福建省泉州市泉州第五中學 楊蒼洲 (郵編：362000)

2017年高考天津卷理科第20題命題手法探究

福建省泉州市泉州第五中學 楊蒼洲 (郵編：362000)

研究函數(shù)圖象與其切、割線之間的關系可以得到各種各樣的不等式.2017年高考天津卷理科壓軸題就是通過觀察函數(shù)圖象與其切線的關系,從而提出問題,命制試題的.

高考;壓軸題;命題手法

1 試題展示

題 (2017年高考數(shù)學天津卷)設a∈Z,已知定義在R上的函數(shù)f(x)＝2x4＋3x3－3x2－6x＋a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0,g(x)為f(x)的導函數(shù).

(Ⅰ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)設m∈[1,x0)∪(x0,2],函數(shù)h(x)＝g(x)(m－x0)－f(m),求證：h(m)h(x0)＜0;

(Ⅲ)求證：存在大于0的常數(shù)A,使得對于任意的正整數(shù)p、q,且∈[1,x0)∪(x0,2],

2 命題手法探究

研究完試題的解題方法之后,筆者思考了更深層次的問題——試題的編制手法.命題者是如何編制出試題的呢?其命題手法是否可以模仿、借鑒?通過探究,筆者發(fā)現(xiàn),命題者主要通過研究函數(shù)圖象與其切線的關系,從而得到不等式,并提出問題.

2.1 問題(Ⅱ)的命題思路

設定義在區(qū)間D上函數(shù)f(x)滿足：①單調(diào)遞增,②下凹,③有唯一零點x0.

如圖1,曲線y＝f(x)在點P(t,f(t))的切線為l1,過T(x0,0)作平行于直線l1的 直 線l2：y＝f′t()(x －x0),直 線x＝m與直線l2、曲線y＝f(x)分別相交于M、N兩點,則yM－yN＝f′t()(m －x0)－f(m).

圖1

下面我們來研究當P、N重合或P、T重合時的兩種極限情況.如圖2、圖3,由圖可知：若P、N重合,則yM－yN＞0;若P、T重合時,則yM－yN＜0.

圖2

圖3

若構造函數(shù)h(x)＝f′(x)(m－x0)－f(m),即可得：h(m)h(x0)＜0.

由此可得問題(Ⅱ).

2.2 問題(Ⅲ)的命題思路

如圖4,PQ⊥x軸于Q,l1與x軸交于點S(xS,0),由圖可知：TQ ≥SQ ,即|t－x0|≥|t－xS|.

由 于 l1：y ＝f′t()(x －t)＋ft(),

圖4

又因為p、q、a均為整數(shù),所以|2p4＋3p3q－3p2q2－6pq3＋aq4|是正整數(shù),從而|2p4＋3p3q－3p2q2－6pq3＋aq4|≥1,所以

故存在大于0的常數(shù)A＝g(2),使得對于任意的正整數(shù)p、q,且∈[1,x)∪(x,2],滿00

由此編制得問題(Ⅲ).

3 新題命制

基于對2017年高考天津卷理科壓軸題命題手法的研究,仿照其手法,借助幾何畫板,通過數(shù)形結合,筆者編制試題如下,與讀者共賞.

題1 已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax(a＞0),f′(x)為f(x)的導函數(shù).

(Ⅰ)求曲線f(x)在點 1,f(1)( )處的切線方程;

(Ⅱ)若m∈R,x0為函數(shù)f(x)的零點,函數(shù)g(x)＝fx()－f′m()x－m( )－fm() .求證：g(x0)≤0.

當m＜x0時,φ′(m)＜0;當m＞x0時,φ′(m)＞0.

故φ(m)≥φ(x0)＝lnx0＋ax0＝0,因此g(x0)≤0.

題2 已知函數(shù)f(x)＝ex＋ax,f′(x)為f(x)的導函數(shù).

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)若a＞0,證明f(x)有唯一零點x0,并比較x－與x的大小.0

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,設函數(shù)h(x)＝f′(x)(m－x0)－f(m)(m∈R,m≠x0),

求證：h(m)h(x0)＜0.

解析 (Ⅰ)f′(x)＝ex＋a.

(i)當a≥0時,f′(x)＞0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為R;

(ii)當a＜0時,當x＞ln(－a)時,f′(x)＞0;當x＜ln(－a)時,f′(x)＜0.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (ln(－ a),＋∞),單調(diào)遞減區(qū)間為 (－ ∞,ln(－ a)).

(Ⅱ)當a＞0,f(x)在R單調(diào)遞增,

令g(x)＝f(x)－f′(x)(x －x0),

則g(x)＝ex＋ax－ e(x＋a)(x －x0),g′(x)＝－ex(x －x0).

當x＞x0時,g′(x)＜0;當x＜x0時,g′(x)＞0.

故當x＝x0時,g(x)取得最大值g(x0)＝0.

(Ⅲ)函數(shù)h(x)＝f′(x)(m－x0)－f(m)(m∈R),求證：h(m)h(x0)＜0.

由(Ⅱ)知,當m≠x0時,h(m)＝f′(m)(m－x0)－f(m)＞0 ①

下證h(x0)＝f′(x0)(m－x0)－f(m)＜0.

令φ(x)＝f′(x0)(x－x0)－f(x)(x≠x0),則φ′(x)＝f′(x0)－f′(x)＝ex0－ex.

當x＞x0時,φ′(x)＜0;當x＜x0時,φ′(x)＞0.

故φ(x)＜φ(x0)＝0,

即f′(x0)(x－x0)－f(x)＜0,h(x0)＝f′(x0)(m－x0)－f(m)＜0 ②

由①②得,h(m)h(x0)＜0.

1 中華人民共和國教育部制定.普通高中數(shù)學課程標準[M].北京：人民教育出版社,2003

2 楊蒼洲.2015年高考湖北文科卷壓軸試題的命題手法探究[J].中學生理科應試,2017(4)：2-3

2017-08-26)