袁曉琳

摘 要 中學(xué)數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需圍繞“為什么要教”和“如何有效地教”兩個(gè)問題展開，而數(shù)學(xué)史能很好地回答這兩個(gè)問題。從數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展角度重新解讀教材內(nèi)容，利用“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”和“再創(chuàng)造”的教學(xué)原則組織教學(xué)過(guò)程，有助于說(shuō)明教學(xué)內(nèi)容的重要性和促進(jìn)課堂教學(xué)的有效性。

關(guān)鍵詞 教學(xué)設(shè)計(jì) 問題驅(qū)動(dòng) 數(shù)學(xué)史 再創(chuàng)造

數(shù)學(xué)史家莫里斯·克萊因（M.Kline）指出“數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南”，因?yàn)閭€(gè)體知識(shí)的發(fā)生過(guò)程遵循人類知識(shí)的發(fā)展過(guò)程[1]。弗賴登塔爾（H.Freudenthal）認(rèn)為“年輕的學(xué)習(xí)者重蹈人類的學(xué)習(xí)過(guò)程，盡管方式改變了”，同時(shí)也指出“我們不應(yīng)該完全遵循發(fā)明者的歷史足跡，而是經(jīng)過(guò)改良的有更好引導(dǎo)的歷史過(guò)程”[2]。在此基礎(chǔ)上他提出了兩個(gè)重要的數(shù)學(xué)教學(xué)原則——“現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)”和“再創(chuàng)造”。即應(yīng)依據(jù)數(shù)學(xué)史和學(xué)生實(shí)際對(duì)教材內(nèi)容重組再創(chuàng)造，設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴}情境讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程和體驗(yàn)所涉及的思想方法。

數(shù)學(xué)史是一種文化，記載著數(shù)學(xué)思想的發(fā)生與形成過(guò)程。初等數(shù)學(xué)內(nèi)容大都是為解決某個(gè)實(shí)際問題在歷史長(zhǎng)河中慢慢形成的，因此，了解數(shù)學(xué)史有助于教師更好地理解相關(guān)教學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生的背景及其在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用。這既能回答“為什么要教”，又能解決“如何有效地教”，為情景創(chuàng)設(shè)提供依據(jù)和參考。該如何有效地運(yùn)用數(shù)學(xué)史進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)？下面嘗試對(duì)高中“正弦定理”和“余弦定理”的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分析，提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

一、對(duì)“正、余弦定理”教材編寫的思考

以人教版教材必修5為例，“正弦定理”和“余弦定理”的教學(xué)內(nèi)容獨(dú)立介紹，并以不同的方式引入[3]。

（1）已知兩邊及其所夾的角；（2）已知三邊。最后還探討了余弦定理和勾股定理的關(guān)系。

一節(jié)課的開端非常重要，教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)常會(huì)審視教材：為什么要這樣引入和展開新知？有沒有更好的處理方式？首先一個(gè)疑慮是，教材對(duì)兩個(gè)定理的引入是否有些突兀？為什么會(huì)想到對(duì)直角三角形兩個(gè)銳角的正弦作變形得到特殊情形的正弦定理？為什么會(huì)考慮到用向量的數(shù)量積處理三角形的邊長(zhǎng)問題？教材沒能很好地展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，更多的是在已經(jīng)知道結(jié)論的情況下反過(guò)來(lái)尋找各種驗(yàn)證和證明方法。此外，正弦定理和余弦定理同是對(duì)于三角形邊角關(guān)系的探討結(jié)果，在教學(xué)中是否可以通過(guò)同一個(gè)生活或數(shù)學(xué)情境引入以體現(xiàn)課堂教學(xué)的高效性，同時(shí)體現(xiàn)知識(shí)間一脈相承的關(guān)系？

二、對(duì)常見教學(xué)設(shè)計(jì)的思考

從查找的相關(guān)文獻(xiàn)看，教學(xué)設(shè)計(jì)思路都能體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)的理念，注重?cái)?shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，以探究推動(dòng)教學(xué)，強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)[4-6]。以正弦定理為例，教學(xué)設(shè)計(jì)基本遵循：1.創(chuàng)設(shè)一個(gè)現(xiàn)實(shí)的問題情境體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生和形成過(guò)程；2.啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象為數(shù)學(xué)問題；3.新問題與學(xué)生已有的知識(shí)儲(chǔ)備形成認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生嘗試從特殊的直角三角形入手猜想結(jié)論再推廣至一般三角形并證明；4.利用正弦定理去解決2中所提出的問題[5]。

但上面所創(chuàng)設(shè)的情景較為繁雜，需花不少的時(shí)間完成1和2環(huán)節(jié)才能進(jìn)入到新知的探索。且將現(xiàn)實(shí)情景抽象為數(shù)學(xué)問題后就放置一邊，然后脫離情境探討正弦定理后才回頭解決提出的問題。這樣的情境設(shè)計(jì)忽視了情境創(chuàng)設(shè)的目的性和實(shí)效性。從認(rèn)知心理學(xué)的角度看，原來(lái)活動(dòng)的吸引力和新活動(dòng)的特點(diǎn)是影響注意轉(zhuǎn)移的主要因素[7]。如果創(chuàng)設(shè)的情境對(duì)學(xué)生有很大的吸引力且提出的問題學(xué)生自信能找到解決的辦法，那教師就很難轉(zhuǎn)移學(xué)生的學(xué)習(xí)注意，引到下一個(gè)任務(wù)的學(xué)習(xí)，從而導(dǎo)致教學(xué)設(shè)計(jì)環(huán)節(jié)的失敗。

三、從數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展看平面中的“正、余弦定理”

遠(yuǎn)在公元前3000年，人們已經(jīng)在實(shí)際測(cè)量中發(fā)現(xiàn)三邊比例為3∶4∶5的三角形一定是直角三角形，后來(lái)發(fā)展為現(xiàn)在所熟知的畢達(dá)哥拉斯定理或稱勾股定理。勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情況，但兩個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)完全在不同的歷史時(shí)代。歐幾里得（Euclid）最早給出了正弦與余弦的定義，提供了邊與角的關(guān)系。歷法和航海的發(fā)展要求人們對(duì)球面進(jìn)行研究，所以從歷史發(fā)展順序看，球面三角的發(fā)展先于平面三角[8]。直到1450年后，由于平面三角在測(cè)量中的重要性，它才被突顯出來(lái)受到重視。韋達(dá)（Vieta）在1593年給出了普遍采用的平面三角形余弦定理公式：=。而平面三角形的正弦定理由波斯的歷史學(xué)家阿爾比魯尼（al-B？觘rūn？觘）給出并作了證明，后由雷格蒙塔努斯（Regiomontanus）在1463年到1464年寫的《論三角》中對(duì)平面三角形正弦定理和球面三角形正弦定理加以清晰的表達(dá)。隨著數(shù)學(xué)自身的發(fā)展，平面中的正、余弦定理被推廣到n維歐氏空間中，得到n維正、余弦定理[9]。

從歷史的發(fā)展看，由于實(shí)際測(cè)量的需要在討論三角形邊角問題時(shí)產(chǎn)生了正弦定理和余弦定理。而由于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，數(shù)學(xué)家將這兩個(gè)結(jié)論推廣到了n維空間。這為教學(xué)的開展和探究提供了依據(jù)。

四、數(shù)學(xué)史視角下“正弦定理”和“正弦定理”的教學(xué)設(shè)想

根據(jù)教材內(nèi)容的安排，正弦定理（第1課時(shí)）和余弦定理（第1課時(shí)）的教學(xué)目標(biāo)主要是：掌握定理的公式結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算；在探究發(fā)現(xiàn)定理及其證明的過(guò)程中豐富知識(shí)間的聯(lián)系，體會(huì)定理的應(yīng)用價(jià)值和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。由于正、余弦定理的內(nèi)在聯(lián)系，可利用同一個(gè)問題情景引入新課，使用相似的探究方式展開教學(xué)。目的是體現(xiàn)教學(xué)的連貫性，提高課堂的有效性和高效性。據(jù)此下面給出正弦定理（第1課時(shí)）的教學(xué)思路。

1.回顧直角三角形中的邊與角關(guān)系

復(fù)習(xí)勾股定理的內(nèi)容、正弦和余弦的定義，以及它們的作用。

【意圖】為后面提出問題引入新知做鋪墊，緊扣勾股定理進(jìn)行新知探究。

2.設(shè)置問題、引發(fā)思考

三角形按角分類，除直角三角形還有銳角和鈍角三角形。在生活中更多涉及到后面兩類三角形的邊長(zhǎng)、角度及面積的測(cè)量和計(jì)算。而面積由邊長(zhǎng)和角度確定，所以對(duì)一般三角形邊角關(guān)系的討論就顯得尤為重要。endprint

問題：某市在江的兩側(cè)A，B處有一座跨江大橋，橋長(zhǎng)AB已知。為緩解交通壓力，市政公司要在A處及與B同側(cè)的C處之間規(guī)劃一條過(guò)江隧道。為估算隧道的造價(jià)成本，工作人員用測(cè)角儀測(cè)出了∠ABC，∠ACB的度數(shù)。由此能確定AC的距離嗎？

將上述的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題：如圖3，∠A，∠B，∠C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c.若∠B，∠C的度數(shù)和邊長(zhǎng)c的長(zhǎng)度已知，如何求邊長(zhǎng)b？

【意圖】通過(guò)創(chuàng)設(shè)實(shí)際情境，讓學(xué)生體會(huì)到新知識(shí)與生活的聯(lián)系及應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)求知欲；引導(dǎo)學(xué)生將現(xiàn)實(shí)情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型與問題，通過(guò)“橫向數(shù)學(xué)化”[2]培養(yǎng)學(xué)生簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)建模思想。

3.解決問題、探究定理

啟發(fā)提問1：大家已經(jīng)知道直角三角形中的邊角關(guān)系，能否利用它們來(lái)解決這個(gè)問題？假定圖3是銳角三角形，能否將其轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)處理呢？

【意圖】為了解決本節(jié)課的核心問題，通過(guò)啟發(fā)提問學(xué)生自然地想到作高引入輔助線構(gòu)造直角三角形，解決了為什么要作和如何作輔助線的難點(diǎn)。同時(shí)也引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用和體驗(yàn)化未知為已知、化陌生為熟悉的化歸思想，以及轉(zhuǎn)化和“一般—特殊”的數(shù)學(xué)思想。

在探究過(guò)程中，教師需引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范表述出正、余弦定理，并引領(lǐng)他們體會(huì)所涉及的數(shù)學(xué)思想、欣賞蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)美。

4.聯(lián)系舊知，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)

啟發(fā)提問2：結(jié)合之前學(xué)過(guò)的知識(shí)，還有沒有其它的方法證明正弦定理呢？（學(xué)生可能運(yùn)用向量法、等積法或建立坐標(biāo)系等方法[4-6]。）

【意圖】在已知定理結(jié)論的情況下，啟發(fā)學(xué)生從不同的角度去證明定理，尋找與已有知識(shí)間的聯(lián)系，有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力和反思能力。且新知必須與學(xué)生已有的舊知緊密聯(lián)系形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能使新知識(shí)得以鞏固和運(yùn)用

5.鞏固練習(xí)、小結(jié)

通過(guò)簡(jiǎn)單的練習(xí)加深對(duì)定理的理解和運(yùn)用；明確正弦定理在三角學(xué)中的重要地位及其在解三角形問題中的作用；回顧定理的證明方法和涉及的數(shù)學(xué)思想。

6.課后引申

思考：在平面中，從直角三角形出發(fā)轉(zhuǎn)而對(duì)一般三角形的探討得到正弦定理。那么，從平面類比到空間，在空間多面體中（以斜三棱柱為例）是否也存在類似的結(jié)論呢？

三角形中邊與角的關(guān)系，類比到三棱柱中則對(duì)應(yīng)于面與二面角的關(guān)系.如圖4，斜三棱柱ABC-DEF中，記側(cè)面BEFC，ADFC，ADEB的面積分別為S1，S2，S3。作三棱柱的直截面GHI，記的三個(gè)內(nèi)角分別為∠1，∠2，∠3。容易得到∠1，∠2，∠3分別是所在兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成的二面角的平面角。

【意圖】將正、余弦定理推廣到三維空間，目的是為開闊少數(shù)學(xué)有余力學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，體會(huì)到類比思想在數(shù)學(xué)研究中的重要作用。解決這個(gè)問題又需利用新學(xué)的正、余弦定理，再次用到轉(zhuǎn)化的思想。

數(shù)學(xué)教材給教學(xué)提供了一個(gè)藍(lán)本，教師需結(jié)合數(shù)學(xué)史對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行再創(chuàng)造。讓學(xué)生在探究學(xué)習(xí)中親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的再發(fā)現(xiàn)過(guò)程，同時(shí)也為學(xué)有余力的學(xué)生提供更多的思考。數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是讓學(xué)生習(xí)得具體知識(shí)的同時(shí)掌握承載在知識(shí)之上的數(shù)學(xué)思想方法和解決問題的策略，所以教學(xué)過(guò)程中應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的滲透，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地”思考。

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【責(zé)任編輯 郭振玲】endprint