北京豐臺二中 甘志國 (郵編:100071)

商榷2017年高考題中表述欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膸椎李}

北京豐臺二中 甘志國 (郵編:100071)

一年一度的高考是考生、老師、家長、學(xué)校乃至全社會關(guān)注的重點話題．2017年的高考已塵埃落定,作為一名高中數(shù)學(xué)老師,也抓緊時間認(rèn)真鉆研了本年度的高考數(shù)學(xué)真題(文理共計15套,其中上海、浙江文理同卷,江蘇文理除附加題外同卷),發(fā)現(xiàn)了它們有試題常規(guī)、情景新穎、杜絕偏怪、難度在較大幅度的降低、文理相同題或姊妹題在增多等特點,這也與新課改的精神、教育乃培養(yǎng)人的活動、數(shù)學(xué)本來應(yīng)當(dāng)是人人能夠喜愛的美的科學(xué)合拍．

但筆者發(fā)現(xiàn)有少量高考題在表述上欠嚴(yán)謹(jǐn):雖然原題不會太影響考生正確答題,但作為高考題的權(quán)威性及引用的廣泛性,還是要注意表述上的嚴(yán)謹(jǐn)．

筆者出版的著作[1]及發(fā)表的文獻(xiàn)[2]、[3]分別對2016、2015、2014年的高考題在表述上欠嚴(yán)謹(jǐn)之處也作了商榷．

題1(2017年高考浙江卷第20題)已知函數(shù)

(1)求fx()的導(dǎo)函數(shù);

題2(2017年高考江蘇卷第20題)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a＞0,b∈R)有極值,且導(dǎo)函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點．(極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值)

(1)求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;

(2)證明:b2＞3a;

(3)若f(x)、f′(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于,求a的取值范圍．

商榷普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修2-2·A版》(人民教育出版社,2007年第2版)第9頁寫到:“當(dāng)x變化時,f′x()便是x的一個函數(shù),我們稱它為fx()的導(dǎo)函數(shù)(derivativefunction)(簡稱導(dǎo)數(shù))”．既然教科書中已寫到“導(dǎo)函數(shù)簡稱導(dǎo)數(shù)”,數(shù)學(xué)表述應(yīng)以簡潔為標(biāo)準(zhǔn),所以建議把題1中的“(1)求fx()的導(dǎo)函數(shù)”改 為 “(1)求fx()的 導(dǎo) 數(shù)”或 “(1)求f′x()”;建議把題2中的“導(dǎo)函數(shù)f′(x)”改為“導(dǎo)數(shù)f′(x)”或“f′(x)”．

題3(1)(2017年高考天津卷文科第2題)設(shè)x∈R,則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

(2)(2017年高考天津卷理科第4題)設(shè)θ∈R,則是的( )

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

(3)(2017年高考浙江卷第6題)已知等差數(shù)列 an{}的公差為d,前n項和為Sn,則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的( )

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

(4)(2017年高考北京卷理科第6題即文科第7題)設(shè)m、n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m＝λn”是“m·n＜0”的( )

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件

C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

商榷普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修2-1·A版》(人民教育出版社,2007年第2版)(下簡稱《選修2-1》)第11頁寫到:“……此時,我們說,p是q的充分必要條件,簡稱充要條件(sufficientandnecessarycondition)”．既然教科書中已寫到“充分必要條件簡稱充要條件”,數(shù)學(xué)表述應(yīng)以簡潔為標(biāo)準(zhǔn),所以建議把本題第(3),(4)小題選項C中的“充分必要條件”均改為“充要條件”．建議把《選修2-1》第30頁第2(3)題末的“充分必要條件”也改為“充要條件”．

與《選修2-1》配套使用的《教師教學(xué)用書》(人民教育出版社,2007年第2版)第11頁給出的《選修2-1》第12頁第3題的答案是“(1)充分條件,或充分不必要條件;(2)充要條件;(3)既不是充分條件,也不是必要條件;(4)充分條件,或充分不必要條件．”所以建議把本題第(1)、(2)題選項A、B中的“而”字均去掉．

題4(2017年高考山東卷理科第18題)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示,通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1、A2、A3、A4、A5、A6和4名女志愿者B1、B2、B3、B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示．

(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的頻率．

(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX．

商榷建議把題4末的“EX”改為“E(X)”,這樣才與現(xiàn)行教材一致．

題5(2017年高考全國卷II理科第13題)一批產(chǎn)品的二等品率為0．02,從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則DX＝____________．

解1．96．可得X～B(100,0．02),所以DX＝100×0．02×0．98＝1．96．

商榷建議把題5中的“DX”改為“D(X)”,這樣才與現(xiàn)行教材一致．

題6(2017年高考上海卷第15題)已知a、b、c為實常數(shù),數(shù)列 xn{}的通項xn＝an2＋bn＋c,n∈N?,則“存在k∈N?,使得x100＋k、x200＋k、x300＋k成 等 差 數(shù) 列 ”的 一 個 必 要 條 件 是( )

A．a(chǎn)≥0 B．b≤0

C．c＝0 D．a(chǎn)－2b＋c＝0

商榷建議把題6中的“通項”改為“通項公式”,這樣才與現(xiàn)行教材一致．

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)5·必修·A版》(人民教育出版社,2007年第3版)第29頁寫到“如果數(shù)列 an{}的第n項與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式．”

在現(xiàn)行教材中沒有把“通項公式”簡稱為“通項”的說法．在普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》(人民教育出版社,2009年第3版)第30頁寫到:“我們看到(a＋b)n的二項展開式……,式中的叫做二項展開式的通項．”這應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)行教材中出現(xiàn)的 “通項”的意義．

題72017年高考全國卷I文科第17題)記Sn為等比數(shù)列 an{}的前n項和．已知S2＝2,S3＝－6．

(1)求 an{}的通項公式;

(2)求Sn,并判斷Sn＋1,Sn,Sn＋2是否成等差數(shù)列．

商榷題末的句號應(yīng)改為問號．

題8(2017年高考全國卷I理科第19題)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布Nμ,σ2( )．

(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在 μ－3σ,μ＋3σ(

)之外的零件數(shù),求PX≥1( )及X的數(shù)學(xué)期望;

(

2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在μ－3σ,μ＋3σ()之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查．

(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;

(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:

附若隨機變量Z服從正態(tài)分布N(μ ,σ2),則P(μ–3σ＜Z＜μ＋3σ)＝0．9974．

0．997416≈ 0．9592,0．008 ≈ 0．09．

商榷普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書《數(shù)學(xué)·選修2-3·A版》(人民教育出版社2009年第3版,2015年第2次印刷)第73頁給出的數(shù)據(jù)是

而該書“2016年第3次印刷”時給出的數(shù)據(jù)是

這次高考題中給出的數(shù)據(jù)又是“Pμ－3σ≤X≤μ＋3σ

()＝0．9974”,建議給出權(quán)威、統(tǒng)一的數(shù)據(jù)．

題9(2017高考北京卷文科第15題)已知等差數(shù)列 an{}和等比數(shù)列 bn{}滿足a1＝b1＝1,a2＋a4＝10,b2b4＝a5．

(1)求 an{}的通項公式;

(2)求和:b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1．

解(1)(過程略)an＝2n－1．

(2)設(shè)等比數(shù)列 bn{}的公比為q,由題設(shè)可得,

①當(dāng)q2＝3時,b2n－1＝b1(q2)n－1＝3n－1,所以

② 當(dāng)q2＝－3 時,b2n－1＝b1(q2)n－1＝(－3)n－1,所以

評注該解法(在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)求解)顯然不是出題者的初衷,但是目前的文科、理科高三學(xué)生都學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù),所以以上解法并無不妥．

題10(2017高考北京卷理科第10題)若等差數(shù)列 an{}和等比數(shù)列 bn{}滿足a1＝b1＝－1,a4＝b4＝8,則

解答題2時也會遇到這樣題1的情形．所以建議把題1及題2中的“等比數(shù)列”都改成“各項都是實數(shù)的等比數(shù)列”．

早在2014年筆者出版的著作[4]第292-293頁就闡述了“對于數(shù)列問題應(yīng)強調(diào)在實數(shù)范圍內(nèi)求解”的觀點．

題11(2017年高考上海卷第6題)設(shè)雙曲線的焦點為F1、F2,P為該雙曲線上的一點．若|PF1|＝5,則|PF2|＝______．

商榷建議把題中的“焦點為”改為“左、右焦點分別為”．還建議把題中的“b＞0”改為“b≥”,因為文獻(xiàn)[5]中證得了如下結(jié)論:

定理雙曲線左支上任一點P到左焦點F的距離PF 的取值范圍是[c－a,＋∞),右支上任一點Q到左焦點F的距離 QF 的取值范圍是[c＋a,＋∞)．

證明設(shè)P(x,y)(x≤－a),得

由x≤－a,可得 PF 的取值范圍是[ca,＋∞)．

同理可證,QF 的取值范圍是[c＋a,＋∞)．

由定理可得,在題3中應(yīng)有|PF1|＝5≥,還可證明當(dāng)b∈(0,時,均滿足題意．

題12(2017年高考北京卷文科、理科第8題)根據(jù)有關(guān)資料,圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080．則下列各數(shù)中與最接近的是( )(參考數(shù)據(jù):lg3≈0．48)

A．1033B．1053C．1073D．1093

商榷對于題11,北京教育考試院起初公布的答案是D．但筆者認(rèn)為正確答案是C(高考改卷時,選C或選D都給分),詳見本書的文章《商榷幾道高考題》中對“高考題9”的論述．

1 甘志國．2016年高考理科數(shù)學(xué)真題研究[M]．哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2017．598-601

2 甘志國．商榷2015年高考題中表述欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?0道題[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2015(5):55-59

3 甘志國．商榷2014年高考題中表述欠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧李}[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究,2014(12):24-25

4 甘志國．高考數(shù)學(xué)真題解密[M]．北京:清華大學(xué)出版社,2015

5 甘志國．對《選修2-1》中一道習(xí)題的研究．?dāng)?shù)理化學(xué)習(xí)(高一二版),2014(1):20

2017-07-19)