呂 滌 張毅凡

(浙江省紹興市嵊州中學(xué)，浙江 紹興 312400)

例析超越方程參數(shù)范圍的普適解法

呂 滌 張毅凡

(浙江省紹興市嵊州中學(xué)，浙江 紹興 312400)

通過分析“虛設(shè)零點(diǎn)”法在求超越方程參數(shù)范圍中的應(yīng)用與效果，并與傳統(tǒng)方法進(jìn)行比較，給出了解決導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)難求問題的新思路，為求超越方程參數(shù)范圍提供了新方法.

函數(shù)；導(dǎo)數(shù)；超越方程；參數(shù)；虛設(shè)零點(diǎn)

作為初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)始終是高考的熱點(diǎn)，近年來多次作為壓軸題出現(xiàn)，且往往含有參數(shù)，并需要求解其范圍.但對于許多函數(shù)，求導(dǎo)后導(dǎo)函數(shù)形式往往呈現(xiàn)超越式，導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)求不出、判不定，從而使解題過程陷入困境.筆者試圖結(jié)合例題分析來探討解決這類問題的方法.

一、例題分析

例1 已知g(x)=x2+mx，h(x)=ex-1 ，若在(0,+∞)上至少存在一點(diǎn)x0，使得g(x0)gt;f(x0)成立，求m的取值范圍.

解析方法一：問題等價(jià)于[g(x)-h(x)]maxgt;0，令f(x)=g(x)-h(x)=x2+mx-ex+1，

點(diǎn)評這種做法有效規(guī)避了參數(shù)討論，大大簡化了解題過程，設(shè)零點(diǎn)而不求，以零點(diǎn)為媒介將參數(shù)與另一個函數(shù)聯(lián)系起來，通過限定零點(diǎn)范圍從而快速求出參數(shù)范圍.

例2 已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+lnx，g(x)=ex-x-1，若對?x1∈(0,+∞),x2∈R，不等式f(x1)≤g(x2)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

點(diǎn)評這是一個導(dǎo)函數(shù)有兩個零點(diǎn)的超越方程，其中一個為常數(shù)，另一個與參數(shù)有關(guān)，此時(shí)就需要考慮兩個零點(diǎn)是否在定義域內(nèi).而事實(shí)上，對于本題的函數(shù)，其定義域是“開放型”的，即x∈(0,+∞)，因此必定只有一個零點(diǎn)在定義域內(nèi)，否則有x→+∞時(shí)f(x)→+∞，與f(x)≤0矛盾.

例3 (2015全國數(shù)學(xué)高考文科第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)個數(shù)；

點(diǎn)評這是另一種形式的整體代換，根據(jù)題目中不等號右邊式子的特點(diǎn)，將x0用a代換，極大地簡化了解題過程.

二、總結(jié)

一般地，對于求含參數(shù)的超越方程參數(shù)范圍的題目，可以用以下方法處理：

1.轉(zhuǎn)化問題，將題目改寫為f(x)≤p或f(x)≥q的形式；

2.求導(dǎo)，并令f′(x0)=0，得到“零點(diǎn)多項(xiàng)式”.

1)若只有一個零點(diǎn)，則這個零點(diǎn)必定與參數(shù)有關(guān).

①用零點(diǎn)多項(xiàng)式表示參數(shù)；

②將f(x0)中的參數(shù)用零點(diǎn)多項(xiàng)式代換，解得滿足題設(shè)要求的x0范圍；

③用求得的x0范圍解得零點(diǎn)多項(xiàng)式的范圍，即為參數(shù)的范圍.

2)若有兩個零點(diǎn)，一個與參數(shù)有關(guān)，一個為常數(shù).

①如果該函數(shù)的定義域是“開放型”的，如(m,+∞)、(-∞,n)、R，則必定只有一個零點(diǎn)在定義域內(nèi)，否則有x→∞時(shí)，f(x)→∞，與題設(shè)條件(f(x)≤p或f(x)≥q)矛盾.

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，得到導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)是對函數(shù)性質(zhì)研究的重要前提.而在導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)無法直接得到或不能求得精確值時(shí)，運(yùn)用本文所涉及的思想及方法，可以更好地發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的功能，充分利用導(dǎo)數(shù)的價(jià)值，更巧妙地解決問題.

[1]閆偉. 高中數(shù)學(xué)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)研究[D].長春：東北師范大學(xué),2015.

[2]冷孝勇. 對高中數(shù)學(xué)等價(jià)變形中化繁為簡方法的探討[J]. 西藏教育,2012(11):25-26.

[3]石向陽. 破解導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)不可求的“組合拳”[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究, 2016，34(高中版11):9.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

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1008-0333(2017)25-0054-02

2017-07-01

呂滌(1999.2-)， 女， 南京農(nóng)業(yè)大學(xué)植物保護(hù)學(xué)院植物保護(hù)專業(yè) ，在校生.

張毅凡(1998.8-)， 男， 浙江省嵊州中學(xué)，在校生.