廣東省東莞市東莞中學(xué)(523005) 于濤

2017年全國(guó)卷III理科第12題的解法探究

廣東省東莞市東莞中學(xué)(523005) 于濤

高考試題凝聚了命題專家的集體智慧,具有權(quán)威性、示范性、借鑒性,尤其是壓軸題的設(shè)計(jì)力求情境熟悉,知識(shí)綜合,方法靈活.研究高考試題能促進(jìn)教學(xué),推動(dòng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí),在發(fā)散思維的過(guò)程中,有時(shí)也會(huì)發(fā)現(xiàn)意想不到的結(jié)論.本文對(duì)2017年全國(guó)卷III理科第12題進(jìn)行了深入的研究,在此與讀者分享.

1.高考真題,情景再現(xiàn)

題目 (2017年全國(guó)卷III理科第12題)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若,則λ+μ的最大值為( )

本題以向量與解析幾何為背景,以二元函數(shù)的最值問題為設(shè)問,將幾何、代數(shù)、函數(shù)融為一體,力求考查學(xué)生綜合運(yùn)用解析幾何、線性規(guī)劃、三角換元、平面向量、平面幾何等知識(shí)的能力.解題時(shí),要準(zhǔn)確把握題目設(shè)問,選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題.

2.多維思考,解法研究

策略一 (解析幾何法) 對(duì)于求二元函數(shù)的最值問題,可以用直角坐標(biāo)系輔助,找到二元滿足的等量關(guān)系,再根據(jù)具體條件應(yīng)用規(guī)劃、不等式、三角換元、直接消元等方式,求解相關(guān)最值問題.

圖1

解析 如圖1,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD、AB分別為x,y軸建立直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0).設(shè)P(x,y),由等面積法求得圓的半徑為,故圓的方程為故,即原問題轉(zhuǎn)化為已知求的最大值.

題目有兩組變量,一組是λ,μ,一組是x,y.因此,在得到x=2μ,y=λ的關(guān)系后,需要思考是將x,y的等量關(guān)系

轉(zhuǎn)化為

還是將二元函數(shù)λ+μ轉(zhuǎn)化為經(jīng)過(guò)對(duì)運(yùn)算量的預(yù)估,選擇轉(zhuǎn)化為變量x,y的相關(guān)問題,問題轉(zhuǎn)化后的具體解法過(guò)程如下.解法1(線性規(guī)劃) 設(shè)目標(biāo)函數(shù)即的可行域?yàn)閳A

平行推動(dòng)直線知相切時(shí)取得最值,由

得z=3或z=1,所以z的最大值為3,即λ+μ的最大值為3.

解法2(三角換元)由圓的參數(shù)方程設(shè)

則

解法3(柯西不等式)由柯西不等式得

策略二 向量基底法 分別用向量?→AP與基底的兩個(gè)向量作數(shù)量積,得到λ,μ的方程組,求解出λ,μ或?qū)ⅵ?μ轉(zhuǎn)化為一元問題.

解法4(向量基底法)由

故

故

由①,②,③及④,得

策略三 平面幾何法 平面幾何法是向量三點(diǎn)共線結(jié)論的拓展與平面幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用.

解法5(平面幾何法)如圖2,作直線BD的平行線l,使得l與圓C相切于點(diǎn)P,分別與直線AB、AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E、F,AP與BD交于點(diǎn)M,經(jīng)計(jì)算得,則

所以λ+μ=3x+3y=3,易知l與圓C相切于點(diǎn)P時(shí),λ+μ的值最大,其最大值為3.

圖2

3.深化思維,拓展推廣

平面幾何法是平面向量基本定理的拓展延伸,該拓展延伸稱為等和線結(jié)論[1]:如圖3,已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,點(diǎn)M滿足若點(diǎn)M為直線l上任意一點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)直線l//AB時(shí),x+y=m為定值.具體的,當(dāng)l過(guò)點(diǎn)P時(shí),m=0;

當(dāng)l與AB在點(diǎn)P的同側(cè)時(shí),

當(dāng)l與AB在點(diǎn)P的異側(cè)時(shí),

圖3

圖4

等和線結(jié)論給用平行線找比例關(guān)系求平面向量雙參數(shù)和的最值問題提供了理論依據(jù),簡(jiǎn)化了有關(guān)向量的廣義線性規(guī)劃問題的求解,但目標(biāo)函數(shù)僅限于的類型.經(jīng)過(guò)探究,將該結(jié)論推廣至一般情形.

若點(diǎn)M為直線l上任意一點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)直線l//AB時(shí),λx+μy=m為定值.具體的,當(dāng)l過(guò)點(diǎn)P時(shí),m=0;

當(dāng)l與A′B′在點(diǎn)P的同側(cè)時(shí),

當(dāng)l與A′B′在點(diǎn)P的異側(cè)時(shí),

4.變式遷移,結(jié)論應(yīng)用

變式1如圖5,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心,且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界),設(shè)求x+y的取值范圍.

圖5

圖6

解 如圖6,應(yīng)用等和線結(jié)論,當(dāng)點(diǎn)P為圓C與直線BD的切點(diǎn)時(shí),x+y取得最小值,故(x+y)min=1;當(dāng)點(diǎn)P為圓C與直線l(l//BD)的切點(diǎn)時(shí),x+y取得最大值,此時(shí)切線l與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,由平面幾何知識(shí)可求得BE=1,故所以x+y的取值范圍為[1,2].

變式2如圖7,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=BC=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在△BCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)(包含邊界),設(shè)

(1)求2x+y的取值范圍;

(2)求2x?4y的取值范圍.

圖7

圖8

圖9

解 (1)如圖8,應(yīng)用等和線結(jié)論的推廣,取AB的中點(diǎn)B′,則

當(dāng)點(diǎn)P為直線B′D與區(qū)域△BCD的公共點(diǎn)D時(shí),2x+y取得最小值,故(2x+y)min=1;當(dāng)點(diǎn)P為直線l(l//B′D)與區(qū)域△BCD的公共點(diǎn)C時(shí),2x+y取得最大值,此時(shí)直線l與AB′的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,由平面幾何知識(shí)可求得故所以2x+y的取值范圍為

(2)如圖9,應(yīng)用等和線結(jié)論的推廣,取AB的中點(diǎn)B′,在AD的反向延長(zhǎng)線上取點(diǎn)D′,使AD=4AD′,則

當(dāng)點(diǎn)P為直線l1(l1//B′D′)與區(qū)域△BCD的公共點(diǎn)B時(shí),2x?4y取得最大值,故

當(dāng)點(diǎn)P為直線l2(l2//B′D′)與區(qū)域△BCD的公共點(diǎn)D時(shí),2x?4y取得最小值,故

所以2x?4y的取值范圍為[?4,2].

本文通過(guò)對(duì)平面向量雙參數(shù)和的問題的解法探究,回歸向量問題的幾何屬性,以等和線結(jié)論及其推廣的應(yīng)用,展示了該幾何解法的簡(jiǎn)潔與直觀,避免了大量的代數(shù)運(yùn)算.對(duì)高考真題的研究,是挖掘本質(zhì)的過(guò)程,教學(xué)中可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題,進(jìn)而“創(chuàng)新”出一些源于課本高于課本的結(jié)論,這樣能更好的激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

[1]馬海龍.平面向量三點(diǎn)共線和等和線的妙用[J].數(shù)學(xué)之友,2014(4):61–62.