蔡宏宇

摘要：統(tǒng)計學(xué)作為收集、整理和分析數(shù)據(jù)的方法科學(xué)，其統(tǒng)計理論和方法較為枯燥難懂，“案例導(dǎo)入式”教學(xué)方法應(yīng)運而生，本文主要從統(tǒng)計理論、統(tǒng)計方法、統(tǒng)計模型和統(tǒng)計分析四個大的方面闡述“案例導(dǎo)入式”教學(xué)方法的運用。

關(guān)鍵詞：案例導(dǎo)入式；統(tǒng)計學(xué)；教學(xué)實踐

統(tǒng)計學(xué)則是一門收集、整理和分析數(shù)據(jù)的方法科學(xué)。收集、整理和分析數(shù)據(jù)需要設(shè)計一些項目、確定收集資料的方式和方法、整理和分析數(shù)據(jù)的原理及技巧。因此，“案例導(dǎo)入式”教學(xué)方法實踐主要從統(tǒng)計理論、統(tǒng)計方法、統(tǒng)計模型和統(tǒng)計分析四個大的方面進行闡述，重點介紹統(tǒng)計學(xué)中比較難以理解的部分內(nèi)容，以拋磚引玉。

一、統(tǒng)計理論案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

統(tǒng)計學(xué)以其嚴(yán)密的統(tǒng)計思維、科學(xué)的搜集、整理、分析數(shù)據(jù)信息的理論和方法，成為智慧學(xué)、大數(shù)據(jù)背景下數(shù)據(jù)科學(xué)家的搖籃。沒有統(tǒng)計理論做基礎(chǔ)，統(tǒng)計方法就無章可循。以“統(tǒng)計總體”和“標(biāo)志”理論為例闡述統(tǒng)計理論案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐。

1.“統(tǒng)計總體”概念案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

日常生活中，我們經(jīng)常講到“整體”，其實統(tǒng)計學(xué)管它叫做“總體”，那么，怎么界定？它具備哪些特征？

案例導(dǎo)入：我們這個班有包括貿(mào)易、金融、稅收、財管、會展五個專業(yè)、同學(xué)們自不同地方、各自興趣愛好不同、政治面貌不同、民族不同、有男女性別之分……，但大家有一點是相同的，那就是大家都選在同一時間和同一個老師一起學(xué)習(xí)《統(tǒng)計學(xué)》，因此組成了一個整體（臨班0437），統(tǒng)計學(xué)稱這個整體叫做“統(tǒng)計總體”。

“統(tǒng)計總體”概念和特征導(dǎo)出：“客觀存在的、同一性質(zhì)基礎(chǔ)上結(jié)合起來的許多個別事物的整體”。具備大量性、同質(zhì)性和差異性的特點。

2.“標(biāo)志”概念案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

統(tǒng)計總體中包括許多個體（總體單位），每一個個體具有不同的屬性特征，即標(biāo)志。標(biāo)志其實就是標(biāo)準(zhǔn)、水準(zhǔn)、測量依據(jù)等等，統(tǒng)計學(xué)中的標(biāo)志定義怎么界定？

案例導(dǎo)入：臨班0437同學(xué)按照“性別”標(biāo)準(zhǔn)可以劃分為男同學(xué)和女同學(xué)；按照“民族”標(biāo)準(zhǔn)可以分為漢族、苗族、維吾爾族和土家族四個民族；按照“年齡”標(biāo)準(zhǔn)可以分為20周歲以下、20至21周歲、21周歲以上三個年齡段。

以上“性別”和“民族”分別說明了臨班0437同學(xué)的性別和民族的品質(zhì)屬性，“年齡”說明了臨班0437同學(xué)年齡的數(shù)量特征。

“標(biāo)志”概念導(dǎo)出：“標(biāo)志是指對客觀現(xiàn)象總體內(nèi)個體單位的屬性和數(shù)量特征進行測量所依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)，或用來說明總體單位特征或?qū)傩缘拿Q。分為品質(zhì)標(biāo)志和數(shù)量標(biāo)志，前者不能用數(shù)量表現(xiàn)而只能用文字、符號或代碼來說明；后者能用數(shù)量表現(xiàn)。

二、統(tǒng)計方法案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

統(tǒng)計學(xué)中統(tǒng)計方法很多，如集中和離散趨勢測度、時間序列分析測度、統(tǒng)計指數(shù)測度、抽樣估計、假設(shè)檢驗以及相關(guān)和回歸分析測度等。列舉其中幾個學(xué)生不容易理解和容易出錯的統(tǒng)計方法實踐案例導(dǎo)入式教學(xué)方法。

1.調(diào)和平均數(shù)案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

案例導(dǎo)入：菜場上有1元錢起售的蔬菜，若早上購買每斤0.33元，中午購買每斤0.25元，下班后購買每斤0.2元，試問：早中晚各用1元錢購買的蔬菜平均每斤多少錢？

分析求解：根據(jù)算術(shù)平均數(shù)的定義，計算算術(shù)平均數(shù)，需要已知變量數(shù)列中某數(shù)量標(biāo)志值之和與全部單位總數(shù)，題中雖然已知數(shù)量標(biāo)志值之和，但總體單位數(shù)未知，然已知每次購買金額和單價，就可以每次購買金額除以每次購買單價得出早中晚三次的購買數(shù)量分別為3斤、4斤和5斤，這樣就可以求出平均單價：

總結(jié)概括：這種算法是以支出額為權(quán)數(shù)，以每次購買單價為變量值，以變量值的倒數(shù)形式求出平均價格，稱為簡單調(diào)和平均數(shù)；如果每次購買金額不同，則用每次購買金額為權(quán)數(shù)進行加權(quán)求出平均數(shù)： ，這就是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。

上述案例：如果早、中、晚購買的金額分別是1元、2元和3元，則平均價格：

可見，調(diào)和平均數(shù)是在總體單位數(shù)未知的情況下求平均數(shù)的一種統(tǒng)計方法，也可以說是算術(shù)平均數(shù)的一種特例（詳見“統(tǒng)計方法之間推導(dǎo)案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐”）；簡單調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的特例。

調(diào)和平均數(shù)計算公式導(dǎo)出：調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。又稱為倒數(shù)平均數(shù)。用H表示，分為： 簡單調(diào)和平均數(shù)、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。

（1）簡單調(diào)和平均數(shù)： （據(jù)未分組資料計算）

（2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù)： （據(jù)分組資料計算）

2.序時平均數(shù)案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

序時平均數(shù)是根據(jù)時間序列中各個時期或時點的發(fā)展水平即指標(biāo)值加以平均所得到的平均數(shù)。因時間序列可分為絕對指標(biāo)、相對指標(biāo)和平均指標(biāo)時間序列，所以序時平均數(shù)可分別不同序列求解。

因時點數(shù)列都是瞬間數(shù)據(jù)，兩個時點之間一般都有一定間隔，因此，時點數(shù)列一般都是間斷的。但如果時點數(shù)列的資料是逐日記錄，且逐日排列的，這樣的時點數(shù)列就可看作是連續(xù)的，無論是連續(xù)時點數(shù)列還是間斷時點數(shù)列，都存在間隔相等和間隔不等兩種情況，據(jù)此根據(jù)時點數(shù)列計算序時平均數(shù)，有以下四種方法。這里僅以間隔相等間斷時點數(shù)列為例闡述案例導(dǎo)入式教學(xué)方法實踐。

圖1：時點數(shù)列計算序時平均數(shù)的四種情形

案例導(dǎo)入：已知某省2016年人口資料如表1，求該省2016年年平均人口數(shù)。

表1 某省2016年各季首人口資料

分析求解：已知5個時點數(shù)據(jù)，每兩個數(shù)據(jù)之間距離相等，都是三個月，且均為各季首數(shù)據(jù)，即可先求出各季平均數(shù)，然后據(jù)各季平均數(shù)用簡單平均法求全年平均數(shù)：

計算公式導(dǎo)出：時間數(shù)列是按間隔相等的時點數(shù)編制的，如月末、季末等職工人數(shù)、資產(chǎn)額、庫存額等時間數(shù)列大都是間隔相等的時點數(shù)列；可假定現(xiàn)象在相鄰兩個時點之間的變動是均勻的；則可對相鄰兩個時點求簡單算術(shù)平均數(shù)；然后將這些平均數(shù)相加除以平均數(shù)的個數(shù)，即為整個數(shù)列的序時平均數(shù) ，稱為“簡單序時平均法”或“首末（尾）折半法”。endprint

即

3.統(tǒng)計方法之間推導(dǎo)案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

統(tǒng)計方法之間由于已知條件的不同，方法之間可以互相轉(zhuǎn)化，這里以算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)之間互相轉(zhuǎn)化為例，闡述案例導(dǎo)入式教學(xué)方法的應(yīng)用。

案例導(dǎo)入：菜場上有1元錢起售的蔬菜，若某人早上用1元錢購買了一種蔬菜共3斤，每斤0.33元；中午降價時又買了4斤，每斤0.25元；晚上削價處理時又用1元錢買了5斤，每斤0.2元，試問：某人早中晚各用1元錢購買的蔬菜平均每斤多少錢？

分析求解：上述問題根據(jù)不同的資料可用三種方法計算蔬菜的平均價格：

方法1，如已知早中晚各買1元錢，共3元，共計買了12斤菜，可用簡單算術(shù)平均法計算平均價格：

方法2，如已知早上買3斤、中午買4斤、傍晚買5斤，又知價格分別為0.33元/斤、0.25元/斤、0.2元/斤，則可用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)方法計算平均價格：

方法3，如已知早上買1元錢、中午買1元錢、傍晚也買1元錢，知道每次購買單價分別為0.33元/斤、0.25元/斤、0.2元/斤，但每次購買數(shù)量未知，根據(jù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計算公式無法求出蔬菜的平均價格，需先根據(jù)每次購買金額和單價求出其數(shù)量，即求出平均單價公式的分母，再用總金額除以三次購買的數(shù)量之和，求出平均價格：

這種算法是以支出額為權(quán)數(shù)，每次購買單價為變量值，以變量值的倒數(shù)形式求出平均價格，稱為簡單調(diào)和平均數(shù)；如果每次購買金額不同，則用每次購買金額為權(quán)數(shù)進行加權(quán)求出平均數(shù)：

，這種計算平均數(shù)的方法稱為加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。

上述案例：如果早中晚購買的金額分別是1元、2元和3元，則平均價格：

總結(jié)導(dǎo)出：

（1）當(dāng)權(quán)數(shù)m1都等于1時， ，可見簡單調(diào)和平均數(shù)是加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的特例；

（2）社會經(jīng)濟生活中，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，一般作為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的變形之式使用，當(dāng)m=xf 時，

（3）由相對數(shù)或平均數(shù)分組資料計算平均數(shù)時，若已知分子、分母兩個總量指標(biāo)時，可直接對比求 ；若已知分母、缺分子資料時，可用加權(quán)算術(shù)平均法求 ： ；若已知分子、缺分母資料時，可用加權(quán)調(diào)和平均法求 ： 。可見由相對數(shù)或平均數(shù)計算的平均數(shù)，其實質(zhì)就是數(shù)列的總相對數(shù)或總平均數(shù)。

三、統(tǒng)計模型案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

這里以相關(guān)和回歸最小二乘法模型為例，闡述統(tǒng)計模型案例導(dǎo)入法教學(xué)方法實踐。

1.最小二乘法模型案例導(dǎo)入

從某高校2012級經(jīng)濟學(xué)專業(yè)45名同學(xué)中隨機抽取了10位同學(xué)，收集到該樣本的高等數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)考試成績資料如表2所示。要求：（1）擬合統(tǒng)計學(xué)成績y倚高等數(shù)學(xué)成績x之間的直線回歸方程，并指出高等數(shù)學(xué)成績每增加1分時統(tǒng)計學(xué)成績?nèi)绾巫兓?/p>

表2 高等數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)成績分布表

俗話說“統(tǒng)計是半個數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的扎實與否直接影響到統(tǒng)計學(xué)成績的高低。從統(tǒng)計學(xué)的角度分析，高等數(shù)學(xué)成績與統(tǒng)計學(xué)成績之間存在某種關(guān)系，這個關(guān)系的方向和程度直接影響到兩者之間的模型擬合。運用高等數(shù)學(xué)成績與統(tǒng)計學(xué)成績原始數(shù)據(jù)繪制散點圖（見圖2），分析發(fā)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)成績好的學(xué)生，統(tǒng)計學(xué)成績也比較好，它們之間存在一種正向變動關(guān)系，如果我們選擇更多樣本，就會發(fā)現(xiàn)同樣的高等數(shù)學(xué)成績可能有不同的統(tǒng)計學(xué)成績相對應(yīng)，可見它們之間不是嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，而是一種相關(guān)關(guān)系。高等數(shù)學(xué)成績決定統(tǒng)計學(xué)成績，是自變量（外生變量），統(tǒng)計學(xué)成績是因變量（內(nèi)生變量），發(fā)現(xiàn)它們之間呈正線性關(guān)系，希望找到一條直線反映它們之間的這種關(guān)系，

實際中基本無法找到一條直線能通過所有高等數(shù)學(xué)成績和統(tǒng)計學(xué)成績形成的坐標(biāo)點，因為就樣本回歸線 而言，每輸入一個觀察值 ，計算得到的回歸值 往往不一定與實

圖2 高等數(shù)學(xué)成績與統(tǒng)計學(xué)成績散點圖

際觀察值y1相等，很可能會存在一定的偏差，即： ；但可以找到這樣一條直線，讓高等數(shù)學(xué)成績與統(tǒng)計學(xué)成績形成的所有點到這條直線的距離最近，如離差分解圖3所示，實際的點（x，y）到理論的點（x， ）之間的距離越短直線所描述的高等數(shù)學(xué)成績與統(tǒng)計學(xué)成績關(guān)系越緊密，即實際統(tǒng)計學(xué)成績與理論統(tǒng)計學(xué)成績之間的離差 的絕對值越小越好，這個差值稱為殘差（受偶然因素影響），殘差 的平方和刻劃了全部觀察值（相關(guān)點）與回歸值的偏離程度。

圖3 離差分解圖

為反映總偏差，須把ei變成非負(fù)形式（ ， ，這就是最小二乘法模型原理。

2.最小二乘法模型參數(shù)估計

最小二乘法的依據(jù)是數(shù)學(xué)偏導(dǎo)數(shù)求極值的原理。其擬合的最優(yōu)趨勢線必須滿足以下兩個條件：（1）實際觀察值yi與回歸方程推算的理論值 的離差之和為零，即 ；（2）實際觀察值 與回歸方程推算的

理論值得離差平方和為最小 達到最小值。

參數(shù)估計過程：

/對上式求關(guān)于的一階偏導(dǎo)數(shù)：

/該聯(lián)立方程組經(jīng)整理，得到以下規(guī)范方程組：

據(jù)此可得到截距 的計算公式：/

由此可求得樣本回歸模型： =a+bx

3.最小二乘法模型構(gòu)建及詮釋

根據(jù)案例數(shù)據(jù)可求得a、b兩個參數(shù)：

把相關(guān)數(shù)據(jù)代入模型代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得高等數(shù)學(xué)成績與統(tǒng)計學(xué)成績回歸模型： ，可見高等數(shù)學(xué)成績每增加一個分，統(tǒng)計學(xué)成績平均增加0.97分。

四、統(tǒng)計分析案例導(dǎo)入式教學(xué)實踐

統(tǒng)計分析方法較多，以統(tǒng)計指數(shù)因素分析為例，闡述“案例導(dǎo)入式”教學(xué)方法在統(tǒng)計分析中的實踐。

1.因素分析案例導(dǎo)入

如果某公司只銷售三種商品，它們報告期和基期的單價和銷售量如表3。公司經(jīng)理問：“作為統(tǒng)計員請告訴我報告期我們公司銷售額增加多少？是什么因素引起的？這些因素分別影響多少？”公司數(shù)據(jù)如表3：endprint

表3 某公司銷售資料

分析表3發(fā)現(xiàn)，因各種商品單位不同，無法直接匯總計算；但知道銷售額等于商品單價乘以銷售量，也就是公司銷售額變動受單價和銷售量兩個因素影響，這兩個因素中任何一個變動都會引起銷售額相應(yīng)變動；顯然，報告期總銷售額除以基期總銷售額，就可計算出報告期發(fā)展速度；報告期總銷售額減去基期總銷售額，就可得到報告期銷售額增減額；但這個發(fā)展速度和增減額中，有多少是因為銷售量的變動引起的？又有多少是因商品單價變動帶來的？

這是個因計量單位不同引起的無法綜合計算的問題，需要運用綜合指數(shù)。從而導(dǎo)出綜合指數(shù)的概念和編制。

2.綜合指數(shù)編制

（1）綜合指數(shù)的概念。綜合指數(shù)就是研究不能直接加總的復(fù)雜現(xiàn)象的綜合變動程度的相對數(shù)，如消費品價格指數(shù)、股票價格指數(shù)等等。綜合指數(shù)的編制需要引進兩個概念：指數(shù)化指標(biāo)和同度量因素。

指數(shù)化指標(biāo)是指數(shù)所要測定其變化程度的那個因素。如銷售量指數(shù)中的銷售量就是指數(shù)化指標(biāo)；同度量因素是指在編制綜合指數(shù)時，將不能直接相加的指數(shù)化指標(biāo)乘上另一個因素，使之可以相加，那個乘上的因素就是同度量因素。如銷售量指數(shù)中的價格因素就是同度量因素。

（2）綜合指數(shù)的編制原理

①物價綜合指數(shù)：綜合說明商品或產(chǎn)品價格綜合變動程度的相對數(shù)，是質(zhì)量指標(biāo)指數(shù)。

為兩個時期的價格，是物價指數(shù)要研究的對象，稱為指數(shù)化指標(biāo)； 為報告期物量，作權(quán)數(shù)，稱為同度量因素。具有以下三個特點：其一，先綜合后對比；其二，計算資料要求較全面；最后，綜合指數(shù)分子和分母的差額稱為“影響效果”， 即為價格變動對物值變動的影響額。

②物量綜合指數(shù)：說明商品銷量或產(chǎn)品產(chǎn)量綜合變動程度相對數(shù)，它是數(shù)量指標(biāo)指數(shù)。

：指數(shù)化因素； ：同度量因素。

③物值綜合指數(shù)：表明物值變動程度的總指數(shù)。

相對數(shù)：

絕對數(shù)：

可見，銷售量和銷售價格兩個因素影響銷售額，分析兩者對銷售額的影響時，在有現(xiàn)實經(jīng)濟意義的前提下，實現(xiàn)指數(shù)體系的成立，可以先假定銷售價格（銷售量）不變，分析銷售量（銷售價格）變動；因社會經(jīng)濟現(xiàn)象復(fù)雜不能直接綜合，需要引進同度量因素，將同度量因素固定以消除同度量因素變動的影響；可見指數(shù)編制原則：編制數(shù)量指標(biāo)指數(shù)時，其同度量因素固定在基期；編制質(zhì)量指標(biāo)指數(shù)時，其同度量因素固定在報告期。

（3）綜合指數(shù)編制實踐

根據(jù)導(dǎo)入案例數(shù)據(jù)資料，計算得出報告期、基期及假定銷售額數(shù)據(jù)，如表4：

表4 某公司報告期與基期銷售額數(shù)據(jù)

根據(jù)表4數(shù)據(jù)，代入綜合指數(shù)公式，可求得該公司銷售量、價格指數(shù)和銷售額總指數(shù)：

解：

分析：該公司銷售額報告期比基期增長89.1%，增加298.4萬元；其中：因銷售量增長19.1%，增加64萬元；因銷售價格上漲58.7%，增加234.4萬元。

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