福建省泉州市泉州第五中學 楊蒼洲 (郵編:362000)
2017年高考天津卷理科第20題命題手法探究
福建省泉州市泉州第五中學 楊蒼洲 (郵編:362000)
研究函數(shù)圖象與其切、割線之間的關系可以得到各種各樣的不等式.2017年高考天津卷理科壓軸題就是通過觀察函數(shù)圖象與其切線的關系,從而提出問題,命制試題的.
高考;壓軸題;命題手法
題 (2017年高考數(shù)學天津卷)設a∈Z,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0,g(x)為f(x)的導函數(shù).
(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)設m∈[1,x0)∪(x0,2],函數(shù)h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求證:h(m)h(x0)<0;
(Ⅲ)求證:存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p、q,且∈[1,x0)∪(x0,2],
研究完試題的解題方法之后,筆者思考了更深層次的問題——試題的編制手法.命題者是如何編制出試題的呢?其命題手法是否可以模仿、借鑒?通過探究,筆者發(fā)現(xiàn),命題者主要通過研究函數(shù)圖象與其切線的關系,從而得到不等式,并提出問題.
2.1 問題(Ⅱ)的命題思路
設定義在區(qū)間D上函數(shù)f(x)滿足:①單調(diào)遞增,②下凹,③有唯一零點x0.
如圖1,曲線y=f(x)在點P(t,f(t))的切線為l1,過T(x0,0)作平行于直線l1的 直 線l2:y=f′t()(x -x0),直 線x=m與直線l2、曲線y=f(x)分別相交于M、N兩點,則yM-yN=f′t()(m -x0)-f(m).
圖1
下面我們來研究當P、N重合或P、T重合時的兩種極限情況.如圖2、圖3,由圖可知:若P、N重合,則yM-yN>0;若P、T重合時,則yM-yN<0.
圖2
圖3
若構造函數(shù)h(x)=f′(x)(m-x0)-f(m),即可得:h(m)h(x0)<0.
由此可得問題(Ⅱ).
2.2 問題(Ⅲ)的命題思路
如圖4,PQ⊥x軸于Q,l1與x軸交于點S(xS,0),由圖可知:TQ ≥SQ ,即|t-x0|≥|t-xS|.
由 于 l1:y =f′t()(x -t)+ft(),
圖4
又因為p、q、a均為整數(shù),所以|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|是正整數(shù),從而|2p4+3p3q-3p2q2-6pq3+aq4|≥1,所以
故存在大于0的常數(shù)A=g(2),使得對于任意的正整數(shù)p、q,且∈[1,x)∪(x,2],滿00
由此編制得問題(Ⅲ).
基于對2017年高考天津卷理科壓軸題命題手法的研究,仿照其手法,借助幾何畫板,通過數(shù)形結合,筆者編制試題如下,與讀者共賞.
題1 已知函數(shù)f(x)=lnx+ax(a>0),f′(x)為f(x)的導函數(shù).
(Ⅰ)求曲線f(x)在點 1,f(1)( )處的切線方程;
(Ⅱ)若m∈R,x0為函數(shù)f(x)的零點,函數(shù)g(x)=fx()-f′m()x-m( )-fm() .求證:g(x0)≤0.
當m<x0時,φ′(m)<0;當m>x0時,φ′(m)>0.
故φ(m)≥φ(x0)=lnx0+ax0=0,因此g(x0)≤0.
題2 已知函數(shù)f(x)=ex+ax,f′(x)為f(x)的導函數(shù).
(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若a>0,證明f(x)有唯一零點x0,并比較x-與x的大小.0
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設函數(shù)h(x)=f′(x)(m-x0)-f(m)(m∈R,m≠x0),
求證:h(m)h(x0)<0.
解析 (Ⅰ)f′(x)=ex+a.
(i)當a≥0時,f′(x)>0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R;
(ii)當a<0時,當x>ln(-a)時,f′(x)>0;當x<ln(-a)時,f′(x)<0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (ln(- a),+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為 (- ∞,ln(- a)).
(Ⅱ)當a>0,f(x)在R單調(diào)遞增,
令g(x)=f(x)-f′(x)(x -x0),
則g(x)=ex+ax- e(x+a)(x -x0),g′(x)=-ex(x -x0).
當x>x0時,g′(x)<0;當x<x0時,g′(x)>0.
故當x=x0時,g(x)取得最大值g(x0)=0.
(Ⅲ)函數(shù)h(x)=f′(x)(m-x0)-f(m)(m∈R),求證:h(m)h(x0)<0.
由(Ⅱ)知,當m≠x0時,h(m)=f′(m)(m-x0)-f(m)>0 ①
下證h(x0)=f′(x0)(m-x0)-f(m)<0.
令φ(x)=f′(x0)(x-x0)-f(x)(x≠x0),則φ′(x)=f′(x0)-f′(x)=ex0-ex.
當x>x0時,φ′(x)<0;當x<x0時,φ′(x)>0.
故φ(x)<φ(x0)=0,
即f′(x0)(x-x0)-f(x)<0,h(x0)=f′(x0)(m-x0)-f(m)<0 ②
由①②得,h(m)h(x0)<0.
1 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準[M].北京:人民教育出版社,2003
2 楊蒼洲.2015年高考湖北文科卷壓軸試題的命題手法探究[J].中學生理科應試,2017(4):2-3
2017-08-26)