張冬莉 李春蘭

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 010022)

數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、教學(xué)及研究中占據(jù)了很重要的位置，這在國(guó)內(nèi)外學(xué)者中基本上已經(jīng)達(dá)到共識(shí).如英國(guó)數(shù)學(xué)家格萊歇爾(J.W.L.Glaisher, 1848-1928)在其數(shù)學(xué)研究生涯的始終，一直愛好和研究數(shù)學(xué)歷史，他認(rèn)為“如果試圖將一門學(xué)科和它的歷史割裂開來，那么沒有哪門學(xué)科會(huì)比數(shù)學(xué)的損失更大”.美國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因(M.Kline,1908-1992)指出“每一位中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該知道數(shù)學(xué)史有許多理由，但最重要的一條理由或許是數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”.荷蘭數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾(H.Freudenthal,1905-1990)認(rèn)為數(shù)學(xué)史應(yīng)該是數(shù)學(xué)教師用于數(shù)學(xué)教學(xué)的必備知識(shí)[注]汪曉勤，韓祥林.中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史[M].北京:科學(xué)出版社,2002：1-5..

勾股定理始終是中學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的經(jīng)典內(nèi)容之一，故對(duì)數(shù)學(xué)教科書中勾股定理編寫的重視程度逐漸增強(qiáng)，內(nèi)容的編排也是逐漸優(yōu)化，通過滲透數(shù)學(xué)史知識(shí)，讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)思想方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探索精神，加強(qiáng)歷史的熏陶.

由于我國(guó)在教科書編寫上實(shí)行統(tǒng)一大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))和統(tǒng)一教科書的制度，教學(xué)大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))成為教科書編寫的主要依據(jù).1949年10月1日，中華人民共和國(guó)成立以來，教育部先后進(jìn)行了多次課程改革，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教科書的編排也隨之改變.依據(jù)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))的變遷，可將中華人民共和國(guó)成立以來的數(shù)學(xué)教科書分七個(gè)階段來闡述，但因?yàn)?966-1976年,“文化大革命”十年，整個(gè)教育領(lǐng)域受到重大影響，數(shù)學(xué)教育系統(tǒng)遭到了破壞，全國(guó)沒有統(tǒng)一的教學(xué)計(jì)劃和教學(xué)大綱，而之前的數(shù)學(xué)教科書一律停止使用，負(fù)責(zé)編寫出版全國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書的人民教育出版社也停止了工作，很多地方著手自編教材，故該階段的數(shù)學(xué)教科書在本文不做研究.

本文著重論述以下六個(gè)階段我國(guó)人民教育出版社出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書[注]1949-2013年人民教育出版社出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書是本文的主要參考文獻(xiàn).“勾股定理”章節(jié)中的史料編排及特點(diǎn)分析：(1)1949-1952年，教育部頒發(fā)了《中學(xué)暫行教學(xué)計(jì)劃(草案)》，這是新中國(guó)第一份教學(xué)計(jì)劃(1950年8月)，1951年國(guó)家正式發(fā)行新中國(guó)成立以來的第一套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(2)1953-1957年，國(guó)家共頒布了五個(gè)教學(xué)計(jì)劃，1956年國(guó)家正式發(fā)行新中國(guó)成立以來的第二套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(3)1958-1965年,這一時(shí)期是我國(guó)“左”傾思想影響萌芽的時(shí)期，1958年“大躍進(jìn)”引發(fā)了“教育大革命”，此階段出版了第三套和第四套供全國(guó)通用的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(4)1977-1985年,“文化大革命”結(jié)束，撥亂反正，1978年頒發(fā)《全日制十年制中小學(xué)教學(xué)計(jì)劃試行草案》，統(tǒng)一規(guī)定全日制中小學(xué)學(xué)制十年，1980年出版了新中國(guó)成立以來全國(guó)統(tǒng)編的第五套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(5)1986-2000年,實(shí)施九年義務(wù)教育后編寫的初中幾何教科書，此階段出版了第六套—第九套中學(xué)數(shù)學(xué)教科書；(6)2001年至今出版的數(shù)學(xué)教科書可視為第十套和第十一套.在此需要指出的是，在資料的查詢過程中，一些數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)中所出版的中學(xué)數(shù)學(xué)教科書，因使用范圍窄或者印刷冊(cè)數(shù)較少，并未一一囊括.

1 勾股定理章節(jié)中的史料編排概述

1.1 1949—1952年中學(xué)幾何教科書

由劉薰宇編寫的《初級(jí)中學(xué)平面幾何課本》，包括兩冊(cè).第一冊(cè)，1951年3月原版；第二冊(cè)，1951年8月原版；這是建國(guó)后我國(guó)第一本初中幾何教科書，依照中央人民政府教育部1950年頒布的《普通中學(xué)教學(xué)參考適用數(shù)學(xué)精簡(jiǎn)綱要(草案)》，并參考中南軍政委員會(huì)教育部的《中等數(shù)學(xué)教材精簡(jiǎn)綱要》編寫的.該書在“編輯大意”中提到：為了使讀者認(rèn)識(shí)祖國(guó)的偉大，對(duì)于我們的祖先在幾何上的貢獻(xiàn)，只要是讀者可以接受的都要提到，同時(shí)希望教師們?cè)诮虒W(xué)的時(shí)候加以發(fā)揮，使讀者感到做為一個(gè)祖國(guó)的人民是值得驕傲的，因而對(duì)于祖國(guó)產(chǎn)生崇高的愛敬以及對(duì)于民族有堅(jiān)強(qiáng)的自信心.這套教科書是人民教育出版社成立后出版供全國(guó)統(tǒng)一使用的第一套幾何教科書.勾股定理章節(jié)編排在第二分冊(cè)的第三章§220，該書關(guān)于勾股定理的介紹如下：

220.定理直角三角形的兩直角邊的平方的和等于它的斜邊的平方.

[假設(shè)] △ABC的C角是直角，∠A，∠B和∠C所對(duì)的邊分別用a，b和c表示.

[終結(jié)]a2+b2=c2.

[證明]在上圖中作CD⊥AB,設(shè)AD=d則DB=c-d，AB:AC=AC:AD，和AB:CB=CB:DB，即c:b=b:d和c:a=a:c-d.所以b2=cd和a2=c(c-d)=c2-cd，兩式相加就得a2+b2=c2.

注：這個(gè)定理在歐洲都叫做畢達(dá)哥拉斯定理，因?yàn)樗怯上ＥD的幾何學(xué)家和哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯(公元前580—500)首先發(fā)現(xiàn)的.若直角三角形的兩直角邊分別等于3和4則斜邊就等于5，這樣的特殊的直角三角形叫做埃及三角形，因?yàn)楣糯陌＜叭税l(fā)現(xiàn)的.

在我國(guó)《周髀算經(jīng)》上商高也就知道了這種埃及三角形，而叫做勾股形.對(duì)于勾股形和它的內(nèi)切圓，從前我國(guó)的數(shù)學(xué)家有不少的研究.所以這個(gè)定理可以叫做商高定理.

依照勾3股4弦5的法則，我們可以利用一條繩子在地上作直角.方法是這樣：如下圖所示，將一條繩子的兩頭結(jié)起來.把它分成3:4:5三段.固定3,7和12中的一個(gè)分點(diǎn)，再拿住其他兩個(gè)分點(diǎn)把繩子拉直成一個(gè)三角形，這樣一來，在3那一點(diǎn)的角就是直角.這個(gè)方法古代的埃及人已經(jīng)懂得用了.應(yīng)用三邊成3,4,5的比作成直角三角形，我國(guó)也是很早就知道的.

該書首先對(duì)定理進(jìn)行描述，然后提出假設(shè)、終結(jié)和證明.證明方法是利用直角三角形中三邊的比例關(guān)系進(jìn)行論證.在例題結(jié)束后，融入了相關(guān)史料介紹.介紹了該定理在歐洲叫做畢達(dá)哥拉斯定理，并且也說明在我國(guó)《周髀算經(jīng)》中，商高也提出這種埃及三角形叫做勾股形.體現(xiàn)出我國(guó)歷史上對(duì)幾何發(fā)展所作出的貢獻(xiàn).對(duì)于定理的證明，理由敘述的很少，目的是留作教學(xué)時(shí)教師們便于隨時(shí)發(fā)問使讀者自行思索.值得注意的是，在該時(shí)期，沒有將定理命名為勾股定理，只稱為定理，并說明它可以叫做商高定理.

1952年，東北人民政府教育部編譯的《初級(jí)中學(xué)課本平面幾何》(全)是第二套全國(guó)通用的中學(xué)幾何教科書，由于編譯本是全面參照蘇聯(lián)的“十年制學(xué)校中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱”編寫，而我國(guó)的中小學(xué)是十二年制，因此幾何內(nèi)容有所減少，該書中沒有編排勾股定理內(nèi)容.

1.2 1953—1957年中學(xué)幾何教科書

1953年，由劉薰宇編寫的《高級(jí)中學(xué)課本平面幾何》，該書對(duì)定理的表述、假設(shè)、終結(jié)、證明、例題與1951年的完全相同，但是在史料中補(bǔ)充到：“不過，在‘周髀算經(jīng)’中這個(gè)定理的一般形式即‘勾方加股方，開方后得弦’，是陳子回答榮方所提出的，因此也有人主張叫陳方定理.

由余元慶、奚今吾、管承仲、呂學(xué)禮編寫的《高級(jí)中學(xué)課本平面幾何》，包括兩個(gè)分冊(cè).第一分冊(cè)，1955年3月第一版，1955年秋季開始使用；第二分冊(cè)，1955年8月第一版，1956年春季開始使用.這是根據(jù)1956年頒布的《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(修訂草案)》編寫而成.該大綱在史料編排上要求要充分注意教給學(xué)生數(shù)學(xué)的歷史知識(shí)，特別要介紹關(guān)于我國(guó)杰出數(shù)學(xué)家的生活和成就.

勾股定理內(nèi)容則出現(xiàn)在第二分冊(cè)的第三章“三角形中及圓中各線段間的相互關(guān)系”，其中第四章§43直接給出勾股定理的表述.

43.勾股定理在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.

已知:△ABC中，∠C是直角；BC=a，AC=b，AB=c.求證：c2=a2+b2.

上面的定理我國(guó)在秦朝以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)在還保存下來的一部古算書(周髀算經(jīng))里就載有直角三角形兩條直角邊和斜邊間的這樣的關(guān)系.我國(guó)古代的算書上把直角三角形的兩條直角邊分別叫做勾和股，斜邊叫做弦，因此上面的定理叫做勾股定理.

該書在直接給出勾股定理的表述后，滲透了數(shù)學(xué)史的記載、描述和論述.在學(xué)習(xí)該內(nèi)容時(shí)，學(xué)生已經(jīng)掌握了三角形的相似、射影和比例中項(xiàng)的內(nèi)容.書中在證明勾股定理時(shí)采用的方法是利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，此方法是建立在原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行的，充分地照顧了學(xué)生的理解程度，有利于學(xué)生的理解與掌握.這一時(shí)期的幾何教科書注重基礎(chǔ)知識(shí)，講法比較簡(jiǎn)明，開始注重?cái)?shù)學(xué)史的引入，介紹一些重要概念和定理時(shí)，提到相關(guān)歷史故事，借以提高學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣.通過對(duì)我國(guó)古代《周髀算經(jīng)》的了解，激發(fā)學(xué)生的愛國(guó)主義思想，樹立民族自尊心.

1.3 1958—1965年中學(xué)幾何教科書

人民教育出版社編寫的《初級(jí)中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》(全一冊(cè), 1960年第一版)是根據(jù)《關(guān)于修訂中、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和編寫中、小學(xué)數(shù)學(xué)通用教材的請(qǐng)示報(bào)告》(1960年)的調(diào)整意見以及《十年制學(xué)校教學(xué)教材的編輯方案》(草稿)的精神編寫的[注]課程教材研究所.20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)大綱匯編(數(shù)學(xué)卷)[M].北京：人民教育出版社，2001:427—429..在該暫用本中，改變了從公理出發(fā)的歐幾里得公理體系，著重講解生產(chǎn)中和進(jìn)一步學(xué)習(xí)時(shí)有用的知識(shí)，并且注重畫圖、測(cè)量等技能的培養(yǎng).但存在的問題是，由于該書的內(nèi)容刪減過多，這本書使用了一學(xué)年便停止使用，換用《初級(jí)中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》第一冊(cè)與第二冊(cè).其中，第一冊(cè)出版于1961年第一版，第二冊(cè)出版于1962年第一版.但是兩個(gè)版本的教科書對(duì)勾股定理章節(jié)的史料引入?yún)s并不相同.

《初級(jí)中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》(全一冊(cè))中第五章相似形的§4為勾股定理.該書對(duì)勾股定理的介紹如下：

我國(guó)古代，把直角三角形的兩條直角邊中短的一邊叫做勾，長(zhǎng)的一邊叫做股，斜邊叫做弦.還在遠(yuǎn)古時(shí)代，我國(guó)勞動(dòng)人民就知道“勾三股四弦五”的事實(shí)，就是說，如果勾股分別是3個(gè)和4個(gè)長(zhǎng)度單位，那么弦就是5個(gè)長(zhǎng)度單位.在秦朝以前的一部古代數(shù)學(xué)書“周髀算經(jīng)”里，還載有一個(gè)更帶有普遍性關(guān)系，就是說，在任何直角三角形中，都有勾2+股2=弦2的關(guān)系，這個(gè)關(guān)系叫做勾股定理.

69.勾股定理

在下圖的直角三角形ABC中,AB2=BC·BD，AC2=BC·CD.把這兩式的兩邊分別相加，就得：AB2+AC2=BC·BD+BC·CD=BC·(BD+CD)=BC2.

這就是說：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和.也可以說：如果在直角三角形的三邊上各作正方形，那么，斜邊上正方形的面積，等于兩條直角邊上正方形的面積的和.

《初級(jí)中學(xué)課本平面幾何(暫用本)》第一冊(cè)中第五章，多邊形的面積的§5.8，介紹了勾股定理，如下：

5.8勾股定理我們把直角三角形的兩條直角邊分別叫做勾和股，把斜邊叫做弦.直角三角形的勾、股、弦之間，有下面定理所說的關(guān)系.

勾股定理直角三角形弦上正方形的面積，等于勾上正方形的面積與股上正方形的面積和.

已知：下圖中ABC是直角三角形，BEDC是它的弦BC上的正方形，AGFB和ACHK分別是它的勾和股上的正方形，求證：正方形BEDC的面積=正方形AGFB的面積+正方形ACHK的面積.

勾股定理我國(guó)在秦朝以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，在現(xiàn)在還保存下來的一部古代數(shù)學(xué)書(周髀算經(jīng))里就載有直角三角形勾股弦之間的這樣的關(guān)系.

1960年教科書在§4開始前引入史料，介紹我國(guó)古代的《周髀算經(jīng)》中記載了直角三角形三邊的關(guān)系.通過§67“點(diǎn)的線段在直線上的射影”和§68“直角三角形中弦上的高”兩個(gè)小節(jié)，引出勾股定理，并且給出了兩種表述方式.1961年教科書介紹直角三角形的兩條直角邊的名稱后，直接給出勾股定理的表述.但是，表述的方式與之前的版本有很大不同.該表述是從圖形分割、全等三角形以及面積的關(guān)系等知識(shí)的角度進(jìn)行描述.證明過程采用歐幾里得的證明方法，在這一時(shí)期，明確提出了歐幾里得公理體系的地位.中學(xué)的幾何科應(yīng)該以一些公理作為出發(fā)點(diǎn)，推導(dǎo)其定理.[注]課程教材研究所.20世紀(jì)中國(guó)中小學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)教學(xué)大綱匯編(數(shù)學(xué)卷)[M].北京：人民教育出版社，2001:437.在史料的介紹中不僅提到了我國(guó)古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》，而且新加入了關(guān)于趙爽注的《勾股圓方圖注》的介紹.在本著愛國(guó)主義的精神下，拓展了學(xué)生的視野.

1.4 1977—1985年中學(xué)幾何教科書

1978年3月，人民教育出版社編輯出版的教科書是為了學(xué)生的學(xué)習(xí)，將1966年編寫的一套沒有正式出版的數(shù)學(xué)教科書《幾何》，共兩分冊(cè)，作了一些必要的修改后出版.勾股定理章節(jié)設(shè)置在第一分冊(cè)第六章相似形的§4，勾股定理是直接給出的，之前沒有做任何鋪墊，直接用直角三角形三邊的關(guān)系定義.

1981年人民教育出版社數(shù)學(xué)編輯室編寫了《全日制十年制學(xué)校初中課本(試用本)幾何》，共分兩冊(cè)，勾股定理章節(jié)出現(xiàn)在第一冊(cè)的第二章三角形的第四節(jié).在該教科書的基礎(chǔ)上，于1983年又編寫了一套初中幾何教科書，在《初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 幾何》(1983年)中，勾股定理章節(jié)設(shè)置在第五章，面積、勾股定理的§2.通過正方形的切割以及等腰直角三角形的演繹推理，給出了勾股定理，并且用字母表示出來.同時(shí)又說明了勾股定理的逆定理也成立，并給出了相應(yīng)的證明.

《全日制十年制學(xué)校初中課本(試用本)幾何》第一冊(cè)，勾股定理章節(jié)的史料介紹如下：

2.17勾股定理

作一個(gè)直角三角形，使它的兩條直角邊分別等于3cm和4cm，量它的斜邊的長(zhǎng)量得斜邊等于5cm.在我國(guó)古代一部數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》上有“勾三股四弦五”的記載，意思是，如果一個(gè)直角三角形的兩條直角邊分別是3和4，那么斜邊一定是5(古代把直角三角形中較短的一條直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的一條直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”).

想一想，32+42是不是等于52？這說明，在直角三角形中，分別以兩條直角邊為邊的兩個(gè)正方形面積的和等于以斜邊為邊的正方形的面積.

勾股定理在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊平方的和.

《初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 幾何》(1983年)教科書中，勾股定理章節(jié)的史料介紹如下：

5.3勾股定理

定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方.即a2+b2=c2.

在我國(guó)古代，一部數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》中有用邊長(zhǎng)為3、4、5的直角三角形來進(jìn)行測(cè)量的記載，并把直角三角形的兩直角邊分別叫做勾和股，斜邊叫做弦.因此，我們把上面的兩個(gè)定理分別叫做勾股定理和它的逆定理.勾股定理是數(shù)學(xué)中最常用的定理之一.在國(guó)外是古希臘人畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)這個(gè)定理的，所以把它叫做畢達(dá)哥拉斯定理.

1981年教科書在介紹《周髀算經(jīng)》的同時(shí)，還將“勾三股四弦五”的意思作了解釋說明.該章節(jié)在腳注中標(biāo)注了“這里所講的證明勾股定理的方法，是我國(guó)古代另一部數(shù)學(xué)書，趙爽著《勾股圓方圖注》中的證明方法”.

1983年教科書在表述勾股定理的同時(shí)，相繼提出了勾股定理逆定理也成立.這一時(shí)期的教科書編寫知識(shí)體系比較完整，脈絡(luò)比較清晰.西方的課程理論、教育理念和心理學(xué)理論大量被引進(jìn).國(guó)外的經(jīng)驗(yàn)成為我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化過程的一個(gè)重要方面.此時(shí)，勾股定理章節(jié)史料的引入不再只停留在我國(guó)古代的成果，開始注意西方的數(shù)學(xué)文化，開闊了學(xué)生的視野，也激發(fā)學(xué)生的對(duì)西方知識(shí)學(xué)習(xí)的意識(shí).

1.5 1986—2000年中學(xué)幾何教科書

1986年《中華人民共和國(guó)義務(wù)教育法》的頒布，意味著全面教育的發(fā)展逐步擴(kuò)大.這一時(shí)期頒布的大綱，明確規(guī)定在教學(xué)過程中通過對(duì)我國(guó)古今數(shù)學(xué)成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的愛國(guó)主義思想，民族自尊心，為國(guó)家富強(qiáng)、人民富裕而艱苦奮斗的獻(xiàn)身精神；要通過介紹我國(guó)數(shù)學(xué)史，以及我國(guó)社會(huì)主義建設(shè)的成就和數(shù)學(xué)應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生民族的自尊心和愛國(guó)主義的思想感情，使學(xué)生逐步明確要為國(guó)家富強(qiáng)、人類進(jìn)步而努力學(xué)習(xí)；要視條件許可注意闡明數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，并經(jīng)常介紹我國(guó)和其他國(guó)家的古今數(shù)學(xué)成就，以及數(shù)學(xué)在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)、社會(huì)生產(chǎn)和日常生活中的廣泛應(yīng)用，使學(xué)生逐步明確要為國(guó)家富強(qiáng)、人民富裕而努力學(xué)習(xí).

《九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)教科書 幾何》全套教科書共三冊(cè)，第一冊(cè)與第二冊(cè)出版于1993年，第三冊(cè)出版于1994年.勾股定理章節(jié)出現(xiàn)在第二冊(cè)第三章三角形的§5，其中史料的介紹如下：

3.16中國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長(zhǎng)的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，西周開國(guó)時(shí)期(約公元前1千多年)有個(gè)叫商高的人對(duì)周公說，把一根直尺折成直角，兩端連接得一個(gè)直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5.

人們還發(fā)現(xiàn)，在直角三角形中，勾是6，股是8，弦一定是10；勾是5，股是12，弦一定是13，等等.而32+42=52，62+82=102，52+122=132，…，即勾2+股2=弦2.是不是所有的直角三角形都有這個(gè)性質(zhì)呢？世界上許多數(shù)學(xué)家，先后用不同方法證明了這個(gè)結(jié)論.我國(guó)把它稱為勾股定理.

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方.即a2+b2=c2.

1993年教科書先是史料的引入，提到我國(guó)古代的《周髀算經(jīng)》，并且講述了商高與周公的對(duì)話，擴(kuò)展了《周髀算經(jīng)》的內(nèi)容，語言生動(dòng)活潑，使學(xué)生進(jìn)一步了解有關(guān)勾股定理的發(fā)展歷史.該章節(jié)采用拼圖的方法來證明勾股定理，以學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)，注重學(xué)生的動(dòng)手操作能力.

1.6 2001年至今中學(xué)幾何教科書

2001年7月教育部頒布了《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn)稿)》，從時(shí)代的背景出發(fā)，對(duì)數(shù)學(xué)教育技術(shù)等方面闡述了數(shù)學(xué)課程改革的基本理念，一切以學(xué)生的發(fā)展為本.這一時(shí)期，人民教育出版社編寫的《九年義務(wù)教育三年制初級(jí)中學(xué)教科書 幾何》(2001年)共3冊(cè)和《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)》(2005年)共6冊(cè).

2001年教科書勾股定理內(nèi)容設(shè)置在第二分冊(cè)的第三章§5，引入方式和證明方法與1993年教科書的完全相同.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 數(shù)學(xué)》(2005年)，其中勾股定理內(nèi)容設(shè)置在八年級(jí)下冊(cè)第十八章.《義務(wù)教育教科書 數(shù)學(xué)》(2013年)，其中勾股定理內(nèi)容設(shè)置在八年級(jí)下冊(cè)第十七章.2013年教科書的史料引入以及證明方法與2005年教科書基本相同，只在排版順序略有變化.

下面以2005年教科書為例，介紹勾股定理章節(jié)的史料編排情況，內(nèi)容如下：

相傳2500年前，畢達(dá)哥拉斯有一次在朋友家做客時(shí)，發(fā)現(xiàn)朋友家的用磚鋪成的地面中反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，以等腰直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

圖1是3世紀(jì)我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”.趙爽根據(jù)此圖指出：四個(gè)全等的直角三角形可以如圖圍成一個(gè)大正方形，中空的部分是一個(gè)小正方形.利用趙爽弦圖證明命題的基本思路如圖2.這樣就通過推理證實(shí)了命題的正確性，經(jīng)過證明被確認(rèn)正確的命題叫做定理.命題與直角三角形的邊有關(guān)，我國(guó)把它稱為勾股定理.“趙爽弦圖”表現(xiàn)了我國(guó)古人對(duì)數(shù)學(xué)的鉆研精神和聰明才智，它是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.正因?yàn)榇?，這個(gè)圖案被選為2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽.

圖1

圖2

在教科書每章開頭部分都配有前言，可作為教師導(dǎo)入新課的材料，并配有相應(yīng)的插圖.該版本教科書的史料引入是最豐富最新穎的，首先以故事的方式引入，并插入了畢達(dá)哥拉斯的肖像和簡(jiǎn)介(如圖3).其次詳細(xì)的講述了趙爽弦圖的證明方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到無論是我國(guó)古代還是在西方的科學(xué)史上都對(duì)勾股定理的發(fā)現(xiàn)做出了各自的貢獻(xiàn).

畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,約前580—約前500),古希臘著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家.圖3

2 史料編排之特點(diǎn)

2.1 《周髀算經(jīng)》貫穿在各個(gè)階段的教科書中

從史料的內(nèi)容上講，1955年第二分冊(cè)史料的介紹是最簡(jiǎn)潔明了的，直接指出我國(guó)一部古算書《周髀算經(jīng)》記載的直角三角形三邊的關(guān)系.1960年教科書(暫用本)的史料介紹的內(nèi)容略比1955年教科書的多一點(diǎn)，1983年、1993年和2001年中史料的介紹依然以古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》為主.為了進(jìn)行愛國(guó)主義教育，教科書中編寫了有關(guān)我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就.

隨著課程的改革，在教科書的編寫過程中也逐步的積累了一些經(jīng)驗(yàn)，關(guān)于史料的內(nèi)容也不斷地豐富，在1961年教科書第一冊(cè)的史料與1981年教科書第一冊(cè)的史料中不僅介紹了《周髀算經(jīng)》，還介紹了趙爽的《勾股圓方圖注》與“勾三股四弦五”的意義，較為全面的展現(xiàn)了勾股定理的歷史.2005年教科書與2013年教科書將《周髀算經(jīng)》的介紹放在了章前，作為閱讀材料.

2.2 由單一的文字描述演變?yōu)閳D文并茂

1955年、1960年、1961年和1983年的教科書史料的描述都是直接給出的，都在以三角形三邊的關(guān)系基礎(chǔ)上直接給出勾股定理.1961年教科書在介紹《周髀算經(jīng)》的同時(shí)，還介紹了趙爽的《勾股圓方圖注》.隨后，史料的介紹不再是單一的文字描述，而且語言描述上也變得生動(dòng)活潑.數(shù)學(xué)史的融入也開始注重聯(lián)系生活實(shí)際，以動(dòng)手拼圖或者探究的形式展開.2005年和2013年的教科書中繪制了畢達(dá)哥拉斯的肖像，同時(shí)也涉及到趙爽的弦圖.從整體看，在一些數(shù)學(xué)教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)中編寫的教科書也獨(dú)具特色.

2.3 由愛國(guó)主義教育過渡到了解多元文化

史料不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)歷史的基本素材,還是教科書“歷史感”的重要體現(xiàn),愛國(guó)主義是中華文化的核心，所以在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱(課程標(biāo)準(zhǔn))中要求要培養(yǎng)愛國(guó)主義以及民族自尊心.勾股定理章節(jié)中史料的內(nèi)容從愛國(guó)主義教育逐漸增加且呈現(xiàn)出多元化趨勢(shì).從1983年開始，所出版的教科書，如《初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)課本 幾何》史料中滲透了西方文化，無疑帶給學(xué)生耳目一新的感覺.2005年教科書與2013年教科書的史料介紹是以畢達(dá)哥拉斯生活中的事跡為主線，循序漸進(jìn)地拓展加深了一些內(nèi)容.

2.4 定理的證明過程中史料的滲透從無到有

1955年教科書勾股定理章節(jié)安排在高中階段，在學(xué)習(xí)本章內(nèi)容之前，已經(jīng)掌握了射影、比例中項(xiàng)的內(nèi)容，所以勾股定理的證明方法是根據(jù)相似三角形三邊的比例關(guān)系得到的.1960年和1961年的教科書，勾股定理章節(jié)開始安排在初中階段學(xué)習(xí)，供初二、初三年級(jí)使用.1960年教科書中勾股定理的證明方法繼續(xù)用相似三角形，三邊比例關(guān)系的證明方法，而1961年教科書中運(yùn)用歐幾里得的方法證明勾股定理，其核心是使用演繹法證明，但是原書中并沒有提到這是歐幾里得的證明方法，遺憾的是對(duì)歐幾里得沒有相應(yīng)的介紹.1983年、1993年和2001年的教科書勾股定理的證明方法更為直觀，運(yùn)用拼圖加深理解，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力.2005年和2013年的教科書介紹我國(guó)古人趙爽的證法，先作“弦圖”，然后進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，從而證明勾股定理.

3 結(jié)語

縱觀1949年以來中學(xué)數(shù)學(xué)教科書在史料編排上，首先嚴(yán)格按照大綱的要求進(jìn)行編寫，并且在編寫教科書、決定教法、實(shí)現(xiàn)的過程也遵循了三大原則：實(shí)用性原則，論理性原則、心理的原則，三者相互統(tǒng)一.數(shù)學(xué)在日常生活中已經(jīng)存在其實(shí)用價(jià)值，然而僅僅是實(shí)用性原則也是不夠的，不足以支撐整個(gè)數(shù)學(xué)教育，數(shù)學(xué)具有一定的邏輯性，教科書中的內(nèi)容對(duì)于學(xué)生富于興趣，枯燥無味的東西是不能夠成為教科書的內(nèi)容，所以就有了心理的原則[注]陳建功.二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)教育[J].中國(guó)數(shù)學(xué)雜志，1952，(1)..有些教材雖然具有高度的實(shí)用性和理論性，假使學(xué)生不發(fā)生任何真實(shí)感，就心理的原則而言，這些教材就沒有教育的價(jià)值了.其次我國(guó)古代數(shù)學(xué)書《周髀算經(jīng)》貫穿各個(gè)階段，內(nèi)容上逐步增加了對(duì)商高和趙爽的介紹，表現(xiàn)出我國(guó)人民在數(shù)學(xué)上取得的成就.在培養(yǎng)學(xué)生愛國(guó)主義思想的同時(shí)，也對(duì)西方的數(shù)學(xué)成就和畢達(dá)哥拉斯作了相應(yīng)的介紹，引進(jìn)西方的數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)史的融入越來越豐富，推陳出新，努力通過文字的表述，插圖和閱讀材料，向?qū)W生介紹我國(guó)社會(huì)主義建設(shè)和改革的成就以及數(shù)學(xué)在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的應(yīng)用，介紹幾何發(fā)展史和我國(guó)古今的數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)，激發(fā)學(xué)生愛國(guó)主義熱情.