歐婷婷

[摘 要]函數(shù)是數(shù)學(xué)中最基本，應(yīng)用范圍最廣的一個(gè)概念，從初等數(shù)學(xué)到高等數(shù)學(xué)都離不開(kāi)函數(shù)這一概念，函數(shù)的概念并不是一開(kāi)始就確立，而是經(jīng)歷了由片面到全面的一個(gè)發(fā)展過(guò)程，最終形成現(xiàn)代函數(shù)的概念，從函數(shù)概念演變的過(guò)程，我們可以更加全面的理解現(xiàn)代函數(shù)的概念。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)；概念；發(fā)展；演變

函數(shù)概念的產(chǎn)生距今只有三百多年，產(chǎn)生時(shí)間與微積分這門學(xué)科差不多，實(shí)際上函數(shù)概念得以迅速發(fā)展是在16世紀(jì)以后，特別是隨著微積分這一學(xué)科的建立，函數(shù)概念逐步發(fā)展和完善。現(xiàn)代函數(shù)概念的確立經(jīng)歷了以下幾個(gè)階段

一、常量數(shù)學(xué)下的函數(shù)

在16世紀(jì)之前，數(shù)學(xué)主要研究的是常量數(shù)學(xué)，其特點(diǎn)是用孤立、靜止的觀點(diǎn)去研究事物，具體函數(shù)比比皆是，但沒(méi)有一般的函數(shù)概念。比如代數(shù)中自羅馬時(shí)代就已經(jīng)開(kāi)始的不定方程的研究，偉大的數(shù)學(xué)家丟番圖對(duì)不定方程的研究已有相當(dāng)程度，這些研究中已經(jīng)涉及到函數(shù)的概念，只是還沒(méi)有人意識(shí)到要將這一概念提煉出來(lái)。

二、變量思想下的函數(shù)

到了16世紀(jì)，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的研究已變成自然科學(xué)的中心問(wèn)題，數(shù)學(xué)研究也從常量數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)向了變量數(shù)學(xué)。17世紀(jì)伽利略的《兩門新科學(xué)》一書(shū)中，處處包含著函數(shù)的思想，他用文字和比例的語(yǔ)言表述函數(shù)關(guān)系，如：兩個(gè)等體積圓柱體的面積之比，等于他們高度之比的平方根。兩個(gè)側(cè)面積相等的正圓柱，其體積之比等于他們高度之比的反比。從靜止?fàn)顟B(tài)開(kāi)始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過(guò)的距離與所用時(shí)間的平方成正比。這些表述非常清楚的表明伽利略已涉及并討論變量和函數(shù)。1673年法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾在《幾何學(xué)》一文中首先引入變量思想，稱為”未知和未定的量”，同時(shí)注意到兩個(gè)變量之間的相依關(guān)系。這一時(shí)期，函數(shù)概念在不同科學(xué)家那里有著不同形式的描述。但并沒(méi)有做出一般的抽象，并且也沒(méi)有把文字?jǐn)⑹霰硎緸榉?hào)形式。

三、解析幾何下的函數(shù)概念

17世紀(jì)中葉，微積分的創(chuàng)始人之一德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲最先使用函數(shù)（function）這個(gè)名詞。不過(guò)他指的是變數(shù)x的冪，后來(lái)才逐步擴(kuò)展到多項(xiàng)式函數(shù)、有理函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)以及由他們的四則運(yùn)算、各種復(fù)合所形成的初等函數(shù)。這些函數(shù)都是具體的，都有解析表達(dá)式，把具體的函數(shù)看成曲線進(jìn)行研究，函數(shù)和曲線緊密聯(lián)系在一起。那時(shí)的函數(shù)就是表示任何一個(gè)隨著曲線的點(diǎn)變動(dòng)而變化的量。盡管當(dāng)時(shí)還沒(méi)有建立實(shí)連續(xù)的概念，但數(shù)學(xué)家卻默認(rèn)曲線都是連續(xù)的。托里拆利曾對(duì)曲線ex次方進(jìn)行過(guò)研究，瓦里斯在他的《動(dòng)學(xué)》中研究過(guò)正弦曲線，并注意到了這一函數(shù)的周期性。至此，還沒(méi)有函數(shù)的一般定義。

18世紀(jì)初，第一個(gè)在萊布尼茲工作的基礎(chǔ)上作出函數(shù)概念推廣的是伯努利，他最先擺脫具體初等函數(shù)的束縛，給函數(shù)一個(gè)抽象的不用幾何的定義”一個(gè)變量的函數(shù)是指由這個(gè)變量和常數(shù)以任意一種方式構(gòu)成的量”這里所說(shuō)的任意方式，包括代數(shù)式子和超越式子。

歐拉則更明確地說(shuō)：”一個(gè)變量的函數(shù)是該變量和常數(shù)以任何一種方式構(gòu)成的解析表達(dá)式。1734年，歐拉用記號(hào)y=f（x）表示變量x的函數(shù)。

到了18世紀(jì)，甚至19世紀(jì)初，函數(shù)由一個(gè)解析式給的觀點(diǎn)仍然占統(tǒng)治地位，并認(rèn)為”連續(xù)曲線給出的連續(xù)函數(shù)一定能由一個(gè)解析表達(dá)式表示””由不連續(xù)的曲線或折線所表示的函數(shù)不能由一個(gè)解析式表示?！?/p>

1800年左右，數(shù)學(xué)家開(kāi)始關(guān)心分析的嚴(yán)密化問(wèn)題，函數(shù)概念自然也成為嚴(yán)密化的對(duì)象。具體表現(xiàn)在兩個(gè)方面：一方面對(duì)原來(lái)有關(guān)函數(shù)的錯(cuò)誤看法和片面的觀點(diǎn)進(jìn)行澄清糾正；另一方面繼續(xù)探討函數(shù)概念的本質(zhì)，建立含義更廣泛的函數(shù)概念。第一個(gè)沖破用解析式給出函數(shù)的觀點(diǎn)是拉科魯瓦，他在1797年給出的函數(shù)定義是：每一個(gè)量，如果他依賴一個(gè)或幾個(gè)別的量，不管人們知不知道用何種必要的運(yùn)算可以得到前者，就稱前者為這個(gè)或這些量的函數(shù)。這是對(duì)函數(shù)概念的又一次擴(kuò)展。

在這一時(shí)期，傅里葉對(duì)函數(shù)的概念的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)，盡管他支持用解析式給出函數(shù)的觀點(diǎn)，但他更深刻地揭示了函數(shù)的本質(zhì)，他在1807年發(fā)表的《熱的分析理論》中，證明了”由不連續(xù)的曲線給出的函數(shù)，能用一個(gè)三角函數(shù)式來(lái)表示?！蓖ㄟ^(guò)實(shí)例分析，傅里葉指出”不連續(xù)函數(shù)可用一個(gè)式子，或者可用多個(gè)式子來(lái)表示。”這就否定了”不連續(xù)函數(shù)不可能用一個(gè)解析式來(lái)表示”的觀點(diǎn)。傅里葉通過(guò)實(shí)例指出”在某一區(qū)間上恒有相同函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)是完全相同的”這一錯(cuò)誤的觀點(diǎn)。

柯西于1823年分別給出了變量和函數(shù)的定義，指出”人們把一次取許多互不相同的值的量叫做變量?！薄爱?dāng)兩個(gè)變量之間這樣聯(lián)系起來(lái)的時(shí)候，即給定了這些變量中的一個(gè)值，就可以決定所有其它變量的值的時(shí)候，人們通常想象這些量是其中的一個(gè)來(lái)表示的，這時(shí)這個(gè)變量就取名為自變量，而由這個(gè)自變量表示的其它的量就叫做這個(gè)自變量的函數(shù)”，這里不管是用一個(gè)式子還是多個(gè)式子表示，只要對(duì)于每一個(gè)x，都有完全確定的y與它對(duì)應(yīng)，y就是x的函數(shù)。這一概念中還是局限于解析式的計(jì)算，突破這一限制的是狄利克雷，他給出的定義是：對(duì)x的每一個(gè)值，有完全確定的y值與之對(duì)應(yīng)，不管建立起的這種對(duì)應(yīng)方式如何，都稱y是x的函數(shù)。這個(gè)定義用對(duì)應(yīng)的思想定義函數(shù)，至于連接方式是數(shù)學(xué)運(yùn)算或其他無(wú)關(guān)緊要。

這是函數(shù)概念的又一次擴(kuò)充，將對(duì)應(yīng)關(guān)系由數(shù)學(xué)運(yùn)算擴(kuò)展到任意的對(duì)應(yīng)方式。

四、集合概念下的現(xiàn)代函數(shù)

康拓建立了集合論后，函數(shù)概念在集合概念的基礎(chǔ)上得到最終完善，變量從數(shù)擴(kuò)展到集合。

19世紀(jì)，維布倫用”集合”和”對(duì)應(yīng)”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過(guò)集合概念，把函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域及值域進(jìn)一步具體化了，且打破了”變量是數(shù)”的局限，變量可以是數(shù)，也可以是其他對(duì)象（點(diǎn)、線、而、體、向量、矩陣等）。

1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對(duì)集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱在集合M上定義一個(gè)函數(shù)，記為y=f（x）。元素x稱為自變?cè)?，元素Y稱為因變?cè)：瘮?shù)概念的定義經(jīng)過(guò)三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的歷史終結(jié)。

函數(shù)概念的演變過(guò)程，就是一個(gè)函數(shù)內(nèi)涵在不斷地被挖掘、豐富和精確刻畫(huà)的歷史過(guò)程；同時(shí)看出數(shù)學(xué)概念并非生來(lái)就有，一層不變，而是人們?cè)趯?duì)客觀世界深入了解過(guò)程中得到，并不斷加以發(fā)展的，從而以適應(yīng)新的需要，體現(xiàn)了馬克思主義哲學(xué)的認(rèn)識(shí)論。endprint