(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 (郵編:300456)

一個(gè)優(yōu)美不等式的優(yōu)美簡(jiǎn)證

(天津水運(yùn)高級(jí)技工學(xué)校 黃兆麟 (郵編:300456)

安振平先生在文[1]中提出了40個(gè)優(yōu)美的代數(shù)不等式,其中第24個(gè)為:

若a、b、c是正數(shù),a2＋b2＋c2＝3,求證

何燈老師在文[2]中稱該不等式頗有難度,并利用柯西不等式及構(gòu)造一個(gè)常人不易想到局部不等式,給出了該不等式一種技巧性較高的優(yōu)美證明．筆者經(jīng)深入探究此題,發(fā)現(xiàn)了一種技巧性較低的優(yōu)美簡(jiǎn)證,現(xiàn)介紹如下,與讀者分享．

證明 首先將條件等式化為條件不等式

再利用二元均值定理,將不等式(1)左右作差可得

則不等式(1)成立．以上最后一步用到了不等式(2)成立的結(jié)論．

點(diǎn)評(píng)由以上證明過程可以看出,本文證法之所以如此簡(jiǎn)捷,原因有二:其一,成功利用了條件等式;其二,利用二元均值定理,將原無理分式不等式加強(qiáng)為有理分式不等式,再證明反而容易多了．可以說,這不是技巧,而是一種方法．

1 安振平．優(yōu)美的代數(shù)不等式[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(上旬),2015(3):71-72

2 何燈．關(guān)于兩個(gè)優(yōu)美不等式的證明[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西)2016(7):46-47

2017-07-10)