李翔

【摘要】數(shù)字信號(hào)處理是一門理論性很強(qiáng)的課程，當(dāng)前多數(shù)教材在介紹DFT變換時(shí)直接定義DFT變換公式然后再提物理含義。按照這種常規(guī)教學(xué)大部分同學(xué)能套用DFT變換公式解答基本題，但對(duì)其物理含義理解模糊影響后續(xù)知識(shí)的深入學(xué)習(xí)和DFT變換的靈活應(yīng)用。本文介紹用動(dòng)態(tài)圖示的方式推導(dǎo)DFT變換的教學(xué)過程，按照作者經(jīng)驗(yàn)通過這種講授方式不但可以讓學(xué)生輕松的理解DFT變換的物理意義，而且能活用DFT變換求解復(fù)雜問題，收到的教學(xué)效果更好。

【關(guān)鍵詞】信號(hào)處理；DFT變換；動(dòng)態(tài)圖示；教學(xué)法

【中圖分類號(hào)】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】B 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）10-0130-02

數(shù)字信號(hào)處理（DSP）是用數(shù)值計(jì)算的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行處理，以達(dá)到提取信息便于利用的目的。從日常家用電器到工業(yè)生產(chǎn)過程，再到航天軍事裝備，幾乎所有的工程技術(shù)領(lǐng)域都涉及到數(shù)字信號(hào)處理問題。《數(shù)字信號(hào)處理》是電子信息類本科生必須開設(shè)的必修專業(yè)基礎(chǔ)課，內(nèi)容主要是介紹數(shù)字信號(hào)處理的相關(guān)理論和方法，課程對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求較高，內(nèi)容較抽象，理解難度偏大。面對(duì)應(yīng)用型工程人才培養(yǎng)的地方本科院校，如何講授好這門理論性較強(qiáng)的課程，以方便學(xué)生快速地理解和掌握教學(xué)相關(guān)內(nèi)容，是擺在專任教師面前的一個(gè)教學(xué)難題。作者多年來主講這門課程的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)是，按照待講授內(nèi)容的特點(diǎn)結(jié)合學(xué)生的基礎(chǔ)情況，以動(dòng)態(tài)圖示的方式講授相關(guān)內(nèi)容，能夠收到較好的課堂教學(xué)效果。

變換域分析法是數(shù)字信號(hào)處理的主要分析方法，例如序列的傅立葉變換，序列的Z變換分別是頻域和復(fù)域分析法。通過變換域方法可實(shí)現(xiàn)時(shí)域中復(fù)雜信號(hào)處理的簡(jiǎn)化。離散傅立葉變換（DFT）是數(shù)字信號(hào)處理中的一種重要的變換域分析方法，DFT變換對(duì)給出了時(shí)域和頻域等長有限長序列的相互表示關(guān)系。數(shù)字信號(hào)處理需要使用通用或?qū)Ｓ玫奶幚砥鱽韺?shí)現(xiàn)數(shù)值計(jì)算，要求時(shí)域和頻域同時(shí)離散。DFT變換對(duì)正是滿足這一要求的變換域分析方法，DFT變換在各種數(shù)字信號(hào)處理的算法中起著核心作用。下面以DFT變換對(duì)推導(dǎo)為例，介紹動(dòng)態(tài)圖示在課堂教學(xué)過程中的應(yīng)用。

一、回顧拓展

在推導(dǎo)DFT變換對(duì)前，向同學(xué)們陳述目前所學(xué)的各類傅立葉變換（FT）對(duì)，其時(shí)域或頻域并不都適合計(jì)算機(jī)表示。然后，用圖示方式依次表達(dá)這些變換對(duì)的物理含義，以下圖示中無～標(biāo)記的為有限長（主值）信號(hào)，有～標(biāo)記的為周期信號(hào)；小寫的為時(shí)域信號(hào)，大寫的為頻域信號(hào)。

1.連續(xù)非周期信號(hào)的FT

時(shí)域中一個(gè)連續(xù)非周期信號(hào)與頻域中一個(gè)非周期連續(xù)信號(hào)能夠相互表示，并且這種表示是唯一的。

2.連續(xù)周期信號(hào)的FT

時(shí)域中一個(gè)連續(xù)周期信號(hào)與頻域中一個(gè)非周期離散信號(hào)能夠相互表示，并且這種表示是唯一的。

3.離散非周期信號(hào)的FT

時(shí)域中一個(gè)離散非周期信號(hào)與頻域中一個(gè)周期連續(xù)信號(hào)能夠相互表示，并且這種表示是唯一的。

以上變換圖示是到目前為止我們已經(jīng)學(xué)過的變換，其中前三種變換稱為連續(xù)時(shí)間傅立葉變換（CTFT），在先修課程信號(hào)與系統(tǒng)中學(xué)習(xí)過。第四種變換是數(shù)字信號(hào)處理課程中剛講授過的，稱為離散時(shí)間傅立葉變換（DTFT）。講授時(shí)注意時(shí)域和頻域各參數(shù)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，尤其是一個(gè)域中信號(hào)的離散間隔和另外一個(gè)域中信號(hào)的周期間的對(duì)偶關(guān)系。離散時(shí)間信號(hào)（或稱時(shí)間序列）我們可以稱為二義信號(hào)，所謂二義信號(hào)是說這個(gè)信號(hào)既可以有離散觀點(diǎn)的表示形式，也可以有連續(xù)觀點(diǎn)的表示形式，進(jìn)而采用相應(yīng)的處理工具。在以上圖示中，時(shí)間序列x（n）是離散表示式，理想抽樣信號(hào)x（nT）是連續(xù)表示式，兩者所指向的物理對(duì)象是同一個(gè)，所以x（nT）的CTFT與x（n）的DTFT是相同的，只是在數(shù)字信號(hào)處理中頻域自變量習(xí)慣用數(shù)字頻率ω表示而已，數(shù)字頻率與模擬頻率關(guān)系ω=ΩT。理想抽樣信號(hào)和時(shí)間序列都是二義信號(hào)，根據(jù)需要寫為相應(yīng)的描述形式再用相應(yīng)的分析法。因此，CTFT和DTFT從變換結(jié)果來看可以視為等價(jià)的一種變換。以上三種傅里葉變換的時(shí)頻域特點(diǎn)小結(jié)如下：

歸納強(qiáng)調(diào)：（1）變換中兩個(gè)域中的信號(hào)存在對(duì)偶關(guān)系，一個(gè)域中信號(hào)是否離散與另外一個(gè)域中信號(hào)是否周期相對(duì)應(yīng)且存在定量聯(lián)系；（2）目前學(xué)過的這三種變換形式，至少有一個(gè)域的信號(hào)不適合計(jì)算機(jī)系統(tǒng)處理。自然引出問題：是否存在一種變換能建立起時(shí)域和頻域中的有限長序列之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？答案是存在，即離散傅里葉變換（DFT）。

二、導(dǎo)出過程

DTFT稱為離散時(shí)間傅里葉變換，或稱有限長序列的傅里葉變換。DTFT變換對(duì)的圖示描述如下：

x（n）的DTFT是以2π為周期，數(shù)字頻率ω為自變量的連續(xù)函數(shù)。下面我們從DTFT變化對(duì)出發(fā)，利用時(shí)域和頻域的對(duì)偶關(guān)系（即時(shí)域離散造就頻域周期，頻域離散造就時(shí)域周期），導(dǎo)出新的重要的變換——DFT，即離散傅里葉變換。

設(shè)有限長序列x（n）的采樣間隔為T，序列長為N點(diǎn)，則序列的時(shí)長可記為NT；的數(shù)字頻域抽樣間隔記為ω0，與此對(duì)應(yīng)所帶來的時(shí)域序列x（n）的拓展間隔記為T0，則由對(duì)偶關(guān)系存在如下等式：

頻域抽樣定理：頻域一個(gè)周期（2π）內(nèi)的抽樣點(diǎn)數(shù)不得少于時(shí)域序列的長度點(diǎn)數(shù)！

這里令頻域抽樣間隔為，此時(shí)，N點(diǎn)長時(shí)域序列以間隔NT進(jìn)行拓展剛好不會(huì)發(fā)生混疊，如下右圖：頻域離散建立起了時(shí)域周期序列與頻域周期序列的對(duì)應(yīng)并且周期相同，并且任何一個(gè)域的周期序列只需另外一個(gè)域的主值序列就能表示出來。

變換對(duì)式（2）建立了時(shí)域N點(diǎn)有限長序列與頻域周期為N的周期序列的對(duì)應(yīng)關(guān)系。式（2）并沒有反映如上右圖顯示的本質(zhì)對(duì)應(yīng)關(guān)系，因?yàn)轭l域離散所帶來的對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)該是時(shí)域周期為N的周期序列與頻域周期為N的周期序列的對(duì)應(yīng)關(guān)系。頻域一個(gè)周期采樣N點(diǎn)造成時(shí)域N點(diǎn)有限長序列的周期拓展，拓展間隔剛好是N點(diǎn)（即有限長序列的長度點(diǎn)數(shù)N）。故頻域的離散，意味著在變換對(duì)式（2）中將N點(diǎn)有限長序列視為了周期序列的主值序列?？梢越忉屓缦拢剑?-2）的右邊是一個(gè)關(guān)于n的周期為N的周期序列，但式（2-2）左邊只關(guān)心主值范圍內(nèi)的N個(gè)值即，式（2-1）中亦只需N點(diǎn)主值序列就可確定。因此，將式（2）表為如下形式同樣成立，繼而反應(yīng)頻域離散包含的本質(zhì)對(duì)應(yīng)關(guān)系：

變換對(duì)式（4）建立了時(shí)域N點(diǎn)有限長序列與頻域N點(diǎn)有限長序列的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這就是本次課導(dǎo)出的重要的變換關(guān)系——離散傅立葉變換（DFT）。從以上圖示DFT變換對(duì)的導(dǎo)出過程可知，之所以能建立起時(shí)域有限長序列和頻域等長的有限長序列的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是基于如下兩個(gè)原因：一是時(shí)域周期序列與頻域同周期的周期序列能夠建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系；二是任意一個(gè)域的周期序列只需另一個(gè)域的周期序列的主值序列表示。從以上DFT的圖示導(dǎo)出過程可知，可以存在的幾種變換對(duì)關(guān)系小結(jié)列于下表中：

上表中，對(duì)于有限長序列，N指序列長度；對(duì)于周期序列，N指周期。類似與變換對(duì)[式（2）]，變換對(duì)[*]也是可以存在的。從以上圖示導(dǎo)出過程可知，離散傅里葉變換（DFT）實(shí)質(zhì)上是離散傅里葉級(jí)數(shù)（DFS），只是為了需要主觀的將視野限制在主值區(qū)域，而這種限制從公式量值關(guān)系來說又是可行的，因此DFT變換對(duì)中隱含有周期性。DFS建立起了時(shí)域中的周期（N）序列與頻域中的周期（N）序列之間的映射關(guān)系。DFT建立起了時(shí)域中的有限長（N）序列與頻域中的有限長（N）序列之間的映射關(guān)系。DFT本質(zhì)上是DFS，只是我們主觀地將視野局限在了主值區(qū)間的范圍。DFT是一種新的（針對(duì)處理序列類型而言）變換方法，變換后的信號(hào)滿足在時(shí)域和頻域中都為離散的有限長序列，適合計(jì)算機(jī)處理。

三、總結(jié)

本文在現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)上借用對(duì)偶原理，通過圖示教學(xué)方式簡(jiǎn)潔直觀的推導(dǎo)出DFT變換且物理意義在導(dǎo)出過程中自然顯現(xiàn)。另外，圖示法導(dǎo)出DFT的過程中，還引出了其它三種可存在的變換包括DFS，通過彼此比較，DFT隱含周期性的含義更為清晰。另外，本文給出了推導(dǎo)DFS變換的另外一種途徑。作者自從在課堂中采用圖示法講解DFT變換后，同學(xué)們對(duì)DFT變換對(duì)的認(rèn)識(shí)層次大為提升，教學(xué)效果更好。在當(dāng)前應(yīng)用型人才培養(yǎng)背景下，專任教師更應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)和學(xué)生現(xiàn)有基礎(chǔ)有針對(duì)性的采用動(dòng)態(tài)圖示教學(xué)來提升課堂教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

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