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        建模思想在棱錐外接球問題中的應(yīng)用淺析

        2017-10-21 11:14:45謝衛(wèi)煌
        學(xué)校教育研究 2017年25期
        關(guān)鍵詞:多面體三棱錐三視圖

        謝衛(wèi)煌

        新課標(biāo)提出:“在教學(xué)中,應(yīng)注重讓學(xué)生在實(shí)際問題中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律……”。即在教學(xué)中,要讓學(xué)生“經(jīng)歷將一些實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題過程”,在數(shù)學(xué)活動(dòng)中體會(huì)數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)、認(rèn)識數(shù)學(xué)。甚至我們還要學(xué)會(huì)欣賞數(shù)學(xué)那“抽象”的“冰冷”的美,所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該強(qiáng)調(diào)建模思想滲透,讓學(xué)生經(jīng)歷“問題情景——數(shù)學(xué)建?!蠼狻忉屌c應(yīng)用”的基本過程。

        初看概念,一個(gè)是多面體,一個(gè)是長方體,兩個(gè)不同的概念,怎么可以聯(lián)系起來呢?我們首先來看最簡單的多面體即三棱錐與四棱柱的關(guān)系。首先,我們追究一下三棱錐的概念:一個(gè)底面是三角形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做三棱錐。再看四棱柱,一個(gè)四棱柱(長方體是特殊四棱柱)可以分割成三個(gè)三棱錐,從這一點(diǎn)可以看出,三棱錐可以由四棱柱分割而來,可以看出三棱錐與四棱柱之間的關(guān)系,也就是說,三棱錐與四棱柱還是有著緊密的聯(lián)系的,正因?yàn)檫@種緊密的聯(lián)系,才讓三棱錐的外接球問題可以嘗試著用四棱柱去解。是否可以由此遷移,其他多面體外接球問題也可以借助直棱柱來解決呢?值得反思與探討,這里,我們只研究多面體與最簡單、最特殊的直棱柱即長方體之間的關(guān)系。同時(shí),通過對全國高考卷試題的分析發(fā)現(xiàn),多面體的外接球問題是高考的熱點(diǎn)與高頻考點(diǎn),所以研究“借用直四棱柱解決多面體外接球問題”的方法具有非?,F(xiàn)實(shí)而迫切的意義!具體來說:就是把多面體置身于長方體(含正方體)中,把長方體作為母體,建立數(shù)學(xué)模型,通過求它們的外接球半徑,從而求多面體外接球半徑,很多問題可以實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化。這里首先引入兩個(gè)公式,設(shè)正方體棱長為 ,外接球半徑為 ,則 ;設(shè)長方體的棱長分別為 ,外接球半徑為 ,則 。

        一、三棱錐

        1.正四面體

        問題:一個(gè)棱長為2的正四面體,求其外接球的表面積?

        如圖1所示,把正四面體置身于正方體中,即可轉(zhuǎn)化為求棱長為1的正方體的表面積,迎刃而解。

        2.三棱兩兩垂直

        例1:已知三棱錐 中, 兩兩垂直,且 ,求三棱錐 外接球的體積?

        如圖2所示,把三棱錐 置身于棱長分別為2,1,1的長方體中即可。

        3.四個(gè)面是直角三角形

        例2(2017年廣州市一模第10題):《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬;將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑。若三棱錐 為鱉臑, ⊥平面 , , ,三棱錐 的四個(gè)頂點(diǎn)都在球 的球面上, 則球 的表面積為( )

        如圖3所示,同樣可借長方體的“殼”,求三棱錐外接球表面積。該三棱錐實(shí)際上就是長方體的一部分即三棱錐 ,底面 是直角三角形,從而可求

        ,從而選C。

        4.底面是直角三角形

        例如:如圖是某幾何體的三視圖,正視圖是等邊三角形,側(cè)視圖和俯

        視圖為直角三角形,則該幾何體外接球的表面積為( )

        解析:把該三視圖對應(yīng)的幾何體還原并指置身于

        直棱柱中,如圖4,發(fā)現(xiàn)底面 是直角邊分別為

        1、2的直角三角形,則由 ,從而可求 ,進(jìn)一步可求得 。

        5.對棱相等

        這種三棱錐的外接球問題其實(shí)已經(jīng)相對復(fù)雜,但如果建模,構(gòu)造長方體,轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題,思維敏捷,效率高效,可以達(dá)到“山重水復(fù)疑無路,柳暗花明又一村“的美好境界。

        如在三棱錐 中,已知 ,求三棱錐 的外接球的表面積?

        解析:如圖5所示,把 置身于長方體中,設(shè)棱長分別為 ,使各面對角線滿足 條件即可,則由 ,從而利用公式 得到:

        ,所以三棱錐 的外接球的表面積為 。

        二、四棱錐

        例4:如圖6所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個(gè)多面體的三視圖,若該多面體的所有頂點(diǎn)都在球 的表面上,則球 的表面積為( )

        . . . .

        解析:經(jīng)三視圖還原幾何體可知該幾何體為一個(gè)底面邊長為 ,一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐,把它置身于一個(gè)正方體內(nèi)(如圖,正對的為面 ),很快即可以由公式 得到 從而選 。

        三、其它多面體

        例5:一個(gè)長方體被一個(gè)平面截去一部分后,所剩幾何體的三視圖如圖10所示,則該幾何體的體積為( )

        要求該幾何體的體積,首先需要還原幾何體,這個(gè)問題的背景是“幾何體由長方體產(chǎn)生”,所以,結(jié)合三視圖,只要先畫一個(gè)長為6,寬為4,高為4的長方體,在該長方體中可以較快得到多面體 ,從而迅速求得該幾何體的體積為48.

        通過對本題的研究,學(xué)生真正經(jīng)歷了一次徹頭徹腦的“問題情景——數(shù)學(xué)建?!蠼狻忉屌c應(yīng)用”的基本過程,真正領(lǐng)略建模思想的數(shù)學(xué)意義,讓多面體的外接球問題具備了廣袤無垠的生機(jī),并得到高效解決,從而收獲學(xué)生濃厚的信心。對于全國卷來說,考查能力要求提高了,對于多面體外接球問題,牽涉到由三視圖還原幾何體、如何找多面體外接球半徑,知識點(diǎn)多,還要求具備較強(qiáng)的空間想像能力,對于理科生來說,已經(jīng)不容易,對于文科生來說,更是難點(diǎn),所以,作為教師,應(yīng)該充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,充分利用轉(zhuǎn)化思想,使問題得到簡化與高效。建模思想在解決多面體外接球問題中的意義,不僅僅在于化復(fù)雜多面體為特殊幾何體,還在于這種思想在“還原幾何體”中的應(yīng)用。所以,借用長方體解決復(fù)雜多面體外接球問題具有重大的意義!

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