朱佳崢

逆向思維作為一種重要的思維方式，歷來(lái)受到人們的廣泛重視，它在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用十分重要，它是當(dāng)前素質(zhì)教育中不可忽視的內(nèi)容之一。培養(yǎng)逆向思維，是提高學(xué)生的解題速度和解題技巧的重要策略。但由于逆向思維問(wèn)題具有條件隱蔽、背景復(fù)雜、形式多樣、頭緒紛繁的特點(diǎn)，一直以來(lái)多被學(xué)生視為難題而敬而遠(yuǎn)之。事實(shí)上，此類問(wèn)題的解決并非無(wú)章可循，本文試就逆向思維題目的幾種典型類型進(jìn)行闡釋。

一、因式的分解型逆向思維

例1 （ - ）2（8+2 ）.

分析 《因式分解》這一章內(nèi)容從始至終都貫穿了逆向思維教學(xué)，加強(qiáng)逆向思維教學(xué)，有助于開(kāi)拓學(xué)生解題思維，豐富學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題的靈活性。例1此題按照運(yùn)算順序從先算平方，再按多項(xiàng)式法則展開(kāi)、合并這一常規(guī)解法非常困難，如果注意到8+2 這個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征，這個(gè)式子能分解因式成（ + ）2，故原式等于（ - ）2（ + ）2，此時(shí)再逆用積的乘方公式即可.

解 ∵8+2

=5+3+2

=

∴原式=（ - ）2（ + ）2

=[（ - ）（ + ）]2

=22=4.

類比練習(xí)：

二、逆運(yùn)算型逆向思維

例2 化簡(jiǎn)：（x-1）

分析 運(yùn)用恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算律是使運(yùn)算題簡(jiǎn)便的基礎(chǔ)方法之一，而運(yùn)算率的核心就是改變運(yùn)算順序。有時(shí)，逆運(yùn)算能大幅降低運(yùn)算難度。如例2，大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于先將 化簡(jiǎn)，再將整個(gè)式子化簡(jiǎn)，如果將根式外的因式（x-1）移到根號(hào)內(nèi)，則能大幅度降低運(yùn)算難度。但是，此時(shí)需要注意因式（x-1）值的正負(fù)性.這一想法的依據(jù)是公式a= （a≥0）.

解 有意義的條件為 ，則x-1<0，即x-1為負(fù)數(shù).

∴原式=

說(shuō)明 化簡(jiǎn)的依據(jù)是公式a= （a≥0），即公式 =a（a≥0）的逆用.應(yīng)注意二次根式有意義的條件（被開(kāi)放式為非負(fù)數(shù)），還要注意根式內(nèi)“移”出的數(shù)應(yīng)是非負(fù)數(shù)，“移”進(jìn)的數(shù)也應(yīng)是非負(fù)數(shù).

三、由結(jié)果尋求條件型逆向思維

例3已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖1所示，對(duì)稱軸是點(diǎn)線x=1.下列結(jié)論：

①abc>0，②2a+b=0，③62—4ac0.

其中正確的是（ ）

（A）①③ （B）只有② （C）②④ （D）③④

解析 對(duì)選項(xiàng)①，結(jié)合圖象需確定系數(shù)a、b、c的正負(fù)性，由拋物線開(kāi)口方向向上，得a>0，依據(jù)“左同右異”的規(guī)律，得b<0，由拋物線與y軸的正半軸相交，得c>0，故abc<0.

對(duì)選項(xiàng)②，是關(guān)于a，b的式子，故此想到對(duì)稱軸x=- .由- =1，得b=-2a，即2a+b=0.對(duì)選項(xiàng)③，欲判斷b2-4ac的正負(fù)性，需看拋物線和x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由拋物線和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，得b2-4ac>0.

對(duì)選項(xiàng)④，4a+2b+c是x=2對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，知拋物線和x軸的右交點(diǎn)的橫坐標(biāo)小于2，故4a+2b+c>0.

綜上，選C.

四、反向變換型逆向思維

例4拋物線y=x2+bx+c的圖象

先向右平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得圖象的函

數(shù)解析式為y=（x-1）2-4，則b、c的值為（ ）

（A）b=2，c=-6 （B）b=2，c=0 （C）b=-6，c=8 （D）b=-6，c=2

解析 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性，知拋物線y=（x-1）2-4先向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位，可得拋物線y=x2+bx+c.

由于拋物線y=（x-1）2-4的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-4），所以拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），所以y=（x+1）2-1=x2+2x，即b=2，c=0，故選B.

五、從問(wèn)題的反面進(jìn)行思考型逆向思維

例5 若方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0，x2-2（k+1）x+k2-2=0，x2-（2k+1）x+（k-2）2=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍.

分析 由于“至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根”與“三個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根”是對(duì)立排斥的，所以可以先從這個(gè)問(wèn)題的反面，即三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根的角度來(lái)考慮，即從△1、△2、△3三者均小于0中解出k的取值范圍，再?gòu)膶?shí)數(shù)中排除這個(gè)k的取值范圍.

解 ∵△1=8k+9<0，

△2=8k+12<0，

△3=20k-15<0，

得k<- .

因此，當(dāng)k≥- 時(shí)，三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根.

六、從“配角”變“主角”型逆向思維

例6 在關(guān)于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0中，a為正整數(shù)，當(dāng)a為何值時(shí)，方程至少有一個(gè)整數(shù)根？

分析 因?yàn)轭}眼是“關(guān)于x”，所以大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣于用求根公式將x用a的式子表示，接下來(lái)通過(guò)x為整數(shù)去求正整數(shù)a的值，這樣的計(jì)算比較繁瑣.此時(shí)，不妨嘗試一下將系數(shù)a用未知數(shù)x的式子表達(dá)，這樣能二次方程降為一次方程.

解 ∵ax2+2（2a-1）x+4a-7=0

∴當(dāng)a=5，a=1時(shí)，原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.

說(shuō)明：將“主角”和“配角”變換一下角色，起到了另辟蹊徑的效果；同時(shí)變形的中用了“裂項(xiàng)”法，它本身就是一種逆向思維，變形的目的是為“整除”服務(wù)的.