中國教育科學(xué)研究院豐臺實驗學(xué)校 李雅萍 (郵編：100071)

一道女子奧林匹克競賽試題的簡證與推廣

中國教育科學(xué)研究院豐臺實驗學(xué)校 李雅萍 (郵編：100071)

對2011年女子數(shù)學(xué)奧林匹克競賽不等式證明題給出了一個新穎簡潔的證明;同時得出了這個競賽不等式的一個加強;最后得到此類問題的n元推廣.

女子奧林匹克;簡證;推廣

在2011年第10屆女子數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中有一道優(yōu)美的不等式試題：

(第10屆CMO)已知a、b、c、d為正實數(shù),且abcd＝1,求證：

賽題結(jié)構(gòu)簡潔,形式對稱優(yōu)美,但證明的難度很大。競賽命題組給出的參考答案([1])是利用討論思想并結(jié)合調(diào)整法來處理的,技巧性較強且過程相當(dāng)繁復(fù),學(xué)生難以理解并掌握.為此,筆者對試題進行了深入的研究,得到了該競賽試題的簡潔證明如下：

試題另證 由對稱性,不妨設(shè)a≥b≥c≥d＞0,因正實數(shù)a、b、c、d滿足abcd＝1,故四個數(shù)中只有三個獨立變量,將b、c視為常數(shù),d＝,則不等式左邊為a的函數(shù)

因此,函數(shù)f(a)在 [d ,＋∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)且僅當(dāng)a＝d,此時a＝b＝c＝d＝1時

采用上述證明方法,立得賽題的一個加強：

另外,我們采用同樣的方法,還可將這個命題推廣為比文[2]更強的結(jié)論：

因此,函數(shù)f(x1)在 [xn,＋∞)上單調(diào)遞增,故當(dāng)且僅當(dāng)x1＝xn,此時x1＝x2＝…＝xn＝1時,f(x)＝,所以原不等式1min成立.

1 2011女子數(shù)學(xué)奧林匹克[J].中等數(shù)學(xué),2011(10)

2 查正開.數(shù)學(xué)奧林匹克問題高318[J].中等數(shù)學(xué),2011(4)

2017-09-24)