唐睿

【摘要】 怎樣上好一堂數(shù)學(xué)課？廣州大學(xué)曹廣福教授曾提出問題驅(qū)動一說，問題是數(shù)學(xué)的核心，是推動數(shù)學(xué)發(fā)展的動力。通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的頭腦思考問題以及用數(shù)學(xué)的方法解決問題，這才是數(shù)學(xué)教育之本質(zhì)。南京師大附中陶維林教授也曾提出問題啟發(fā)一說，問題是數(shù)學(xué)的心臟，在教學(xué)中教師最主要的任務(wù)就是提出問題，以及引導(dǎo)學(xué)生提出問題。教師最重要的也是最困難的，就是提好——問題，提——好問題。孔子的啟發(fā)式仍然是最好的教學(xué)方法，沒有問題就沒有啟發(fā)。本文將從曹教授問題驅(qū)動這一概念背景下，來探討高中數(shù)學(xué)即包括知識教學(xué)也包括解題教學(xué)的教學(xué)方法。問題有兩類，第一類是關(guān)于知識教學(xué)的，即“是什么”和“為什么”的問題；第二類是關(guān)于怎樣解題的，即“怎么做”和“怎么想”的問題。知識教學(xué)和怎樣解題的教學(xué)，這是數(shù)學(xué)課堂的兩大基本任務(wù)。數(shù)學(xué)課堂就是通過這兩大基本途徑來幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地表達(dá)以及數(shù)學(xué)地思維的。希望通過對數(shù)學(xué)教材和高考試題的深入研究，而不至于使得這種探討變得空洞。但考慮到篇幅，將其放到本文的附錄部分中。

【關(guān)鍵詞】 問題驅(qū)動 高中數(shù)學(xué) 教學(xué)方法

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標(biāo)識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）09-114-02

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一、談數(shù)學(xué)知識（即核心概念和原理）的教學(xué)方法

我們把數(shù)學(xué)知識分為概念性知識和原理性知識，除了概念性知識，其余的諸如數(shù)學(xué)的公理、定理、公式、性質(zhì)、法則、步驟、方法等都統(tǒng)歸為原理性知識。

原則（一）固本浚源：既要知道“是什么？”更要知道“為什么？”

曹廣福教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂的靈魂是思想，缺少思想的教育不是教育，而是知識與技能培訓(xùn)。知識本身不是終極目標(biāo)，知識只是一種思想載體，是思想外化的表現(xiàn)。在他看來，課堂教學(xué)不能拘泥于教材，任何一門理論的產(chǎn)生都離不開思辨，要增強課堂的彈性。

首先，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)需要多質(zhì)疑“是什么”的問題，這叫求知。對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)應(yīng)該抓住其本質(zhì)，或叫“固本”。梁漱溟先生在《談學(xué)問》一文中開篇就講“學(xué)問貴能得要”也是這個意思。如何認(rèn)清事物的本質(zhì)？我認(rèn)為，關(guān)鍵在于領(lǐng)悟變化和不變的道理，尤其要知道變化中保持不變的東西才叫本質(zhì)。例如高中數(shù)學(xué)橢圓定義的教學(xué)，橢圓上的動點對應(yīng)的兩條焦半徑是變化的，但變化中有不變性或不變量，這個不變量就是兩條焦半徑的和，這個不變的東西才是橢圓的本質(zhì)。此類問題還有很多，詳見本文附錄一數(shù)學(xué)教材研究部分。數(shù)學(xué)中的一切知識大概都源于對變化中那個不變東西的追求。這不僅是一個數(shù)學(xué)問題，更是一個哲學(xué)問題，當(dāng)然數(shù)學(xué)跟哲學(xué)本身就不分家的。參變化之機悟不變之理，我把變化和不變稱之為數(shù)學(xué)之一種精神。其一、不變是數(shù)學(xué)之追求，是信仰是永恒是終極是數(shù)學(xué)知識之本質(zhì)，如數(shù)學(xué)中的不變量、不變性、不動點等；其二、變化是數(shù)學(xué)之智慧，是手段是方法是技巧是數(shù)學(xué)解題之規(guī)律，如結(jié)構(gòu)破壞、化曲為直、轉(zhuǎn)化化歸等都是在講變化。

其次，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)需要多質(zhì)疑“為什么”的問題，這叫求真。對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)應(yīng)該追問其源起，或叫“浚源”。例如，高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入的教學(xué)，虛數(shù)是什么？為什么要有虛數(shù)？這是不能回避的問題，人教版新課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書只簡單交代是方程的根，但為什么要使這樣的方程有根呢？這種追問是有價值的！如果能進一步回顧數(shù)的發(fā)展歷史和人類對數(shù)的認(rèn)識歷程，包括無理數(shù)的產(chǎn)生跟第一次數(shù)學(xué)危機的關(guān)系，那么學(xué)生對復(fù)數(shù)的概念的認(rèn)識的深度和廣度自然會達(dá)到一個更高的層次。更重要的是，學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣被激發(fā)了！此類問題還有很多，詳見本文附錄一數(shù)學(xué)教材研究部分。當(dāng)然，這需要我們對數(shù)學(xué)史有一定的了解，數(shù)學(xué)史包括數(shù)學(xué)的人物史、符號史、思想史、危機史等等。

原則（二）異途同歸，準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)的三種語言

數(shù)學(xué)語言又可歸結(jié)為文字語言、符號語言、圖形語言三類。數(shù)學(xué)語言作為數(shù)學(xué)理論的基本構(gòu)成成分，具有“高度的抽象性、良好的直觀性、嚴(yán)密的邏輯性”，應(yīng)用十分廣泛。簡單地講，數(shù)學(xué)語言科學(xué)、簡潔、通用。掌握好數(shù)學(xué)語言是學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵！伽利略說，世界是一本以數(shù)學(xué)語言寫成的書?？枴に_根說，宇宙中的技術(shù)文明無論差異多大，都有一種共同的語言——數(shù)學(xué)語言。我們在教學(xué)任何一種數(shù)學(xué)知識，無論是概念性知識或者原理性知識，都應(yīng)該充分全面展示該種知識的不同語言也就是三種語言表達(dá)。這樣的例子是不勝枚舉的，例如集合的教學(xué)，縱觀全部高中數(shù)學(xué)知識，集合部分雖然簡單，但是卻十分關(guān)鍵。可以這么說，不懂集合語言，就不懂?dāng)?shù)學(xué)語言。說到底，還是數(shù)學(xué)的那三種語言，尤其是對符號語言即列舉法和描述法的認(rèn)識，看不懂其中的各種符號語言，就無法準(zhǔn)確理解一個集合中元素的構(gòu)成也就是該集合的含義。

原則（三）先學(xué)后教

對于學(xué)生來講，提前預(yù)習(xí)、正確聽課、及時復(fù)習(xí)是中學(xué)的三大學(xué)習(xí)方法，根本在于課堂效率，關(guān)鍵在于提前預(yù)習(xí)。對于教師來說，可以改進的是提前備好一周的課，并改變自己習(xí)以為常的陳舊的教學(xué)觀念和行為。例如，作業(yè)布置的目的應(yīng)該改變，應(yīng)該變鞏固作業(yè)為主為預(yù)習(xí)作業(yè)為主，課堂教學(xué)的目的也應(yīng)該改變，應(yīng)該變被動接受新知識為主為消化吸收新知識為主。這也是翻轉(zhuǎn)課堂的出發(fā)點和歸宿吧！

原則（四）評價手段

如何評價是一個復(fù)雜的問題，但又很重要。對于數(shù)學(xué)知識的教學(xué)怎樣才算學(xué)會呢？我認(rèn)為最簡單的方法就是口述，也就是能復(fù)述出來，或叫“背”、“默”，但不是死記硬背的意思，而是回顧，可能用理解和記憶這兩個此來描述更恰當(dāng)，這也是很好的檢驗對數(shù)學(xué)知識是否學(xué)會的有效手段。

二、談怎樣解題（即核心問題和方法）的教學(xué)方法

數(shù)學(xué)習(xí)題包括例題和練習(xí)。例題和練習(xí)背后蘊含的是數(shù)學(xué)的問題（包括如何給出設(shè)問和如何給出條件）和方法（如何分析思路和如何設(shè)計步驟）。

原則（一）舉一反三：既要知道“怎樣做？”更要知道“怎樣想？”endprint

南京師大陶維林教授說，差的教師做給學(xué)生看，好的教師想給學(xué)生聽。只有教師解題教學(xué)行為的改變，才可能改變學(xué)生的解題行為，要關(guān)注學(xué)生的解題行為。比如，他們花多少時間讀題？為結(jié)果而教，忽視過程的教育價值，仍然是當(dāng)前教學(xué)中的普遍現(xiàn)象。不要培養(yǎng)恨數(shù)學(xué)的人；在課堂上，老師應(yīng)該裝傻，而不是犯傻。毫無疑問，這些觀點都是振聾發(fā)聵的。

首先，數(shù)學(xué)解題的教學(xué)需要多質(zhì)疑“怎樣做？”的問題。著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家波利亞在解題表中將問題解決分為四步進行，第一步：你必須弄清問題。第二步：找出已知與未知的聯(lián)系。第三步：寫出你的想法。第四步：回顧。弄清問題即審題，后面的三步依次為擬定計劃、實現(xiàn)計劃、反思回顧。我更喜歡三步解題法，第一步解決思路問題，第二步解決運算問題，第三步解決結(jié)論問題，包括對結(jié)論的檢驗。這也是我一直強調(diào)的，即學(xué)會有條理的、分片段設(shè)計解題過程和步驟。

其次，數(shù)學(xué)解題的教學(xué)需要多質(zhì)疑“怎樣想？”的問題。問題解決最關(guān)鍵的東西在于上述第一步，即思路問題，思路或靈感怎么來？我認(rèn)為數(shù)學(xué)精神、思想、方法對尋找解題思路如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化化歸、分類分步、歸納演繹等數(shù)學(xué)思想有著無可替代的普遍意義和價值，尤其是在攻難題的時候。學(xué)數(shù)學(xué)要敢于攻難，對于困難，你若越怕難，一旦退縮，困難就會越大；而你若越迎難而上，困難反而越小，所以，遇到困難要有一點不畏難并且迎難而上的精神。做題如此，做人亦如此。不妨攻一攻難題，只要難得有價值，而不是鉆牛角尖，就應(yīng)該迎難而上，否則缺了這種態(tài)度和精神的話，做人時遇事便倒，做題時也不會有真進步的。如何攻難呢？對于一道難題，你先解題的一部分！當(dāng)你嘗試解題的一部分，或許你會發(fā)現(xiàn)一不小心就把整道題都解出來了，原來的所謂的難題也不那么難了！這是波利亞《怎樣解題》的智慧。

原則（二）一題多用，充分挖掘習(xí)題的教學(xué)功能

最欣賞廣東金中盧鎮(zhèn)豪老師的一句話：一題多用，充分挖掘例題的教學(xué)功能，重視一題多用，包括一題多思、一題多變、一題多解。我們不是為做題而做題，做一道題應(yīng)該能解決一類問題，也就是舉一反三。不懂這一點，盲目刷題是學(xué)不好數(shù)學(xué)的。首先就是要重視解后思，其次就是要重視題的變化，其三就是要重視同一個問題的多種解法。只有這樣才能培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新意識。解題的教學(xué)的步驟應(yīng)該是，思路分析、規(guī)范解答、功能挖掘。思路分析就是不僅要知道怎樣做的，更要知道怎樣想的。規(guī)范解答就是要有條理分步驟一個片段一個片段解題。功能挖掘不僅是指解題規(guī)律方法的總結(jié)，更要反思怎樣命題？包括怎樣給出條件？以及怎樣設(shè)問？對命題偏好的思考的深度取決于我們對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，是有用的，并非純粹出自應(yīng)試的目的。

例如，怎樣解三角形題？首先，我們要反思解三角形要解決的核心問題是什么？包括怎么設(shè)問？通常是求邊、求角、求面積。怎么給出條件？如果給出三個條件，當(dāng)然這個條件里邊還至少要有一條邊，那么這個三角形是可解的，一解或最多兩解，屬于容易題；如果給出兩個條件，那么這個三角形是不確定的，這時候可能會出現(xiàn)邊、角、面積的范圍討論，屬于中檔題。其次，我們要反思解三角形題的解題規(guī)律是什么？也就是解題思路和靈感從哪里來？角和邊是核心的概念，解題的思路和靈感從這里來，角的變換消角以及邊角互化是慣用技巧。對于正余弦定理的選擇，一般說來，角多的時候用正弦定理，角少的時候用余弦定理。

原則（三）先做后講

同知識教學(xué)應(yīng)遵循先學(xué)后教的原則一樣，解題教學(xué)也應(yīng)遵循先做后講的原則。尤其是課堂補充的材料應(yīng)該提前發(fā)給學(xué)生，尤其是有相當(dāng)難度的習(xí)題更應(yīng)該如此。有些課堂老師直接用幻燈片投影出題，學(xué)生甚至都來得及仔細(xì)讀題審題，教師就提問學(xué)生或者就開始講題，這種做法是不可取的。我的觀點，數(shù)學(xué)課還是少用多媒體教學(xué)，多媒體只是輔助教學(xué)的工具而已，需要用幾何畫板展示動畫過程的例外，能夠不用多媒體還是盡量不用吧！現(xiàn)在極端的情況是投影完全替代板演，課堂過分強調(diào)技術(shù)注重形式，數(shù)學(xué)的思辨少了，數(shù)學(xué)味沒有了，這是我們不能不引起重視的。

原則（四）評價手段

為什么有的同學(xué)總是有這種現(xiàn)象，上課都能聽懂，考試就不會呢？這其實關(guān)系到如何評價解題教學(xué)的問題。對于解題教學(xué)怎樣才算學(xué)會？提出上述疑惑的同學(xué)，其中的原因如果從解題教學(xué)的角度來分析，有可能是在解題教學(xué)的過程中，總是習(xí)慣老師講學(xué)生聽，而很少動手，對于難的題目定是從來沒有完整過筆，也就是解題時特別是遇到難題時從來沒有完整的解完一道題，例如解析幾何的綜合題，這種題學(xué)生不自己動手是永遠(yuǎn)解不會的。

結(jié)束語

清華大學(xué)教經(jīng)濟學(xué)授錢穎一在一篇名為《中國教育的今天，就是中國經(jīng)濟的明天》的文章中講到三個跟教育有關(guān)的故事，其中一個是這樣說的，中國學(xué)生回到家里，家長都問：“你今天學(xué)到了什么新知識？”據(jù)說猶太學(xué)生回到家里，家長卻問：“你今天問了什么好問題”。前者的落腳點是“學(xué)知識”，而后者的側(cè)重點是“提問題”。猶太文化與中國文化有兩點相似：一是注重家庭，二是注重教育。從一個小的細(xì)節(jié)就可以看出，但我們的教育方法與同樣重視教育的猶太人如此不同。見微可以知著，這難道不應(yīng)該引起我們的反思嗎？

[ 參 考 文 獻 ]

[1]何小亞《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計》.

[2]曹廣福《問題驅(qū)動的數(shù)學(xué)教學(xué)理論與實踐》.

[3]盧鎮(zhèn)豪《教師專業(yè)成長印跡》.

[4]白濤《高考考什么及怎樣備考》.endprint