一、問題

“三位數(shù)乘兩位數(shù)”是人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)第四單元的內(nèi)容，是在學(xué)生掌握了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。至此，小學(xué)階段的整數(shù)乘法全部完成。長(zhǎng)期以來，以確保計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確無誤及提高計(jì)算速度為目的的計(jì)算操練成了教學(xué)的常態(tài)，使得計(jì)算課常常陷入思維層次的水平移動(dòng)甚至是從高級(jí)到低級(jí)的過程當(dāng)中。對(duì)于數(shù)運(yùn)算的重要性，教師們的認(rèn)識(shí)不盡相同。部分教師認(rèn)為，在有了計(jì)算器之后，我們不必把計(jì)算看得過重；也有一些教師認(rèn)為，數(shù)運(yùn)算非常重要，原因是教材上編得多，所以應(yīng)該教得多，做得多，考得多?？傊虒W(xué)現(xiàn)實(shí)中存在諸多問題。

一是孤立地對(duì)待教學(xué)內(nèi)容。首先，不考慮這節(jié)課的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與后續(xù)，盡管課堂看上去內(nèi)容豐滿、層次清晰，但深諳教材體系的教師心里總會(huì)覺得納悶：這節(jié)課到底與兩位數(shù)乘兩位數(shù)在目標(biāo)上有何區(qū)別？其次，估算、口算、筆算、簡(jiǎn)算之間是完全割裂的，學(xué)習(xí)筆算，那就只管豎式如何寫，怎樣寫方便。

二是以操練代替新授。教師在教學(xué)時(shí)通常按照教材的順序逐一呈現(xiàn)例題，然后給予一定數(shù)量的練習(xí)。這樣教學(xué)難免導(dǎo)致學(xué)生會(huì)的早會(huì)了，不會(huì)的依然如故。一些教師的補(bǔ)救措施往往很奏效：揪出易錯(cuò)題一一過關(guān)，將易錯(cuò)點(diǎn)集中起來以考代練。但這種做法導(dǎo)致很多學(xué)生以為數(shù)學(xué)就是算算算，枯燥乏味，令人生厭。

三是老師（教材）牽著學(xué)生走。最開始，老師讓學(xué)生算“一個(gè)七、兩個(gè)七、三個(gè)七……相加”，大部分學(xué)生學(xué)會(huì)了“7的乘法口訣”。后來，老師又要學(xué)生“幫美羊羊算一算大約有多少元”，學(xué)生們知道了一種叫“估算”的玩意兒。再后來，老師又不斷地追問學(xué)生：“還有沒有不一樣的方法，還有沒有更簡(jiǎn)便的方法？”學(xué)生們總是能呈現(xiàn)出滿滿一黑板的算法。要學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)了，沒關(guān)系，老師直接出示一個(gè)情境，學(xué)生動(dòng)筆算一算、動(dòng)腦估一估、用計(jì)算器驗(yàn)一驗(yàn)，先學(xué)不含0的，接著學(xué)末尾有0的，再學(xué)中間有0的。學(xué)了三位數(shù)乘兩位數(shù)，還有兩位數(shù)乘三位數(shù)……但是，數(shù)運(yùn)算教學(xué)除了教會(huì)學(xué)生計(jì)算之外，我們的孩子什么時(shí)候能站在“森林”中看看眼前的這棵“樹”———關(guān)于整數(shù)乘法，我們都學(xué)了哪些？還要學(xué)些什么？

具體到這節(jié)課，怎樣變孤立為整體？如何走出機(jī)械操練的怪圈，讓我們能站得更高、看得更遠(yuǎn)？為此，我們數(shù)學(xué)組針對(duì)筆算課上如何有效溝通估算、口算、筆算、簡(jiǎn)算之間的聯(lián)系，有效預(yù)防計(jì)算錯(cuò)誤，找到這節(jié)課的生長(zhǎng)點(diǎn)，發(fā)揮數(shù)運(yùn)算課的育人價(jià)值進(jìn)行了思考與實(shí)踐，力求站在一個(gè)更高的位置，以整體或長(zhǎng)段的思維去引領(lǐng)學(xué)生看見“過去”和“遠(yuǎn)方”。

二、實(shí)踐

我們數(shù)學(xué)組堅(jiān)持“1233導(dǎo)探”活力課堂模式，對(duì)這節(jié)課進(jìn)行了實(shí)踐性研究。

1.開放導(dǎo)入，在整體認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上聚焦三位數(shù)乘兩位數(shù)的學(xué)習(xí)。

活動(dòng)設(shè)計(jì)：從4、5、15、21、144中任選兩個(gè)數(shù)寫出乘法算式，并按因數(shù)的位數(shù)分類，想想哪些是你會(huì)算的，分別怎么算。

片段呈現(xiàn)

師：請(qǐng)一個(gè)學(xué)生將所有的乘法算式有序列出。

生1：4×5、4×15、4×21、4×144、5×15、5×21、5×144、15×21、15×144、21×144。

師：按因數(shù)的位數(shù)來分，可以分為哪幾類？

生2：可以分為5類，A類：4×5；B類：4×15、4×21、5×15、5×21；C類：15×21；D類：4×144、5×144；E類：15×144、21×144。

師：有哪些乘法是我們已經(jīng)學(xué)過的？

生：一位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘一位數(shù)，三位數(shù)乘一位數(shù)，兩位數(shù)乘兩位數(shù)，我們都學(xué)過。

師：今天我們來研究三位數(shù)乘兩位數(shù)。

……

師：大家覺得我們今后還要學(xué)四位數(shù)乘三位數(shù)……嗎？

設(shè)計(jì)意圖：回憶整數(shù)乘法的類型，為新知學(xué)習(xí)提供資源。

2.核心推進(jìn)之一：基于經(jīng)驗(yàn)，自主遷移，溝通聯(lián)系，探究算理結(jié)構(gòu)。

活動(dòng)設(shè)計(jì)：15×144你會(huì)算嗎？能不能用以前學(xué)到的本領(lǐng)來幫助計(jì)算？

片段呈現(xiàn)

師：（學(xué)生獨(dú)立計(jì)算后）大家會(huì)算嗎？請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)把你們的想法寫在黑板上。如果你的算法與他的相同，則靜心看他板演的對(duì)不對(duì)；如果不同，看能否看懂他的算法；有不一樣的算法，可以補(bǔ)充到黑板上。

資源呈現(xiàn)：第一種：10×144=1440，5×144=720，1440+720=2160。

生3：第五種和第六種算法一看就是錯(cuò)的。因?yàn)?44×10=1440，可以肯定144×15的積比1000大多了。這兩個(gè)結(jié)果都小于1000，所以是錯(cuò)的！

師：你能用先估后算再比較的方法估計(jì)出積的范圍，避免了低級(jí)錯(cuò)誤，了不起！知道這兩種算法肯定錯(cuò)了，我們能否知道他到底錯(cuò)在哪兒呢？

生4：第五種豎式的第二層寫錯(cuò)了。144×1其實(shí)算的是144×10，所以數(shù)位應(yīng)該向左整體移動(dòng)一位。

師：你的意思和第二種算法是一樣的。大家明白了嗎？那再和同桌說說，第六種算法錯(cuò)在哪兒？為什么？

生5：144中的1表示的是100，所以第三層豎式應(yīng)該算的是15×100，同樣應(yīng)該像第四種算法一樣。

師：錯(cuò)了的，我們能找到錯(cuò)誤的原因。那么，正確的，我們能否也來分析一下它們之間有什么聯(lián)系？

生6：第一種橫式計(jì)算和第二種豎式計(jì)算其實(shí)是一回事。（師隨著學(xué)生的匯報(bào)，補(bǔ)充板演，如下所示）

師：是這么回事嗎？你這么一說，溝通了橫式和豎式之間的聯(lián)系，講得真明白。第四種算法如果也對(duì)應(yīng)一種橫式的話，是怎么樣的呢？（隨著學(xué)生的匯報(bào)，補(bǔ)充板演，如下所示）第二種和第四種算法都是列豎式算的，你更喜歡哪一種？為什么？endprint

師：那么第二種、第四種算法以及古代歐洲的算法有什么共同的特點(diǎn)呢？

生9：都是先想每一步乘的是幾個(gè)幾，再一步一步地乘，然后相加。

師：我明白你的意思了，你指的是，整數(shù)乘法計(jì)算中，都是根據(jù)乘法的意義確定該算什么，然后按一定的順序進(jìn)行計(jì)算。以前學(xué)的兩位數(shù)乘兩位數(shù)是這樣的嗎？這道題是這樣，如果換兩個(gè)整數(shù)相乘，還是這樣嗎？

生：也是這樣。

師：太了不起了！不但知道怎樣算，還知道為什么這樣算，知其然且知其所以然。

設(shè)計(jì)意圖：激活經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)遷移。呈現(xiàn)學(xué)生資源后（有利用乘法意義進(jìn)行分拆求和的，有列豎式筆算的，還有一些錯(cuò)誤的），首先有意捕捉（或設(shè)計(jì)）典型的差錯(cuò)資源，制造認(rèn)知沖突，鞏固“先估后算再比較”的運(yùn)算習(xí)慣。接著運(yùn)用比較策略，橫向比較正確的資源，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)橫式和豎式之間的聯(lián)系，組織學(xué)生比較三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘三位數(shù)在計(jì)算方法上的聯(lián)系，構(gòu)建筆算模型。

3.核心推進(jìn)之二：從一般到特殊，整體構(gòu)建筆算模型。

活動(dòng)設(shè)計(jì)：用筆算的方法計(jì)算375×24，108×32，150×30與325×27，32×108，150×60。學(xué)生分成男女生兩組分別計(jì)算。

操作流程：學(xué)生獨(dú)立計(jì)算，呈現(xiàn)資源，然后選擇典型資源進(jìn)行交流討論。

設(shè)計(jì)意圖：題目的設(shè)計(jì)從一般到特殊。在學(xué)生獨(dú)立完成后，首先重點(diǎn)呈現(xiàn)108×32和32×108這一組題的學(xué)生資源（有錯(cuò)誤的，正確的有用兩位數(shù)乘三位數(shù)的，也有用三位數(shù)乘兩位數(shù)的，但都只要算兩步），溝通三位數(shù)乘兩位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)之間的聯(lián)系，歸納乘法的筆算法則。然后呈現(xiàn)150×30和150×60這一組題的學(xué)生資源，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)積的變化規(guī)律掌握簡(jiǎn)便的豎式算法，溝通口算和筆算。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)積的特點(diǎn)———具有兩倍關(guān)系，滲透靈活比較的意識(shí)，讓學(xué)生增強(qiáng)數(shù)感，也為下一個(gè)活動(dòng)提供資源。

4.核心推進(jìn)之三：溝通口算、筆算、估算、簡(jiǎn)算之間的聯(lián)系，靈活選擇算法。

師：這種算法你看懂了嗎？快速反應(yīng)350×14，103×29。

操作流程：呈現(xiàn)學(xué)生資源：筆算103×29時(shí)，學(xué)生的算法有：103×20+103×9、103×30-103、100×29+3×29。對(duì)照這些算法，看是否能看懂，并要求學(xué)生根據(jù)數(shù)字特點(diǎn)選擇合適的算法計(jì)算：250×12、420×50、125×32、19×350、464×17。

設(shè)計(jì)意圖：在前一個(gè)活動(dòng)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)一些更具特殊性的三位數(shù)乘兩位數(shù)，并通過讀懂兩種算法，讓學(xué)生從意義上理解和區(qū)分兩種算法，溝通口算、筆算、估算、簡(jiǎn)算之間的聯(lián)系，靈活選擇算法進(jìn)行計(jì)算。

三、討論

1.關(guān)于情境對(duì)數(shù)運(yùn)算的橋梁作用。

枯燥的算理、抽象的算法、機(jī)械的訓(xùn)練，現(xiàn)實(shí)中的計(jì)算教學(xué)大都給人這樣的感覺。于是，大多數(shù)教師教學(xué)時(shí)都會(huì)賦予運(yùn)算以情境中的現(xiàn)實(shí)意義。事實(shí)上，在計(jì)算39×102時(shí)，人們看到的只是一個(gè)抽象的算式，很難馬上從乘法意義的角度計(jì)算其結(jié)果，尤其是當(dāng)學(xué)生已經(jīng)接觸了一些算法，碰到未知的，往往不會(huì)退回到乘法意義的角度去思考，而是草率地認(rèn)為“沒學(xué)過，不會(huì)”。如果在一個(gè)情境中，賦予這兩個(gè)數(shù)以量的意義，比如，一套書102元，買39套需要多少元？有了具體情境的橋梁作用，賦予抽象的算式以現(xiàn)實(shí)的意義，能幫助學(xué)生理解算理。而本節(jié)課并未從這個(gè)角度去設(shè)計(jì)，如何兼得？值得探索。

2.關(guān)于數(shù)運(yùn)算教學(xué)長(zhǎng)段的規(guī)劃設(shè)計(jì)。

或許有人會(huì)質(zhì)疑三位數(shù)乘兩位數(shù)這一課如何能做到如此大容量、高密度。其實(shí)，這是因?yàn)檫@節(jié)內(nèi)容是小學(xué)階段整數(shù)乘法運(yùn)算的最后一節(jié)課，列豎式、數(shù)位對(duì)齊、簡(jiǎn)算、橫式與豎式的溝通等都是以前的目標(biāo)，本節(jié)課中只需鞏固，而豎式和豎式的溝通、中間有0的乘法與兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法間的溝通，以及靈活選擇算法才是本節(jié)課的目標(biāo)。小學(xué)階段數(shù)運(yùn)算教學(xué)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的遞進(jìn)性顯而易見，但在每一部分里要實(shí)現(xiàn)哪些目標(biāo)，必須要有一個(gè)整體的規(guī)劃，以數(shù)運(yùn)算中的乘法運(yùn)算為例：

“表內(nèi)乘法”的目標(biāo)是：轉(zhuǎn)化連加，用規(guī)律求積，用乘法的意義分拆轉(zhuǎn)化，表內(nèi)乘除法的熟練化。

“用一位數(shù)乘”的目標(biāo)是：用轉(zhuǎn)化分拆，強(qiáng)化橫式和豎式之間的溝通，簡(jiǎn)算的滲透（分拆成和、差、積的簡(jiǎn)算）。

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的目標(biāo)是：嘗試豎式遷移，強(qiáng)調(diào)數(shù)位對(duì)齊，鞏固簡(jiǎn)算的經(jīng)驗(yàn)。

“兩位數(shù)乘三位數(shù)”的目標(biāo)是：豎式和豎式的溝通，中間有0的乘法與兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法間的溝通，靈活選擇算法。

筆者所在的學(xué)校目前正在進(jìn)行以挖掘?qū)W科課程核心育人價(jià)值為目的的“種子課程”研究。研究中，我們發(fā)現(xiàn)，任何一門學(xué)科或者是某一門學(xué)科的一個(gè)特定內(nèi)容涵蓋的素養(yǎng)目標(biāo)并不是單一的。因此，哪怕是數(shù)運(yùn)算教學(xué)，除了有關(guān)運(yùn)算的知識(shí)目標(biāo)之外，從更高的視野看，它還是幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)化思維的重要載體。事實(shí)上，筆算過程通常由三個(gè)步驟組成：運(yùn)算順序（從哪一位算起）、分步運(yùn)算結(jié)果的定位、形成最終結(jié)果。如果能在某個(gè)階段就幫助學(xué)生建立這個(gè)過程結(jié)構(gòu)，那么在后一個(gè)階段，學(xué)生應(yīng)用這個(gè)結(jié)構(gòu)去主動(dòng)探究一些新的運(yùn)算就變得可能。否則，所謂的探究，很多時(shí)候只是部分優(yōu)秀學(xué)生提前學(xué)習(xí)后的轉(zhuǎn)述罷了。另外，數(shù)運(yùn)算教學(xué)內(nèi)容對(duì)學(xué)生勤于思考、善于研究的思維習(xí)慣的啟蒙也能起到載體作用。因而，我們不能把學(xué)生當(dāng)成計(jì)算的機(jī)器，而應(yīng)努力關(guān)注數(shù)運(yùn)算教學(xué)中的育人價(jià)值，發(fā)揮其培育核心素養(yǎng)的“種子”作用。特別需要強(qiáng)調(diào)的是，這個(gè)目標(biāo)絕不能只是停留在教學(xué)目標(biāo)中的一條文字，也不能想到哪里是哪里，而是需要有一個(gè)長(zhǎng)段的規(guī)劃設(shè)計(jì)，更需要落實(shí)到具體的教學(xué)環(huán)節(jié)當(dāng)中。

現(xiàn)階段，栗雨小學(xué)也正在做基于核心素養(yǎng)的課程研究。數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家們給數(shù)學(xué)定了很多有數(shù)學(xué)味的核心素養(yǎng)，筆者認(rèn)為都有道理。而要在這些核心中再找一個(gè)內(nèi)核，筆者認(rèn)為是舉一反三、反三歸一。這是數(shù)運(yùn)算課型不可繞過的目標(biāo)，也是“種子課程”研究的起點(diǎn)。

【本文系湖南省教育學(xué)會(huì)“十三五”立項(xiàng)課題“基于核心素養(yǎng)的‘種子課程開發(fā)與應(yīng)用研究”（編號(hào)：B-53）研究成果】

（執(zhí)筆：何畝文、徐旺、李闖）endprint