魏蘭

解析幾何中的數(shù)形結(jié)合

1. 與斜率有關(guān)的問題

例1 如果實數(shù)[x，y]滿足等式[x2+y2-4x+1=0]，那么[yx]的最大值為（ ）

A. [12] B. [33] C. [32] D. [3]

解析 初看此題，形式上是一道代數(shù)題，對關(guān)系式[x2+y2-4x+1=0]化簡，很自然地與圓的方程聯(lián)系起來，而[yx]恰為點[P][（x，y）]與原點連線的斜率，這便把問題與“形”結(jié)合起來，轉(zhuǎn)化為如下的幾何問題：動點[P]（[x，y]）在圓[C]上運動，求直線[OP]的斜率的最大值.

觀察圖形易得，當[P]在第一象限，并且[OP]與圓[C]相切時，[OP]的斜率最大，這時，[PC⊥OP].

于是[tan∠POC=PCOP][=34-3=3]，即[OP]的斜率的最大值為[3].

點評 在一些分子、分母都是三角函數(shù)或一次函數(shù)的代數(shù)式中，要求其值域，很多都轉(zhuǎn)化為經(jīng)過兩點的直線斜率公式[k=y1-y2x1-x2]來求解.

2. 與截距有關(guān)的問題

例3 已知[x，y]滿足[x216+y225=1]，求[y-3x]的最大值和最小值.

解析 對于二元函數(shù)[y-3x]在限定條件[x216+y225=1]下求最值的問題，常采用構(gòu)造直線的截距的方法來求.

令[y-3x=b]，則[y=3x+b]在[y]軸上的截距最大或最小值即為所求.

由圖形知，當直線[y=3x+b]與橢圓[x216+y225=1]相切時，有最大截距和最小截距.

[y=3x+b，x216+y225=1?169x2+96bx+16b2-400=0.]

[由Δ=0得，b=±13.]

[故y-3x的最大值為13，]最小值為-13.

點評 二元函數(shù)[ax+by]在限定條件下求最值的問題可采用構(gòu)造直線求截距的方法來解決.

3. 與距離有關(guān)的問題

例3 已知雙曲線[Γ：y2a2-x2b2=1（a>b>0）]的上焦點為[F（0，c）（x>0）]，[M]是雙曲線下支上的一點，線段[MF]與圓[x2+y2-2c3y+a29=0]相切 于點[D]，且[MF=3DF]，則雙曲線[Γ]的漸進線方程為（ ）

A. [4x±y=0]

B. [x±4y=0]

C. [2x±y=0]

D. [x±2y=0]

解析 將圓的方程化簡[x2+（y-c3）2=b29]，作出圖形，圓心[C]到上焦點[F]的距離[CF=c-c3=2c3].

根據(jù)題意有[CFFF1=2c32c=DFMF]，

則[MF1=b]，[CD]與[MF1]平行，且[MF⊥MF1].

即[FM2+MF12=F1F2]，[4c2=（2a+b）2+b2]，化簡得，[b=2a].

答案 D

點評 涉及橢圓（或雙曲線）兩焦點距離的問題或焦點弦問題，可通過線段比例轉(zhuǎn)化為橢圓（或雙曲線）的定義.

數(shù)形結(jié)合在函數(shù)中的應(yīng)用

1. 利用數(shù)形結(jié)合解決與曲線交點有關(guān)的問題

例4 已知函數(shù)[y=x3-3x+c]的圖象 與[x]軸恰有兩個公共點，則[c=]（ ）

A.[-2]或2 B.[-9]或3

C.[-1]或1 D.[-3]或1

解析 若函數(shù)圖象與[x]軸有兩個不同的交點，則滿足其中一個為零即可. 因為三次函數(shù)的圖象與[x]軸恰有兩個公共點，結(jié)合該函數(shù)的圖象可知，只有在極大值點或者極小值點在[x]軸時滿足要求.

∵[y=x3-3x+c]，∴[y=3x2-3=3（x+1）（x-1）.]

∴當[x=±1]時，函數(shù)取得極值. 故[c=±2].

答案 A

點評 方程的解的問題可以轉(zhuǎn)化為曲線的交點問題，從而把代數(shù)與幾何有機地結(jié)合起來，使問題得到簡化. 合理地作出滿足題意的圖象是解決這類問題的前提.

2. 利用數(shù)形結(jié)合解決抽象函數(shù)問題

例5 設(shè)[f（x），g（x）]分別是定義在[R]上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，在區(qū)間[[a，b]（a0]，且[f（x）?g（x）]有最小值-5. 則函數(shù)[y=f（x）?g（x）]在區(qū)間[[-b，-a]]上（ ）

A. 增函數(shù)，有最小值-5

B. 減函數(shù)，有最小值-5

C. 增函數(shù)，有最大值5

D. 減函數(shù)，有最大值5

解析 [∵f（x）g（x）+f（x）g（x）>0][=f（x）?g（x）′>0].

∴[y=f（x）?g（x）]在區(qū)間[[a，b]（a

∵[f（x），g（x）]分別是定義在[R]上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，

∴[y=f（x）?g（x）]是奇函數(shù).

因此它的圖象關(guān)于原點對稱，作出示意圖易知，函數(shù)[y=f（x）?g（x）]在區(qū)間[[-b，-a]]上是增函數(shù)且有最大值5.

答案 C

點評 抽象函數(shù)問題是近幾年高考中經(jīng)常出現(xiàn)的問題，是高考中的難點. 利用數(shù)形結(jié)合能使我們找到解決此類問題的捷徑.

數(shù)形結(jié)合在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用

例6 已知復(fù)數(shù)[z]滿足[z-2-2i=2]，求[z]的模的范圍.

解析 由于[z-2-2i=z-（2+2i）]，有明顯的幾何意義，它表示復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)的點到復(fù)數(shù)[2+2i]對應(yīng)的點之間的距離.

因 此滿足[z-2-2i=2]的復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)點[Z]在以[（2，2）]為圓心、半徑為[2]的圓上；而[z]表示復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)的點[Z]到原點[O]的距離.

顯然當點[Z]、圓心、點[O]三點共線時，[z]取得最值，[zmin=2，zmax=32.]

[∴|z|的取值范圍為[2，32]].

點評 在求解一些關(guān)于復(fù)數(shù)的題目中，經(jīng)常利用復(fù)數(shù)的模的幾何意義來求解. [z]表示復(fù)數(shù)[z]對應(yīng)的點[Z]到原點[O]的距離；[z-z1]表示復(fù)數(shù)[z]和[z1]對應(yīng)的點[Z]和[Z1]兩點的距離；[z]=1表示單位圓[x2+y2=1]；[z-z1]=[z-z2]表示復(fù)數(shù)[z1]和[z2]兩點的連線的垂直平分線.