數(shù) 學(xué)園 地

錯在哪里

1新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團第二中學(xué)

張麗娟張國治(郵編:830002)

題目(2017年衡水中學(xué)模擬調(diào)研卷衡水金卷理科數(shù)學(xué)(五)第15題)

解析(該試卷提供的標準解答)

圖1

設(shè) ∠A、∠ABC,∠ACB所對的邊分別為a、b、c．如圖1所示,∠A＝90°,在Rt△BAD 中,BD ＝,在 Rt△CAE 中,,所以．依題意得BD·CE＝4,所以．又由正弦定理,可知,所以bc＝a2sinBsinC．因此,即,從而得到a＝2,故BC邊的長為2．

題目錯了，錯在哪里?

上述題目及解答似乎無懈可擊,但卻犯了一個致命的錯誤即符合題意的Rt△ABC是否存在?出題者在編擬試題時有心理上的“潛在假設(shè)”,即認為符合題意的三角形是存在的,但實際上本題一開始的前提便是謬誤,只得差若毫厘,謬以千里之果．

錯誤剖析1一個自然的思路是依據(jù)題設(shè)條件采用“減元”的策略,求出sinB或sinC后由正弦定理獲解．

錯誤剖析2同剖析1,從另外一個角度來探究的取值范圍,由式子結(jié)構(gòu)聯(lián)想到由積化和差公式得,而B、,故即,故,從而,當(dāng)且僅當(dāng)B－C＝0,即B＝C＝時,

若能夠救偏補弊,此題便不失為一道提升能力訓(xùn)練思維的好題．

試題修正已知Rt△ABC中,A＝90°,且,若B、C的角平分線的長的乘積為4,則BC邊的長為______．

試題推廣已知Rt△ABC中,∠A＝90°,且,若B、C的角平分線的長的乘積為n,則

解析設(shè)∠A、∠ABC、∠ACB所對的邊分別 為a、b、c．如 圖 1 所 示,∠A ＝90°,在Rt△BAD中,在 Rt△CAE中,,所以．所以．又由正弦定理,可知,即bc＝a2sinBsinC．因此,即4ma2＝n,從而得到,故BC邊的長為

由此題我們進行剖析可見,對于題目的編制應(yīng)遵循條件相容性原則,即題設(shè)條件之間不能互相矛盾．此題的錯誤比較隱蔽,需要深刻地從不同角度剖析．事實上,通過正本清源發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的錯誤在于命題者忽視了Rt△ABC中,∠A＝90°,且這一隱含條件．

解后反思(1)試題編擬過程中題目的條件對于推出結(jié)論是充分的,而有些條件不充分的題目之所以存在,是由于編擬試題和解題時有心理上的“潛在假設(shè)”,或邏輯上的“以偏概全”．當(dāng)然,在試題編擬過程中要特別注意隱含條件,題設(shè)條件不能與本系統(tǒng)的公理、定理、已知正確的結(jié)論等相矛盾,而且題設(shè)中的多個條件之間也不能互相矛盾．故我們應(yīng)注重在解題環(huán)節(jié)中需要“常回頭看看”,養(yǎng)成良好的檢查習(xí)慣．

(2)數(shù)學(xué)解題貴在自然．老子說:“出其致遠,其知彌少”在重技巧求功利的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,人人都有越發(fā)多元的方法和技巧,卻也都無意識的離天然越發(fā)遙遠,對真正的知識基礎(chǔ)越發(fā)茫然,失去了數(shù)學(xué)解題中所需的“真、善、美”．殊不知,數(shù)學(xué)解題及數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗為出發(fā)點和落腳點,跟著學(xué)生感覺走,努力尋求自然的解法．當(dāng)然,自然的解題思路,往往體現(xiàn)在經(jīng)過科學(xué)合理編制、仔細反復(fù)推敲的數(shù)學(xué)試題上．?dāng)?shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的．如果有人感到某個概念不自然,是強加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成過程,它的應(yīng)用,以及它與其它概念的聯(lián)系,你就會發(fā)現(xiàn)它的存在實際上是水到渠成、渾然天成的,不僅合情合理,甚至顯得很有人情味．