廣東省陽(yáng)江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 黃雙華 (郵編:529900)

品味一道中考題 感悟數(shù)學(xué)真善美
——2017年廣東省中考卷第25題評(píng)析

廣東省陽(yáng)江市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 黃雙華 (郵編:529900)

通過(guò)對(duì)2017年廣東省中考卷第25題的解構(gòu)與反思,發(fā)現(xiàn)其具備真善美的特征!不但強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)理性思維的能力要求,還展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值和人文價(jià)值．

基本套路,數(shù)學(xué)思想,真善美

1 試題呈現(xiàn)——平淡無(wú)奇道本質(zhì)

(2017年廣東省中考第25題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形ABCO是矩形,點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別是A(0,2)和C(23,0),點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A、C重合),連結(jié)BD,作DE⊥DB,交x軸于點(diǎn)E,以線段DE、DB為鄰邊作矩形BDEF．

圖(1)

圖(2)

(I)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)_____;

(II)是否存在這樣的點(diǎn)D,使得△DEC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;

②設(shè)AD＝x,矩形BDEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(可利用①的結(jié)論),并求出y的最小值．

2017年廣東省中考?jí)狠S題的設(shè)計(jì),一如既往地以動(dòng)態(tài)變化類為基架,呈現(xiàn)方式自然樸實(shí),淡化了壓軸題的復(fù)雜計(jì)算,考查層次分明,不同水平的學(xué)生可以充分展示自己不同的探究深度,著重考查了三角函數(shù)、勾股定理的應(yīng)用、二次函數(shù)求最值和代數(shù)綜合運(yùn)算等初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容．較好地體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)壓軸題的選拔功能．

2 試題特色——關(guān)注“本生”，設(shè)問(wèn)遞進(jìn)立意高

雖然是壓軸題,但注重人性化、起點(diǎn)低、入口寬,不同層次的學(xué)生都能得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)．第(I)問(wèn)的問(wèn)題情境熟悉,注重基礎(chǔ)性的考查,關(guān)愛(ài)基礎(chǔ)較差的學(xué)生,使他們也有展示的機(jī)會(huì),體現(xiàn)人文性;第(II)問(wèn)考查了分類討論思想,運(yùn)動(dòng)類問(wèn)題中,多數(shù)都以考查分類討論思想方法為目的,而研究某個(gè)三角形變化的形狀,可謂是這類問(wèn)題的一種常規(guī)而經(jīng)典的設(shè)計(jì)方式．第(II)問(wèn)遞進(jìn)到第(III)問(wèn),稱得上獨(dú)具匠心,關(guān)注優(yōu)等生的能力發(fā)展．這樣的設(shè)問(wèn)注意到了能力層次的要求和問(wèn)題間的關(guān)聯(lián),較好地體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)壓軸題的選拔功能．

3 試題分析——注重“基本套路”，突出數(shù)學(xué)思想

3．1 注重“基本套路”

解決幾何問(wèn)題的一個(gè)“基本套路”就是:首先要認(rèn)真分析條件,而分析條件就是將條件與相關(guān)“基本圖形”結(jié)合起來(lái),利用這個(gè)“基本圖形”的性質(zhì),獲得相應(yīng)的結(jié)論．有時(shí)圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”,這時(shí)還需要聯(lián)想相關(guān)知識(shí)作輔助線構(gòu)造出相關(guān)的“基本圖形”,再利用這個(gè)“基本圖形”的性質(zhì),獲得相應(yīng)的結(jié)論,從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的．

(1)在第(I)問(wèn),研究△DEC為等腰三角形,除了確定哪兩條邊相等,還需要分別討論被動(dòng)點(diǎn)E會(huì)出現(xiàn)邊OC上,或OC的延長(zhǎng)線上的兩種情況．當(dāng)點(diǎn)E在邊OC上(如圖(1))時(shí),易知DE＝CE,∠EDC＝∠ECD＝30°,△DBC為等邊三角形,從而得到∠DAB＝∠DBA＝30°,所以AD＝DB＝BC＝2;當(dāng)點(diǎn)E在OC的在OC的延長(zhǎng)線上(如圖(2))時(shí),易知DC＝EC,∠CED＝∠CDE＝15°,∠ADB＝∠ABD＝75°,因此AD＝AB＝23．

這里考查了學(xué)生的基本技能和基本思想．此問(wèn)的思路雖容易形成,但必需會(huì)靈活應(yīng)用三角函數(shù)、三角形內(nèi)角和、等邊對(duì)等角、兩角和與差的運(yùn)算等知識(shí),還考查了分類討論的思想,這是對(duì)常規(guī)基礎(chǔ)知識(shí)技能的深度理解．

圖(3)

(2)第(III)問(wèn)①的證法1:建直角,造K字．

如圖(3),過(guò)D作GH⊥AB,易知GH⊥OC,由BDEF為矩形,建立“K”型相似的基本模型,由△BDG∽△DEH,得到．在(II)的條件下,易得所以,從而得到

(3)第(III)問(wèn)①的證法2:從外心出發(fā),顯“圓”如此!

由于圖形的復(fù)雜性,有時(shí)在圖中并不需要畫出圓,可謂“圖中無(wú)圓,心中有圓”．圖(1)和圖(2)都有∠BDE＝∠BCE＝90°,根據(jù)直角三角形外心必在斜邊的中點(diǎn)處,易證得B、D、E、C四點(diǎn)共圓,如圖(4)．

圖(4)

幾何綜合題的圖形中往往隱去了基本圖形的一部分,如果能聯(lián)想到相應(yīng)的基本圖形,并能添加適當(dāng)發(fā)現(xiàn)并添出輔助線(輔助圓),再現(xiàn)基本圖形,解題思路就會(huì)柳暗花明．可以這樣說(shuō),一種輔助線作法對(duì)應(yīng)著一個(gè)基本圖形,輔助線就是把殘缺的基本圖形補(bǔ)充完整,從而利用基本結(jié)論解題．

3．2 突出數(shù)學(xué)思想

本題并非是解題方法和技巧的機(jī)械運(yùn)用,而是巧妙考查了學(xué)生的化歸思想、建模思想、分類思想、方程與函數(shù)思想等,強(qiáng)化了對(duì)數(shù)學(xué)理性思維的能力要求,展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的學(xué)科價(jià)值和人文價(jià)值．

(1)分類討論思想．第(II)問(wèn)思路容易形成,第一次分類討論,需要確定△DEC中誰(shuí)是頂點(diǎn)．第二次分類討論,需要討論主動(dòng)點(diǎn)D在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí),被動(dòng)點(diǎn)E在x軸上,會(huì)出現(xiàn)在邊OC上,或在OC的延長(zhǎng)線上的兩種情況．

(2)建模思想．第(III)問(wèn)①的證明:無(wú)論是建立“K”型相似的基本模型,或是證明B、D、E、C四點(diǎn)共圓的解決辦法．都是在提煉基本模型,以模解題,打破思維定勢(shì),化陌生為熟悉,化非常規(guī)為常規(guī),有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)基本經(jīng)驗(yàn)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用,強(qiáng)化應(yīng)用意識(shí)．

(3)方程與函數(shù)思想:二次函數(shù)是初中代數(shù)的核心內(nèi)容,歷來(lái)都是中考必不可少的一項(xiàng)內(nèi)容．解第(III)問(wèn)②通過(guò)面積問(wèn)題,靈活使用方程與函數(shù)知識(shí),表現(xiàn)出本題的命題的基礎(chǔ)性、實(shí)用性和教學(xué)的導(dǎo)向性．

近年中考中特別重視突出數(shù)學(xué)思想方法的考查．因此,在平時(shí)的教學(xué)中,要注意體會(huì)、歸納教材題目中的數(shù)學(xué)思想方法．尤其在中考復(fù)習(xí)時(shí),教師更應(yīng)有意識(shí)、有目的、適時(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生有效利用數(shù)學(xué)思想方法解決相關(guān)問(wèn)題的能力．

4 寫在最后

通過(guò)對(duì)本題的解構(gòu)與反思,發(fā)現(xiàn)其具備真善美的特征!“真”即是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和數(shù)學(xué)學(xué)科規(guī)律,不大題小做或小題大做,不出現(xiàn)技能化的假過(guò)程現(xiàn)象．“善”即是符合考查目的性,尊重學(xué)生的能力和創(chuàng)新,體現(xiàn)數(shù)學(xué)智慧,鼓勵(lì)學(xué)生探索．“美”即是試題本身結(jié)構(gòu)和諧,呈現(xiàn)自然,不矯揉造作,解題過(guò)程不單一和程式化,而是在解題過(guò)程中有經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)美、認(rèn)識(shí)美、追求美、創(chuàng)造美的機(jī)會(huì)!最終在品味數(shù)學(xué)的過(guò)程中,充分感悟數(shù)學(xué)的真善美．

1 高峰．注重基本“套路”,突出數(shù)學(xué)思想[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬)2013(8):41

2 李景財(cái),冉瑞洪．聯(lián)想基本圖形,解法自然生成[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中旬),2017(4):33

2017-07-04)