文︳張新春
同余式
文︳張新春
同余是初等數(shù)論的重要組成部分。同余的概念可以說來源于現(xiàn)實(shí)。現(xiàn)實(shí)生活中有很多周期性變化的事物。比如星期,以7天為一個周期,于是考慮10天后是星期幾,只需要考慮3天后是星期幾。再如生肖紀(jì)年,以12年為一個周期。2017年是雞年,再過12年還是雞年,而再過30年是什么年,就只要看過6年是什么年就行了。這里10和3對于7,30和6對于12,都具有某種相同的關(guān)系。把這種關(guān)系抽象出來,就是同余的概念。
給定一個正整數(shù)m,如果整數(shù)a和b被m除所得的余數(shù)相同,則稱a和b對于模m同余,記作a≡b(modm)。這里的mod是英文modulus的簡寫,讀作模,a≡b(modm)可讀作a和b對于模m同余。
整數(shù)a和b被m除所得的余數(shù)相同,就意味著a和b的差能被m整除。于是a≡b(modm)就意味著有整數(shù)k,使得a-b=km。
這可以理解為同余的另一種等價的定義方式。在以后證明同余的有關(guān)性質(zhì)時,用這個定義將更方便。
表示同余的符號“≡”由“數(shù)學(xué)王子”高斯發(fā)明。1801年,年僅24歲的高斯寫就著名的數(shù)論專著《算術(shù)研究》。在此書中,高斯用這個符號表示同余。他在書中寫道:“今后我將用符號≡表示兩個數(shù)的同余式,模則放在括弧內(nèi),如-16≡9(mod5);-7≡15(mod11)。”(徐品方,張紅.數(shù)學(xué)符號史[M].第 338頁.科學(xué)出版社,2006.9)
同余式具備如下三條基本性質(zhì)。
1.反身性,a≡a(modm);
2.對稱性,若 a≡b(modm),則 b≡a(modm);
3.傳遞性,若 a≡b(modm),b≡c(modm),則a≡c(modm)。
反身性與對稱性是非常明顯的,我們只證明傳遞性。
事實(shí)上,由 a≡b(modm)知 a-b=km,由 b≡c(modm)知 b-c=lm。
上述兩式相加,有 a-c=(k+l)m。
這就意味著a≡c(modm)。傳遞性得證。
以上性質(zhì)都與等式的性質(zhì)完全類似。此外,同余式還具有如下運(yùn)算性質(zhì)。
1.若 a≡b(modm),c≡d(modm),則 a+c≡b+d(modm)。
2.若 a≡b(modm),c≡d(modm),則 a-c≡bd(modm)。
3.若 a≡b(modm),c≡d(modm),則 ac≡bd(modm)。特別地,若 a≡b(modm),c是整數(shù),則ac≡bc(modm)。
4.若 a≡b(modm),k>0,則 ak≡bk(modmk)。
5.若 a≡b(modm),d 是 a,b 和 m 的公因數(shù),
6.若 a≡b(modm),d 是 m 的因數(shù),則 a≡b(modd)。
7.若 ac≡bc(modm),且(c,m)=1(即 c,m 互質(zhì)),則 a≡b(modd)。
8.若a≡b(modm),則an≡bn(modm)。
以上性質(zhì)的證明不難,只需運(yùn)用同余的定義即可。而且,這些性質(zhì)也與等式的一些性質(zhì)極為相似。需要注意的是,性質(zhì)7與通常的等式性質(zhì)不一樣,同余式的兩邊并不是可以任意除以同一個數(shù)的,除非這個數(shù)與?;ベ|(zhì)。
作為同余的一個應(yīng)用,我們來討論一下一種“棄九法”的檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的方法。比如,給定一個加法算式2313+5829+7043=15175,我們需要檢驗(yàn)這個等式是否成立,可以先將加數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字相加,則有2+3+1+3=9,5+8+2+9=24,7+0+4+3=14。這些和中還有非一位數(shù),繼續(xù)作類似的加法,有2+4=6,1+4=5。
再將每個加數(shù)通過這種處理后得到的數(shù)加起來,有9+6+5=20。繼續(xù)作加法,得2+0=2。這樣最終得到一個一位數(shù),我們把這個數(shù)作為加數(shù)的檢驗(yàn)數(shù)。
用同樣的方法,我們計(jì)算和的檢驗(yàn)數(shù),有1+5+1+7+5=19。用相同的方法再計(jì)算,有1+9=10,1+0=1。得到和的檢驗(yàn)數(shù)為1,與加數(shù)的檢驗(yàn)數(shù)不同,因此可以判斷原加法算式是錯誤的。值得注意的是,只有當(dāng)兩個檢驗(yàn)數(shù)不相等時,才能應(yīng)用這種方法判斷計(jì)算是否有誤。而當(dāng)檢驗(yàn)數(shù)相等時,這種方法得不出什么結(jié)論。比如10+11=30,10+11=21。這兩個算式應(yīng)用“棄九法”會發(fā)現(xiàn)檢驗(yàn)數(shù)相等,無法做出判斷。事實(shí)上第一個算式是錯誤的,而第二個算式是正確的。
我們來說明這種方法為何是有效的。
首先,我們有如下結(jié)論:10n≡1(modm)。
再來看算式:2313+5829+7043=15175。
2+3+1+3=9,于是 2313≡9(mod9),而 9≡0(mod9),從而 2313≡0(mod9);
同樣的道理,有 5829≡6(mod9),7043≡5(mod9)。
這樣 2313+5829+7043≡0+6+5(mod9),而 0+6+5=11≡2(mod9),所以 2313+5829+7043≡2(mod9)。
但 15175≡1+5+1+7+5(mod9),而1+5+1+7+5=19≡1(mod9),所以 15175≡1(mod9)。于是 2313+5829+7043≠15175。(從上面兩個同余式可以看出,該式左右兩邊除以9的余數(shù)都不相同,顯然不可能相等)
這種方法同樣可以用來檢驗(yàn)乘法。比如,檢驗(yàn)271×828=224288。因?yàn)?271≡1(mod9),828≡0(mod9),所以 271×828≡0(mod9)。但 224288≡8(mod9),所以 271×828≠224288。
以下是一個與“棄九法”原理相關(guān)的數(shù)學(xué)游戲。這個游戲由甲、乙兩個同學(xué)玩。具體程序如下:
甲任意想一個數(shù)(比如1589),為了方便,要求各個數(shù)位上的數(shù)不相同,也不包含數(shù)字“0”。再任意把這個數(shù)重新排列得到一個新數(shù)(如5891),然后將兩個數(shù)相減(大數(shù)減小數(shù)),這里是5891-1589=4302。甲再在4302中去掉一個數(shù)字,比如3,這時得到一個數(shù)402。甲做的以上所有工作都不用告訴乙,只需把最后的數(shù)402告訴乙。乙就能猜出甲最后去掉的數(shù)字是3。
游戲的原理是這樣的。
因此,只要甲把去掉一個數(shù)字后的數(shù)告訴乙,乙若發(fā)現(xiàn)這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和不是9的倍數(shù),就可以推算出甲去掉的數(shù)字是多少了。事實(shí)上,乙只需考慮這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和再加多少就是9的倍數(shù)即可,需要加上的數(shù)即是甲去掉的數(shù)。在這上面的游戲中,甲最后告訴乙的數(shù)是402,而4+0+2=6,不是9的倍數(shù),需增加3才得到9的倍數(shù),因此甲去掉的數(shù)是3。當(dāng)然,如果甲給乙的最后的數(shù)是9的倍數(shù),則甲去掉的數(shù)字可能是0,也可能是9。乙無法判斷到底是0還是9。比如上面的游戲中,若甲去掉0而告訴乙是432,則乙只能說甲去掉的數(shù)字可能是0,也可能是9。
數(shù)學(xué)教育的真功夫是對數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育的把握,唯此才能成就好的數(shù)學(xué)課堂。湖南數(shù)學(xué)教師的老朋友,《湖南教育》的申建春老師開通了微信公眾號“與數(shù)學(xué)老師談心”,請關(guān)注。