湖南省會(huì)同縣第一中學(xué)(418300) 于先金 黃為公

由一道高考不等式證明題引發(fā)的思考

湖南省會(huì)同縣第一中學(xué)(418300) 于先金 黃為公

1.試題呈現(xiàn)

2017 年高考全國II卷文、理科第23題:

已知a＞0,b＞0,a3+b3=2,證明:

(I)(a+b)(a5+b5)≥4;

(II)a+b≤2.

這道試題難度不大,但值得我們?nèi)テ肺?通過對(duì)這道試題的探究和反思,得到了一些有意義的結(jié)論:一是兩個(gè)不等式的多種證法,可謂精彩呈現(xiàn);二是兩個(gè)不等式的變式與推廣,使我們對(duì)問題認(rèn)識(shí)得更深刻;三是關(guān)于解題教學(xué)的一點(diǎn)思考.

2.第(I)問的證法探究

證法1(展開配方,簡(jiǎn)單明了)因?yàn)閍＞0,b＞0,a3+b3=2,所以

所以(a+b)(a5+b5)≥4.

證法2(柯西登場(chǎng),馬到成功)

評(píng)注 對(duì)第(I)問不等式的證明,2017年高考題匯編解析的各種資料,基本上是采用上述兩種證法之一,可謂是通法.

證法3(執(zhí)果索因,柳暗花明)

要證(a+b)(a5+b5)≥4,因?yàn)閍3+b3=2,所以只需證(a+b)(a5+b5)≥(a3+b3)2,展開得a6+ab5+a5b+b6≥a6+2a3b3+b6,只需證ab5+a5b≥2a3b3.

又a＞0,b＞0故只需證a4+b4≥2a2b2,即證(a2?b2)2≥0上式顯然成立,故原不等式成立.

證法4(均值換元,別出心裁)因?yàn)閍＞0,b＞0,a3+b3=2,不妨設(shè)a≤b,所以可令a3=1?x,b3=1+x,

其中0≤x＜1.于是

所以(a+b)(a5+b5)≥4.

當(dāng)a=b時(shí),f(x)=b為常數(shù)函數(shù);當(dāng)a＞b時(shí),有a?b＞0,是減函數(shù),從而是增函數(shù),所以f(x)是增函數(shù);當(dāng)a＜b時(shí),有a?b＜0,是增函數(shù),從而是增函數(shù),所以f(x)是增函數(shù).

綜上可知,當(dāng)x1＜x2時(shí),恒有f(x1)≤f(x2),等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立.所以有f(4)≥f(3)≥f(2)≥f(1),即

所以(a+b)(a5+b5)≥(a2+b2)(a4+b4)≥(a3+b3)2=4.

3.第(I)問的變式和推廣探究

變式1(改變結(jié)論)已知a＞0,b＞0,a3+b3=2.

證明 (1)(a2+b2)(a5+b5)≥2(a4+b4);(2)2(a+b)≥(a2+b2)2;(3)(a2+b2)(a4+b4)≥4等.

變式2(改變條件)已知a＞0,b＞0,a2+b2=2

證明 (1)(a+b)(a3+b3)≥4;(2)(a3+b3)(a5+b5)≥4等.

推廣 若a＞0,b＞0,且m＞n則(am+1+bm+1)(an+bn)≥(an+1+bn+1)(am+bm)

變式與推廣,由證法5中函數(shù)f(x)的單調(diào)易證,在此從略.

4.第(II)問的證法探究

4.1 用綜合法證明

證法1 由因?qū)Ч捣趴s由a3+b3= 2得(a+b)(a2?ab+b2)=2,從而(a+b)[(a+b)2?3ab]=2.

所以(a+b)3≤8,故a+b≤2.

證法2(立方公式均值放縮)

所以(a+b)3≤8,故a+b≤2.

評(píng)注 對(duì)第(II)問的證明,這兩種方法也是通法.證法3(由因?qū)Ч?順流而下)由已知可得從而ab≤1.所以

所以(a+b)3?(a+b)?2≤0,(a+b?2)(a+b+1)2≤0,

所以a+b≤2.

證法4(構(gòu)建不等,一氣呵成)因?yàn)?/p>

所以2(a3+b3)≥(a+b)(a2+b2).所以即(a+b)3≤8,故a+b≤2.

4.2 用分析法證明

證法 5(執(zhí)果索因,逆流而上)要證a+b≤2,由于a＞0,b＞0,所以只需證(a+b)3≤8,展開得a3+b3+3a2b+3ab2≤8,只需證a2b+ab2≤2=a3+b3,即a2(a?b)+b2(b?a)≥0,因此只需證(a+b)(a?b)2≥0.這個(gè)不等式顯然成立,故原不等式成立.

4.3 用比較法證明

證法6(作差比較,因式分解)

所以(a+b)3≤23,故a+b＜2.

4.4 用構(gòu)造法證明

證法7 (相等入手,構(gòu)造三元均值不等式)由結(jié)論可知,當(dāng)a=b=1時(shí)等號(hào)成立,又a＞0,b＞0,得

同理b3+1+1≥3b.兩個(gè)不等式相加得,a3+b3+4≥3(a+b),所以a+b＜2.

證法8(構(gòu)造等差數(shù)列,增設(shè)大小)由a3+b3=2知,a3,1,b3成等差數(shù)列,不妨設(shè)a≤b,所以,公差d=1?a3=b3?1≥0.所以(1?a)(1+a+a2)=(b?1)(b2+b+1).因?yàn)?＜a≤b,所以1+a+a2≤1+b+b2,所以1?a≥b?1即a+b≤2.

證法9(構(gòu)造一元二次方程,用判別式)設(shè)a,b是方程的兩個(gè)根,則a+b=m＞0,ab=n＞0.由a3+b3=(a+b)[(a+b)2?3ab]得m(m2?3n)=2,所以由?=m2?4n≥0,得從而m3≤8,即m≤2,故a+b≤2.

評(píng)注 由m＞0可得m3?2＞0,即亦即綜上可得

所以(a+b)3≤8從而a+b≤2.

評(píng)注 柯西不等式與向量法實(shí)質(zhì)是一樣的.

證法 11(確定主元,構(gòu)造函數(shù))設(shè)x=a,則b=

證法12(構(gòu)造函數(shù),利用凸性)構(gòu)造函數(shù)f(x)=x3,顯然f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是一個(gè)下凸函數(shù),所以對(duì)a＞0,b＞0,有

證法 13(構(gòu)造函數(shù),利用零點(diǎn))令x=a+b,由a3+b3=2,得a3+(x?a)3=2,即x3?3ax2+3a2x?2=0.令

則f′(x)=3x2?6ax+3a2=3(x?a)2≥0,所以f(x)在區(qū)間 (0,+∞)上單調(diào)遞增.f(0)=?2＜0,f(2)=6a2?12a+6=6(a?1)2≥0,所以f(x)在區(qū)間(0,2]上有唯一零點(diǎn)x0,即x0＜2.故a+b≤2.

4.5 用換元法證明

證法14(三角換元,煥然一新)設(shè)a+b=m＞0,故可設(shè)

所以

所以m3≤8,m≤2.又由上顯然有2＜m3,即m＞故

證法 15(均值換元,利用導(dǎo)數(shù))由a＞0,b＞0,a3+b3=2.不妨設(shè)a≤b,可設(shè)a3=1?x,b3=1+x,則其中0≤x＜1.令

4.6 用反證法證明

證法16(反設(shè)結(jié)論,導(dǎo)出矛盾)假設(shè)a+b≤2不成立,則有

因?yàn)?(b?1)2+2≥2,所以a3+b3＞2,這與已知條件a3+b3=2矛盾,所以原不等式成立.

評(píng)注 湘教版高中數(shù)學(xué)選修4-5《不等式選講》第22頁例1:設(shè)a3+b3=2,求證:a+b=2.證法16就是教材中例題的證明,并由此可知,沒有條件a＞0,b＞0這道高考題的第(II)問也成立,也正因?yàn)樵黾恿诉@一條件,證明才更加豐富多彩.可謂源于教材,高于教材.

關(guān)于第(II)問的證明,還有不少的綜合法、構(gòu)造法、函數(shù)法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、反證法等,限于篇幅,從略.

5.第(II)問的變式探究

變式1 (弱化條件)若a,b∈R,a3+b3=2,求證:a+b≤2.

變式2(改變結(jié)論)若a＞0,b＞0,a3+b3=2,求證:ab≤1.

變式3(改變條件)若a＞0,b＞0,a2+b2=2,求證:a+b≤2,ab≤1.

變式4 (推廣)若a＞0,b＞0,n≥2,n∈N,an+bn=2,求證:a+b≤2,ab≤1.

變式5 (改變條件和結(jié)論)若a＞0,b＞0,a+b=2,n≥2,n∈N,求證:an+bn≥2

變式6 (推廣)若a,b,c∈R+,a+b+c=3,求證:a3+b3+c3≥3.

變式7(推廣)若a,b,c∈R+,a3+b3+c3=3,求證:a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

變式8 (再推廣)若a,b,c∈R+,n≥2,n∈N,an+bn+cn=3,求證:a+b+c≤3,ab+bc+ca≤3,abc≤1.

證明 構(gòu)造函數(shù)f(x)=xn(n≥2,n∈N),顯然f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是一個(gè)下凸函數(shù),所以對(duì)a,b,c∈R+有

即

由an+bn+cn=3,可得a+b+c≤3.由(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca)及a+b+c≤3,可得ab+bc+ca≤3.再由

可得abc≤1.

變式1-7的證明不難,在此從略.

6.一點(diǎn)思考

高考主要考查通性通法,平常解題教學(xué)的重頭戲也是通性通法的教學(xué),但若長久如此,則會(huì)約束甚至扼殺學(xué)生的創(chuàng)新思維,而探究和創(chuàng)新正是新課改所追求的.因此,在解題教學(xué)中,教師首先要讓學(xué)生獨(dú)立思考、嘗試解答,然后通過展示和交流,在不同的解法中指導(dǎo)學(xué)生分析哪些是通法,哪些是只適合本題條件的特技,當(dāng)條件或結(jié)論改變時(shí),教法是否也會(huì)改變,要讓學(xué)生能夠針對(duì)“題情”探索出適合自己的解題思路和方法.因此,在指導(dǎo)學(xué)生分析試題時(shí),要充分挖掘試題的信息,充分聯(lián)系所學(xué)的知識(shí),改善習(xí)慣思維,訓(xùn)練思維的廣闊性、靈活性、深刻性,升華解決問題的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí),提升學(xué)生的創(chuàng)新能力.