江蘇省無錫市港下中學(xué) 程 軍 (郵編：214199)

圖形翻折類中考題解析

江蘇省無錫市港下中學(xué) 程 軍 (郵編：214199)

2017無錫中考落下帷幕,對于試卷第10題,在閱卷過程中,同行們普遍認(rèn)為題目入口寬、解法多樣、精彩,體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì),是一道充滿數(shù)學(xué)味的試題,現(xiàn)摘錄如下.

題目 (2017無錫中考第10題)如圖,△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,點D是BC的中點,將△ABD沿AD翻折得到△AED,則線段CE的長等于( )

1 解法展示

1.1 解法一

解題透視 為什么會想到連接BE?如何求BE長?△ABD與△AED關(guān)于AD對稱,觀察B、E是對稱點,聯(lián)想BE被AD垂直平分;另一方面DE＝DB＝DC,容易聯(lián)想到產(chǎn)生Rt△;至于如何解決BE長,可以采用面積法,也可以采用求其一半(用相似).

解后反思為何如此考慮?基于軸對稱性,發(fā)現(xiàn)DB＝DE＝DC,構(gòu)造直角三角形.

1.2 解法二

解題思路 連接BE,設(shè)AD與BE交點為F,則△ABF∽△BCA,由AB＝3,得AF＝,DF＝由DF為△BEC的中位線,則EC＝.

解題透視 如何求DF長,為什么DF是△BEC的中位線?由△ABD與△AED關(guān)于AD對稱,觀察知∠ADB＝∠ADE,DE＝DC;聯(lián)想到外角 ∠BDE＝∠DEC＋∠DCE,可推出∠ADB＝∠DCE,得AD∥CE,中位線DF也就呼之欲出;轉(zhuǎn)化為求AF,觀察△ABF與△ABC相似,于是問題解決.

解后反思如何看出DF是三角形BEC的中位線?如何看出△ABF與△ABC相似的?

基于軸對稱性,對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等(∠ADB＝∠ADE,DE＝DC),聯(lián)想到外角性質(zhì),發(fā)現(xiàn)AD∥CE,進而發(fā)現(xiàn)DF為中位線;基于對稱點連線BE被對稱軸AD垂直平分,結(jié)合∠DAB＝∠DBA,構(gòu)造出與“3,4,5”相似的Rt△.

1.3 解法三

解題思路 過A、D分別作AF⊥BC,DG⊥CE,則△ADF≌△DCG,DF＝CG,且DC＝,得DF＝

解題透視 如何想到作雙高AF和DG的?根據(jù)軸對稱性,觀察知 ∠ADB＝∠ADE,DE＝DC,可推出∠ADB＝∠ECD,由角相等聯(lián)想到相似,作高AF、DG(直角三角形斜邊上的高AF,常見作法;等腰三角形DEC底邊上的高DG,也是常見作法),構(gòu)造相似三角形,事實上△ADF與△DCG全等,推出CE＝2DF,利用面積法求AF長,勾股定理求DF,解決問題.

解后反思 基于翻折特征,對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊相等,DE＝DC,∠ADF＝∠GCD,構(gòu)造相似三角形(恰好全等);基于對“3,4,5”直角三角形的熟悉程度,作高AF,Rt△ADF三邊已知,CD也已知,能求解CG.

1.4 解法四

解題思路 延長BA、CE交于H,由于∠BCA＝ECA,所以CH＝CB＝5,△AEH∽

解題透視 為什么會想到延長BA、CE?如何快捷求出EH來?根據(jù)軸對稱性,對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等,結(jié)合外角性質(zhì),得平行(AD∥CH),得角平分線(DC＝DA結(jié)合平行),結(jié)合∠BAC＝90°,構(gòu)造等腰三角形;聯(lián)想到AB＝AE＝AH,∠BAD＝ ∠H,構(gòu)造相 似 △AEH,△DAB(三邊已知)求解EH.

解后反思 基于翻折特征,對應(yīng)角、邊相等,由外角性質(zhì),才看出AD、CE平行,進而看出CA為角平分線,最后才聯(lián)想到延長BA、CE.

1.5 解法五

解題思路 過A作AF⊥BC、AH⊥CE,△AEH∽△CBA∽△CAH,EH＝

解題透視 解法五與解法四有相同點,均發(fā)現(xiàn)CA為角平分線,不同點是解法五聯(lián)想到角平分線的性質(zhì),作雙高AF、AH,利用 △AEH∽△CHA∽△CAB,解決問題,比解法四更簡潔.

解后反思 基于翻折特征,聯(lián)想相關(guān)性質(zhì),推出CA為角平分線,由角平分線作垂線,構(gòu)造“3,4,5”的直角三角形.

1.6 解法六

解題思路 過E作EF⊥AC,△CBA∽△CEF,設(shè)EF＝3x,CF＝4x,AF＝4－4x,在Rt△AEF中,32＝ 3x()2＋(4－4x)2,25x2－

解題透視 為什么過E點作AC的垂線EF?似乎感覺很唐突!由翻折特征,聯(lián)想外角性質(zhì),推理出CA為角平分線,而∠ACB為“3,4,5”Rt△的已知角,自然 ∠ECF也為已知,作垂線,能構(gòu)造“3,4,5”三角形,結(jié)合Rt△AEF,AE＝AB＝3,AC＝4,利用勾股定理解決問題,故作垂線EF不唐突,有道理!

解后反思 基于翻折特征,發(fā)現(xiàn)∠ECF＝∠ACB,構(gòu)造3,4,5的直角三角形,利用勾股定理在Rt△AEF解決問題.

2 解法歸納和分析

翻折本質(zhì)上就是軸對稱,軸對稱變換是初中數(shù)學(xué)重要的圖形變換,歷來是中考重點,但考生為什么普遍感覺難?先從它的特征說起.軸對稱的性質(zhì)有以下兩條,若兩個圖形關(guān)于某直線軸對稱,(1)則對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等;(2)對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分;以上兩點,學(xué)生無不理解,但問題就在于具體情景中,學(xué)生就顯得無所適從.其中角相等的運用是難點.在上述六種解法中,經(jīng)常出現(xiàn)基本圖形(例如與“3,4,5”相似的三角形,直角三角形斜邊上的高,角平分線等)這些圖形是否熟悉,直接影響到學(xué)生的聯(lián)想和思維發(fā)散.從角相等能聯(lián)想到等腰三角形,聯(lián)想到平行,聯(lián)想到相似,學(xué)會聯(lián)想很要緊;對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分其實能觀察出Rt△,進而聯(lián)想到相似三角形,勾股定理等.

3 對今后教學(xué)的建議

3.1 重視基本知識、基本性質(zhì),為分析問題、解決問題提供堅實的“物質(zhì)基礎(chǔ)”

數(shù)學(xué)基本概念、性質(zhì)、法則、定理等是數(shù)學(xué)知識的核心,也是形成解題能力的基礎(chǔ),離開了基礎(chǔ)知識的積累,解題能力就成為空中樓閣.軸對稱是初中數(shù)學(xué)的重點和難點.它的性質(zhì)學(xué)生掌握不全,知識結(jié)構(gòu)混亂.軸對稱實質(zhì)是全等變換.對應(yīng)邊相等,對應(yīng)角相等是它的首要特征;另外,對應(yīng)點連線被對稱軸垂直平分也是十分重要的性質(zhì),這一點學(xué)生往往忽視,教學(xué)時要強調(diào)對稱軸的重要性.可以讓學(xué)生從以下兩個角度理解來牢固完整掌握軸對稱的性質(zhì)(1)它是全等變換;(2)對稱軸的作用.解題能力的提高首先要十分熟悉相關(guān)性質(zhì)和定理法則概念等.

3.2 重視積累基本圖形,提高識圖能力

基本圖形是數(shù)學(xué)教學(xué)中長期總結(jié)出來的“珍珠”,具有強大生命力,經(jīng)得起實踐檢驗.它往往蘊涵著基本知識和基本方法.在復(fù)雜圖形中若能發(fā)現(xiàn)或構(gòu)造基本圖形,就可以直接獲取基本圖形所蘊含的結(jié)論和方法,實現(xiàn)思維跳躍,大大降低思考力度.

上述解法中的基本圖形有“3,4,5”的直角三角形;等腰三角形三線合一;Rt△斜邊上的高;與“3,4,5”相似的Rt△;角平分線上的點到角兩邊的距離相等.這些圖形和基本特征的積累,有助于提高學(xué)生的識圖能力,有助于打開學(xué)生解題的思路,發(fā)散學(xué)生的思維,提高解題能力.

3.3 重視對學(xué)生聯(lián)想能力的培養(yǎng),提高學(xué)生的發(fā)散思維

聯(lián)想解題就是從題目已知條件展開發(fā)散,想象,從自己知識倉庫中找出與題目條件接近或相似的結(jié)論或基本圖形或定理,變通使用這些知識,從而解決問題.基礎(chǔ)知識和基本圖形就是“珍珠”,有了珍珠還必須用線串起來才精彩,這根線就是聯(lián)想.例如看到等腰三角形就能聯(lián)想到三線合一,已知直角三角形兩邊求斜邊上的高就能聯(lián)想到面積法,看到角平分線就能聯(lián)想到角平分線的性質(zhì),能識別出角相等就能聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形(往往是Rt△).這些聯(lián)想要在平時教學(xué)中潛移默化的滲透,不斷“厚積”,方能“薄發(fā)”.

注：“3,4,5”的直角三角形是指與邊長為“3,4,5”的直角三角形相似的三角形.

2017-09-05)