■安徽省宣城中學(xué)高二(24)班 唐 睿

探究多項開式的規(guī)律

■安徽省宣城中學(xué)高二(24)班 唐 睿

當(dāng)我們將多項式展開時,會發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律,比如:

(1×x+1×y)2=1×x2+2xy+1×y2;

1×101+1=11,1×102+2×101+1×100=121,112=121;

(1×x+2×y)2=1×x2+4xy+4y2;

1×101+2=12,1×102+4×101+4×100=144,122=144;

(1×x+3y)2=1×x2+6xy+9y2;

1×101+3=13,1×102+6×101+9×100=169,132=169。

再往下推,就需要進位:

(1×x+4y)2=1×x2+8xy+16y2;

1×101+4=14,1×102+8×101+16×100=196,142=196。

我們還可以進一步推廣:

1×102+4=104,1×104+8×102+16×100=10816,1042=10816。

如果次數(shù)不是二次,還有上面規(guī)律嗎?

(1×x+1×y)3=1×x3+3x2y+3xy2+1×y3。

1×101+1=11,1×103+3×102+3×101+1×100=1331,113=1331。

(1×x+2×y)3=1×x3+6x2y+12xy2+8y3。

1×101+2=12,1×103+6×102+12×101+8×100=1728,123=1728。

猜想數(shù)字是任意值都有上面的規(guī)律,下面給出證明過程:

證法一:(ax+by)n的展開式中,滿足:

Tk+1=Ckn(ax)k(by)n-k=Cknakbn-k·xkyn-k。

這個規(guī)律還能繼續(xù)推廣:

項數(shù)為2也滿足;項數(shù)為2個以上需要將多項式看成一個整體,最終變?yōu)?項才滿足。其實,不一定非要乘以10的多少次方,乘以任意的數(shù)都可以,不過并沒有太大的意義。

多項式還有另一個規(guī)律:

(1×x+4y)2=1×x2+8xy+16y2。

142=196;1+8+1+6=16;

1+9+6=16。

(1×x+1×y+1×z)2=1×x2+1×y2+1×z2+2xy+2xz+2yz;

1112=12321,1+1+1+2+2+2=9;1+2+3+2+1=9。

(ax+by+…)n也滿足上面的關(guān)系式。

(責(zé)任編輯 徐利杰)