)I型)和“數(shù)學(xué)建?！?以下簡(jiǎn)稱(chēng)II型)兩個(gè)類(lèi)型中各選擇至少一個(gè)問(wèn)題.其中，“數(shù)學(xué)探究”類(lèi)似于一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究、推導(dǎo)、計(jì)算、證明等，而“數(shù)學(xué)建模”是就一個(gè)現(xiàn)實(shí)中的問(wèn)題進(jìn)行分析、建立數(shù)學(xué)模型、預(yù)測(cè)和分析合理性.

1.2 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)始終是繞不開(kāi)去的“指揮棒”.2006版的內(nèi)部評(píng)價(jià)重視學(xué)生語(yǔ)言表達(dá)、數(shù)學(xué)內(nèi)容及現(xiàn)代技術(shù)的使用等.

具體來(lái)說(shuō)，I型要求學(xué)生科學(xué)地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)過(guò)程(包括尋找規(guī)律).要求學(xué)生展現(xiàn)其采用的數(shù)學(xué)策略.學(xué)生應(yīng)科學(xué)地收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，并且能夠在得到結(jié)論后利用其他例子來(lái)測(cè)試結(jié)論.根據(jù)所總結(jié)的規(guī)律或結(jié)構(gòu)，能夠正確地給出一般結(jié)論；能夠指出一般結(jié)論的范圍和限制；能夠給出一般結(jié)論的正確性并規(guī)范地進(jìn)行證明.

II型要求學(xué)生定義模型的變量、參數(shù)和條件并能正確地分析它們.科學(xué)地呈現(xiàn)模型的建立過(guò)程，建立適合給定的實(shí)際情境并達(dá)到該課程水平要求的模型.還應(yīng)考慮模型對(duì)于數(shù)據(jù)的匹配程度，并把該模型推廣到其他情形中去.在合適的精度和給定情境下，正確解釋所得結(jié)果的合理性.在可能的情況下，能夠指出模型的局限性并給出改進(jìn)的模型.

I型和II型內(nèi)部評(píng)價(jià)共通的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下表1、2所示：

表1[1][2][3]

表2[1][2]

I型報(bào)告的C項(xiàng)和D項(xiàng)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如表3所示：

表3[1][2]

II型報(bào)告的C項(xiàng)和D項(xiàng)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如表4所示：

表4[1][2]

1.3 實(shí)例

網(wǎng)球比賽的獲勝概率建模(I型)[4]

第一部分 俱樂(lè)部練習(xí)

(1) 假設(shè)兩名運(yùn)動(dòng)員經(jīng)?；ハ嗑毩?xí)，其中Adam的贏球概率一般是Ben贏球概率的兩倍.這兩個(gè)人決定在所在的俱樂(lè)部里玩10分的練習(xí).

(a)定義Adam所贏得的分?jǐn)?shù)記為變量X，那么對(duì)于這個(gè)變量，應(yīng)用什么概率分布模型比較合適？考慮它的有效性.它的值有沒(méi)有局限性？

(b) 使用你所選擇的分布模型，計(jì)算隨機(jī)變量X所有可能的值，使用你的數(shù)據(jù)畫(huà)一個(gè)直方圖.把你用于計(jì)算或畫(huà)圖的所有技術(shù)都記錄下來(lái).

(c)找到這個(gè)分布的期望值和標(biāo)準(zhǔn)差.在這個(gè)背景下，這些10分的比賽通常會(huì)發(fā)生什么樣的情況？

第二部分 不加長(zhǎng)的比賽

(2) 當(dāng)Adam和Ben 在俱樂(lè)部比賽時(shí)，他們的贏球概率和上述大概一致.在俱樂(lè)部比賽中，網(wǎng)球比賽的規(guī)則基本上適用(每場(chǎng)比賽至少贏4個(gè)點(diǎn)，至少比對(duì)手多贏2個(gè)點(diǎn))，但是為了節(jié)省比賽時(shí)間，一場(chǎng)比賽不得超過(guò)7分.這就意味著如果“平局”出現(xiàn)(每個(gè)選手都有3個(gè)點(diǎn))，誰(shuí)得下一個(gè)分?jǐn)?shù)就定誰(shuí)贏.請(qǐng)解釋?zhuān)哼@樣賽制的比賽一共會(huì)有70種可能的情況.為了解釋清楚，定義變量Y為贏得的點(diǎn)數(shù).變量Y可以取到哪些值？對(duì)于每個(gè)可能的Y值，給出這個(gè)比賽所有可能的結(jié)果，并且找出其概率模型.請(qǐng)確保為這個(gè)分布定義一個(gè)隨機(jī)變量.

(3) 使用你在(2)中得到的模型，求解Adam贏得這場(chǎng)比賽的概率.

(4) 總結(jié)你的發(fā)現(xiàn).假設(shè)選手C和選手D比賽時(shí)，選手C得分的概率是c，選手D得分的概率是d.計(jì)算選手C贏球的概率.

第三部分 加長(zhǎng)的比賽

(6) 假設(shè)更一般的情況，選手C得分的概率是c，選手D得分的概率是d.請(qǐng)計(jì)算如下概率，結(jié)果用c和d表示：選手C不到平局即贏得比賽的概率；平局產(chǎn)生的概率；在平局產(chǎn)生的情況下，選手C贏得比賽的概率.使用這些公式幫助計(jì)算選手C贏得比賽的概率：c=0.5,0.55,0.6,0.7,0.9和其它任何你想要測(cè)試的數(shù)值.鼓勵(lì)使用電子表格進(jìn)行計(jì)算.

(7) 什么樣的表達(dá)式可以表示那些概率？如果得分的概率互相接近或者一方幾乎必定獲勝，情況會(huì)是怎樣？

(8) 評(píng)價(jià)那些概率模型的有用性和局限性.

簡(jiǎn)評(píng)這道官方樣題激起了很多熱愛(ài)體育，特別是喜好球類(lèi)學(xué)生的極大興趣.他們與老師討論比賽規(guī)則的合理性，并利用網(wǎng)絡(luò)上現(xiàn)成的選手得分情況統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).利用這份作業(yè)中建立的模型，預(yù)測(cè)一些重大賽事的結(jié)果，以評(píng)判自己模型的好壞.不得不感嘆的是，這份作業(yè)的布置其實(shí)也給數(shù)學(xué)老師提出了要求，那就是老師也需熟悉小球類(lèi)體育運(yùn)動(dòng)及其規(guī)則，這樣才能更好地與學(xué)生交流.

值得注意的是，從這份實(shí)例可以清楚地看到，學(xué)生不需要規(guī)劃問(wèn)題解決的策略和路線(xiàn)，僅需按步就班地執(zhí)行即可.這是2014新版內(nèi)部評(píng)價(jià)徹底進(jìn)行改變的著手點(diǎn).

更多官方樣題請(qǐng)參見(jiàn)筆者與他人合著的 《高中國(guó)際課程的實(shí)踐與研究——數(shù)學(xué)卷》一書(shū).

2 2014新版內(nèi)部評(píng)價(jià)

2011年4月刊出的IB官方文件顯示，IB組織已經(jīng)舉行多次會(huì)議，討論IB內(nèi)部評(píng)價(jià)的改革與發(fā)展問(wèn)題.從2014年畢業(yè)的IB學(xué)生開(kāi)始，

?設(shè)置全新的IB內(nèi)部評(píng)價(jià)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；

?內(nèi)部評(píng)價(jià)的名稱(chēng)由“數(shù)學(xué)探究”(I型)和“數(shù)學(xué)建?！?II型)兩種類(lèi)型改為單一的“數(shù)學(xué)探索”；

等等.

通過(guò)2014版內(nèi)部評(píng)價(jià)，IB課程試圖讓學(xué)生們像數(shù)學(xué)家一樣發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、思考問(wèn)題、選擇與決策、解決問(wèn)題，最終通過(guò)各種形式展示自己的思考和成果.其中，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題、選擇與決策的能力培養(yǎng)是對(duì)原先2006版內(nèi)部評(píng)價(jià)的進(jìn)一步改良，這可能也是目前國(guó)內(nèi)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育實(shí)踐中強(qiáng)調(diào)不夠的部分.

2.1 布置方式

高中生做研究需要老師的指導(dǎo).自行發(fā)現(xiàn)值得一探究竟的數(shù)學(xué)問(wèn)題，對(duì)于絕大多數(shù)同學(xué)而言，并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的事情.選擇課題可以不完全地歸納為如下四步：第一步，學(xué)生需要有意識(shí)地進(jìn)行積累、頭腦風(fēng)暴、篩選、進(jìn)一步過(guò)濾，最終決定哪些課題適合自己做.第二步，進(jìn)一步發(fā)展這個(gè)課題.這個(gè)過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)一些原先沒(méi)有預(yù)料到的問(wèn)題，有可能順利進(jìn)展到下一步，也可能回退到第一步，也就是說(shuō)，需要推倒重來(lái).第三步，聚焦自己的課題，使得這個(gè)課題目標(biāo)明確、合適(能做).第四步，要確保這個(gè)問(wèn)題能夠用精簡(jiǎn)的語(yǔ)言完成.由于時(shí)間的原因，過(guò)長(zhǎng)的解釋才能說(shuō)明的問(wèn)題并不一定適合做數(shù)學(xué)內(nèi)部評(píng)價(jià).以上過(guò)程可以簡(jiǎn)單地用圖1表示：

圖1

2.2 評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)

第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是表達(dá).期望學(xué)生能夠清楚地表達(dá)自己的想法，有明確的目標(biāo)指向，全文聚焦在這個(gè)目標(biāo)上，并避免不相關(guān)內(nèi)容；用邏輯的方式把各種想法有機(jī)地進(jìn)行整合；在合適的地方使用圖像、表格、圖形等形式；合理地編輯文章，使其方便閱讀；在合適的地方標(biāo)注索引.

第二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)呈現(xiàn).主要考慮是否能夠使用合適的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和表達(dá)方式，定義關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)和變量；選擇合適的數(shù)學(xué)工具(包括信息和網(wǎng)絡(luò)工具)；用合適的精度來(lái)呈現(xiàn)結(jié)果.

第三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是融入程度.學(xué)生進(jìn)行研究的獨(dú)立性如何？是否有提問(wèn)題、作猜想、探索各種數(shù)學(xué)想法的可行性？是否進(jìn)行了數(shù)學(xué)的廣泛閱讀，并研究各類(lèi)有興趣或相關(guān)的領(lǐng)域？是否尋找存在的模型或建立了新的模型?是否考慮所做工作的歷史意義或全球視野？是否探究了其所不熟悉的數(shù)學(xué)內(nèi)容？

第四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是反思.是否討論了結(jié)果的含義？是否考慮了研究的意義？是否審視了可能的局限性或拓展的可能性?是否與其他學(xué)科或者數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域作出聯(lián)系？

第五個(gè)標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)學(xué)的使用.展示作者的知識(shí)和理解；在不同情境下正確地使用數(shù)學(xué)；使用解決問(wèn)題的技能；在需要的地方，能夠發(fā)現(xiàn)和解釋規(guī)律；總結(jié)和驗(yàn)證結(jié)論.

具體的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)如下表5、6所示：

表5[3][5]

表6[3][5]

2.3 實(shí)例

(1)作品簡(jiǎn)要介紹

S同學(xué)是一個(gè)勤于思考的學(xué)生，對(duì)研究有一股自發(fā)的熱情.他從一次上海飛溫哥華的航班上看到了日落，開(kāi)始思考一個(gè)問(wèn)題：上飛機(jī)后何時(shí)能夠看到日落這么美妙的時(shí)刻？在學(xué)習(xí)了平面和參數(shù)方程等知識(shí)后，他研究了這個(gè)問(wèn)題，并寫(xiě)出了一份內(nèi)部評(píng)價(jià)作品.作品的基本思路是通過(guò)地球的方程，晨昏線(xiàn)方程以及兩點(diǎn)之間的大圓方程求出飛機(jī)飛行軌跡與晨昏線(xiàn)的交點(diǎn)，從而得到起飛后多少時(shí)間能夠見(jiàn)到日落.從這個(gè)實(shí)例的方法出發(fā)，可以在以后的飛行中不再錯(cuò)過(guò)日落和日出的美妙場(chǎng)景.他給自己的內(nèi)部評(píng)價(jià)取了一個(gè)有點(diǎn)詩(shī)意的名字——天空何時(shí)亮起來(lái)？

(2) 涉及知識(shí)要點(diǎn)

核心要點(diǎn)包括：通過(guò)向量方法推導(dǎo)各類(lèi)平面方程，球坐標(biāo)與笛卡兒坐標(biāo)的互換，使用Wolfram Mathematica求解一個(gè)復(fù)雜的多變量方程組，數(shù)值估算，等等.當(dāng)然，所有這些，都需要一些地理知識(shí)作為前提，包括地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)、經(jīng)緯度、晨昏線(xiàn)，等等.

(3) 作品完成過(guò)程

在這篇作品的完成過(guò)程前，學(xué)生自行過(guò)濾、篩選自己感興趣和有能力做的問(wèn)題，并與老師商量可行性.在得到指導(dǎo)老師的認(rèn)可和些許指點(diǎn)后，學(xué)生繼續(xù)研究這個(gè)問(wèn)題，并擇時(shí)與老師進(jìn)一步探討計(jì)算方法.這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生的主動(dòng)性發(fā)揮極大的作用.如果沒(méi)有一定的時(shí)間管理能力和熱情、決心，很難完成或做好.

在學(xué)生完成作品時(shí)，曾就該課題與我進(jìn)行過(guò)三次交流，最長(zhǎng)的一次大概為30分鐘，主要是內(nèi)容處理的一些可行性和技術(shù)問(wèn)題.

在學(xué)生入讀大學(xué)本科半年后，筆者再次與該生就該內(nèi)部評(píng)價(jià)作品的完成進(jìn)行了一次20分鐘的訪(fǎng)談，涉及到了對(duì)這篇作品的反思，哪些部分尚可改進(jìn)，以及完成這份作品對(duì)大學(xué)學(xué)習(xí)的影響等等.學(xué)生經(jīng)過(guò)短暫回憶后，就能大概回憶起了這篇其一年多前所寫(xiě)文章的思路和計(jì)算的大致方法，他對(duì)完成這篇作品的興奮之情仍然溢于言表，并跟我特別強(qiáng)調(diào)了他在這篇文章中的個(gè)人參與的深入程度.這點(diǎn)可以看出，他確實(shí)用心做了這篇作品，并且為此感到自豪.

(4)教師評(píng)述

這篇作品有較高難度，并不是一個(gè)典型的內(nèi)部評(píng)價(jià)作品，學(xué)生的成果是讓老師眼前一亮的.首先，作者需要有地理學(xué)科知識(shí)的儲(chǔ)備，才能有自信著手這篇有跨學(xué)科背景的作品.其次，學(xué)生需要有“抓大放小”的宏觀(guān)設(shè)計(jì)能力.比如說(shuō)，由于地球自轉(zhuǎn)的原因，飛機(jī)到底按照什么航線(xiàn)飛行？這需要做一定的基礎(chǔ)研究，并排出所有非主要因素的干擾，并做出合理的假設(shè).這名同學(xué)的假設(shè)是飛機(jī)按照起訖地的動(dòng)態(tài)變化確定大圓方程(注意：這是動(dòng)態(tài)的方程，也就決定了前述多變量方程組為何需要通過(guò)計(jì)算機(jī)來(lái)進(jìn)行估算)；再比如說(shuō)，晨昏線(xiàn)方程的確定，需要精確到天、小時(shí)還是分？飛行高度是否需要考量？越是精確，對(duì)計(jì)算要求越高，這就有孰輕孰重的考量.學(xué)生還需要有一定的反思精神：在整個(gè)過(guò)程中，需要對(duì)各種干擾模型和結(jié)果的因素，根據(jù)自己的能力和結(jié)果的合理性，不斷進(jìn)行權(quán)衡并作出各種決定.第三，學(xué)生需要有一定的計(jì)算機(jī)軟件使用能力才能解決復(fù)雜的方程，這名學(xué)生其實(shí)使用了一個(gè)四變量的方程組，其計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，其中包括了對(duì)數(shù)值進(jìn)行假設(shè)代入、使用網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)求解時(shí)間，再進(jìn)行逼近求解.

3 簡(jiǎn)評(píng)內(nèi)部評(píng)價(jià)的最新演變

2006和2014兩個(gè)不同的IB數(shù)學(xué)內(nèi)部評(píng)價(jià)版本的共性有以下幾點(diǎn)：

試圖發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的思考，為學(xué)生提供一個(gè)在沒(méi)有嚴(yán)格時(shí)間限制的條件下，完成拓展型數(shù)學(xué)功課的機(jī)會(huì)；使學(xué)生發(fā)展個(gè)人的技能和技巧，允許他們?nèi)ソ?jīng)歷應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)所帶來(lái)的滿(mǎn)足感；提供給學(xué)生一個(gè)親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的美、力量和有用性的機(jī)會(huì)；提供給學(xué)生一個(gè)發(fā)現(xiàn)、使用和感受計(jì)算器或電腦作為數(shù)學(xué)工具的機(jī)會(huì)；使學(xué)生發(fā)展耐心、堅(jiān)持等品質(zhì)，反思獲得結(jié)果的意義的機(jī)會(huì)；提供給學(xué)生自信地展示他們知道什么、能做什么的機(jī)會(huì)；在完成內(nèi)部評(píng)價(jià)的過(guò)程中，寫(xiě)作能力、文獻(xiàn)搜索、現(xiàn)代技術(shù)的使用等將來(lái)繼續(xù)深造所需要的基本素養(yǎng)得以不斷的磨練.

2006版的內(nèi)部評(píng)價(jià)模式較之更久遠(yuǎn)的版本并沒(méi)有本質(zhì)的不同，在那個(gè)年代發(fā)揮了積極的作用，推動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)術(shù)寫(xiě)作.在互聯(lián)網(wǎng)越來(lái)越普及、對(duì)人的能力要求也逐漸發(fā)生變化之際，IBO組織的自我否定和改良機(jī)制發(fā)揮了極其重要的作用.通過(guò)強(qiáng)大的IB教師、考官和教育者、科研人員等網(wǎng)絡(luò)體系，它預(yù)見(jiàn)了教育形勢(shì)的變化，并通過(guò)一輪又一輪的課程綱要修訂過(guò)程，推翻原先的“大作業(yè)”形式，不斷地發(fā)展新版的內(nèi)部評(píng)價(jià)模式.

2006版的內(nèi)部評(píng)價(jià)對(duì)于學(xué)生而言，學(xué)生是和做數(shù)學(xué)練習(xí)題一樣，被動(dòng)地接受教師安排的內(nèi)部評(píng)價(jià)的任務(wù)，自己無(wú)需主動(dòng)尋找合適的命題，也不需要做選擇、判斷和決策.對(duì)于教師而言，可以自行命題或者使用官方樣題.但教師自行命題的風(fēng)險(xiǎn)不言而喻，使用官方樣題是最便捷、省力和有成效的.對(duì)于IBO而言，最頭痛的是官方樣題出來(lái)以后不久，網(wǎng)絡(luò)上就開(kāi)始有各式的解答.官方題的答案是唯一或類(lèi)似的，作品雷同現(xiàn)象也越來(lái)越突出，考官的評(píng)分也越來(lái)越難.因此，2009年在評(píng)價(jià)模式不作修訂的情況下，IB組織發(fā)布了新一批的樣題，以減少此類(lèi)問(wèn)題的發(fā)生，作為全新評(píng)價(jià)模式推出之前的應(yīng)急之策.

2014新版內(nèi)部評(píng)價(jià)較之于以前所有版本的革命性變化在于讓學(xué)生自己選題.這更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，并培養(yǎng)了他們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力.學(xué)生在選題、完成的過(guò)程中也培養(yǎng)了風(fēng)險(xiǎn)意識(shí)和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、控制的本領(lǐng)，這些都是學(xué)生將來(lái)進(jìn)一步發(fā)展越來(lái)越需要的能力.最新的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于學(xué)生的影響可以用激發(fā)興趣、挖掘潛能和培養(yǎng)創(chuàng)造力來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)單的概括.

就激發(fā)興趣舉個(gè)實(shí)例：在筆者任教的班級(jí)里，有名學(xué)生平時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)不大感興趣，覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是個(gè)負(fù)擔(dān)，但是對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)做課題這件事非常上心，花了很多時(shí)間進(jìn)行思考，最后寫(xiě)出了一篇他平常感到困惑的一個(gè)問(wèn)題：杯子里的水被傾斜至某個(gè)角度時(shí)，其體積如何計(jì)算？

所謂挖掘潛能：有的學(xué)生平時(shí)數(shù)學(xué)考試不一定表現(xiàn)很好，但是在不限定時(shí)間和沒(méi)有考試壓力、可以查閱資料的情況下，能夠比較自如地調(diào)動(dòng)自身所學(xué)、所思，完成一篇滿(mǎn)意的數(shù)學(xué)文章，這就挖掘了其本身的數(shù)學(xué)的潛能，增強(qiáng)了學(xué)好數(shù)學(xué)的自信.

培養(yǎng)創(chuàng)造力更是不言而喻：學(xué)生們的課題作品五花八門(mén)，所使用的各類(lèi)方法有時(shí)也極具創(chuàng)意.比如，上述“天空何時(shí)亮起來(lái)”的學(xué)生使用Wolfram Mathematica運(yùn)行他的方程；有學(xué)生使用微積分知識(shí)計(jì)算鳥(niǎo)巢的表面積——這些問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)和解決過(guò)程都培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)造力.

誠(chéng)然，數(shù)學(xué)內(nèi)部評(píng)價(jià)在給學(xué)生創(chuàng)造機(jī)會(huì)的同時(shí)，也無(wú)疑是對(duì)學(xué)生的較大考驗(yàn)，包括時(shí)間管理、與課業(yè)其它部分的平衡、思維的活躍度等等.平時(shí)只會(huì)做題、懶于思考的學(xué)生面對(duì)內(nèi)部評(píng)價(jià)，可能會(huì)沒(méi)有頭緒，陷入不知從何入手的尷尬境地.

此外，2014新版內(nèi)部評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)對(duì)于老師和考官來(lái)講，給分指令更加清晰.就老版內(nèi)部評(píng)價(jià)的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而言，從文中的表3和表4可以看到，在標(biāo)準(zhǔn)C和D中，制定思路中出現(xiàn)了按“點(diǎn)”給分的環(huán)節(jié)，即達(dá)到這個(gè)點(diǎn)可以給到多少分.而學(xué)生作品完成時(shí)“點(diǎn)”的組合可能并不是完全按評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定的情景.舉個(gè)簡(jiǎn)單的例子：表4的標(biāo)準(zhǔn)C的4分標(biāo)準(zhǔn)是“考慮模型對(duì)于數(shù)據(jù)的適切性”；5分標(biāo)準(zhǔn)是“在其它情況下使用模型”.思考一下，如果出現(xiàn)作者滿(mǎn)足了“在其它情況下使用模型”，但沒(méi)有“考慮模型對(duì)于數(shù)據(jù)的適切性”，這種情況下如何給分呢？這成為教師和考官比較頭疼的問(wèn)題.盡管IB對(duì)此類(lèi)問(wèn)題有比較詳盡的解釋?zhuān)匀槐苊獠涣私處焸儗?shí)際操作時(shí)的兩難局面.2014新版內(nèi)部評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的各項(xiàng)指標(biāo)均依循老版中評(píng)價(jià)指標(biāo)A,B,E,F的評(píng)分辦法，賦分的遞增都是采用“增量型”、“描述性”語(yǔ)言，即“分?jǐn)?shù)越高，要求越多”.這就保證了低分的標(biāo)準(zhǔn)成為高分標(biāo)準(zhǔn)的絕對(duì)“子集”，使得標(biāo)準(zhǔn)更明確、操作更公平.當(dāng)然，使用寬泛的描述性語(yǔ)言而避免使用學(xué)科專(zhuān)門(mén)術(shù)語(yǔ)也帶來(lái)一些其它潛在的問(wèn)題，但總體來(lái)說(shuō)，對(duì)評(píng)分的操作性而言是一個(gè)大的進(jìn)步.

在教育改革中，課程改革是核心，而評(píng)價(jià)方式又直接影響課程改革的成果.當(dāng)前國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)教育界一直在討論課程改革和評(píng)價(jià)改革的問(wèn)題，既希望避免學(xué)生成為做題機(jī)器，又希望以評(píng)價(jià)方式的變化帶動(dòng)課堂教學(xué)新風(fēng)氣的出現(xiàn)與繁榮.考慮到教育資源的分配與公平性，尚未有合適的新政策能夠在全國(guó)范圍內(nèi)推行.學(xué)生評(píng)價(jià)是一個(gè)復(fù)雜、綜合、動(dòng)態(tài)、系統(tǒng)的過(guò)程，傳統(tǒng)的筆試方式有其優(yōu)勢(shì)——它的實(shí)施簡(jiǎn)單、高效、分辨率強(qiáng).然而，筆試也有其劣勢(shì)的一面，它和參試者當(dāng)日的狀態(tài)也有很高的關(guān)聯(lián)，單純以筆試為目標(biāo)的導(dǎo)向值得關(guān)注.現(xiàn)如今對(duì)人才的堅(jiān)韌、好奇、熱情、自律、主動(dòng)等個(gè)人情緒進(jìn)一步關(guān)注的背景下，那些應(yīng)試能力有所欠缺，但其他方面有其亮點(diǎn)的學(xué)生也獲得了展示自己才華的機(jī)會(huì).評(píng)價(jià)是一個(gè)過(guò)程，并不是教學(xué)的最終目標(biāo).評(píng)價(jià)也應(yīng)該有自己的目標(biāo)，它的目標(biāo)應(yīng)該是育人.在爭(zhēng)議聲中不斷實(shí)踐和反思的IB數(shù)學(xué)內(nèi)部評(píng)價(jià)還在一步步發(fā)展，這樣的內(nèi)部評(píng)價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)和實(shí)施方式對(duì)于育人的積極影響也值得我們深思和借鑒.