任芬芳，汪曉勤，陳玲玲

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美國(guó)早期數(shù)學(xué)教科書(shū)中的極限概念

任芬芳1，2，汪曉勤3，陳玲玲4

（1．華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，上海 200241；2．浙江師范大學(xué)行知學(xué)院，浙江金華 321004；3．華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院，上海 200062；4．上海市朱家角中學(xué)，上海 201713）

圍繞“極限概念”這一主題，考察了1870—1939年間出版的92種美國(guó)數(shù)學(xué)教科書(shū)，發(fā)現(xiàn)書(shū)中的極限定義分成動(dòng)態(tài)、靜態(tài)、動(dòng)靜結(jié)合3類(lèi)；大多數(shù)為描述性定義，少部分為形式化定義．對(duì)照歷史上數(shù)學(xué)家給出的極限定義得出結(jié)論：70年間，數(shù)學(xué)教科書(shū)中的極限概念的演變過(guò)程是極限概念歷史發(fā)展過(guò)程的一個(gè)縮影．

早期數(shù)學(xué)教科書(shū)；極限的定義；極限的歷史；認(rèn)識(shí)論障礙

1 引 言

17世紀(jì)，牛頓（Isaac Newton，1643—1727）、萊布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）創(chuàng)立了微積分，但牛頓發(fā)表的微積分論文由于不嚴(yán)密而受到質(zhì)疑．直到19世紀(jì)柯西（A. L. Cauchy，1789—1857）創(chuàng)立極限理論，才為微積分打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，完善了微積分．沒(méi)有極限，微積分岌岌可危．若對(duì)極限沒(méi)有深刻的認(rèn)識(shí)，也就不可能透徹地理解微積分的本質(zhì)，因此，極限理論的學(xué)習(xí)是微積分學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，而極限概念（尤其是它的分析定義）的教學(xué)則是微積分教學(xué)的難點(diǎn)之一．

著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)史家克萊因（M. Kline，1908—1992）曾指出：“每一位中學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)教師都應(yīng)該知道數(shù)學(xué)史；有許多理由，但最重要的一條理由或許是：數(shù)學(xué)史是教學(xué)的指南．”[1]研究概念的歷史、確定其發(fā)展緩慢和產(chǎn)生困難的時(shí)期有助于指明認(rèn)識(shí)論障礙的存在[2]．對(duì)產(chǎn)生于18世紀(jì)的極限概念來(lái)說(shuō)，19、20世紀(jì)的數(shù)學(xué)教科書(shū)能很好地體現(xiàn)其發(fā)生、發(fā)展的規(guī)律．為了更好地進(jìn)行極限理論教學(xué)，圍繞極限概念這個(gè)主題，以極限的描述性定義為主要研究對(duì)象，對(duì)美國(guó)20世紀(jì)中葉以前出版的數(shù)學(xué)教科書(shū)進(jìn)行考察，試圖回答以下問(wèn)題：92種教科書(shū)有哪些極限定義？這些定義是如何演變的？有何特征？與歷史上的極限概念有何聯(lián)系？

2 研究對(duì)象

選取20世紀(jì)中葉之前出版的92種美國(guó)數(shù)學(xué)教科書(shū)進(jìn)行研究．其中，代數(shù)教科書(shū)有25種（其中13種用于大學(xué)，其余用于中學(xué)．因查閱美國(guó)大學(xué)相關(guān)數(shù)學(xué)教科書(shū)，發(fā)現(xiàn)絕大多數(shù)沒(méi)有出現(xiàn)極限定義，而是直接使用極限概念，故將這13種大學(xué)代數(shù)教材一起討論），幾何教科書(shū)有67種（均用于中學(xué)）．主要作者有：G. A. Wentworth（1835—1906）、D. E. Smith （1860—1944）、W. Wells（1851—1916）等．若以10年為一段，圖1給出了各教科書(shū)的時(shí)間分布情況．

圖1 92種教科書(shū)的時(shí)間分布

在92種教科書(shū)中，極限概念散見(jiàn)于各種不同知識(shí)點(diǎn)的章節(jié)中，并沒(méi)有很明確的歸屬．

就25種代數(shù)教科書(shū)而言，所在章節(jié)大致可以分為“零與無(wú)窮”、“級(jí)數(shù)與極限”、“變量與極限”、“函數(shù)與極限”、“極限”及“線性方程”6類(lèi)，詳見(jiàn)表1．

表1 極限概念在25種代數(shù)教科書(shū)中的章節(jié)分布

可以發(fā)現(xiàn)，“變量與極限”這一章節(jié)所占比例最高，為44%；在有關(guān)章節(jié)的標(biāo)題中出現(xiàn)“極限”的教科書(shū)共計(jì)20種，占80%，但極限內(nèi)容單獨(dú)成章的教科書(shū)僅有5種．

就67種幾何教科書(shū)而言，所在章節(jié)大致可以分為“圓與圓的度量”、“比與比例”、“極限理論”、“量”、“多面體、圓柱、錐體”及“附錄”6類(lèi)，詳見(jiàn)表2．

表2 極限概念在67種幾何教科書(shū)中的章節(jié)分布

很明顯，“圓與圓的度量”所占比例最高，為70%，遠(yuǎn)高于第二位的“比與比例”；而極限內(nèi)容單獨(dú)成章的教科書(shū)僅有4種，占6%．

92種教科書(shū)中章節(jié)標(biāo)題涉及“極限”的并不多，共24種，僅占26.1%．

統(tǒng)觀92種教科書(shū)中的極限概念，其呈現(xiàn)方式分為5種：直接給出定義，先給引例再給定義，先給定義再給例子，引例、定義、例子3者皆有，只有描述沒(méi)有定義．

圖2 極限概念在92種教科書(shū)中呈現(xiàn)方式分布

如圖2所示，先給定義再給例子的方式所占比例最高，為68.5%；僅給出定義的教科書(shū)所占比例也不少，為16.3%．

3 極限定義的類(lèi)型

3.1 分 類(lèi)

統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，92種教科書(shū)給出的極限定義主要可分成3類(lèi)：第一類(lèi)是動(dòng)態(tài)的描述，“變量越來(lái)越接近或趨近常量”，稱(chēng)為“動(dòng)態(tài)定義”；第二類(lèi)則是靜態(tài)的描述，“變量與常量的差小于任意給定的數(shù)”，稱(chēng)為“靜態(tài)定義”；第三類(lèi)則把兩者結(jié)合起來(lái)使用，在一個(gè)定義中既有“趨近”也有“差”，稱(chēng)為“動(dòng)靜結(jié)合定義”．此外，其中兩種教科書(shū)并未給出明確的定義，只是用引導(dǎo)性的描述語(yǔ)言闡述“極限概念”．

表3列舉了92種教科書(shū)中所出現(xiàn)的3類(lèi)定義的典型形式，其中動(dòng)態(tài)定義5個(gè)、靜態(tài)定義4個(gè)、動(dòng)靜結(jié)合定義7個(gè)．

表3 92種教科書(shū)中出現(xiàn)的極限定義的典型形式

下面給出“沒(méi)有明確定義”的“極限概念”：

（1）提問(wèn)什么是變量、常量．

（2）給出例①：點(diǎn)在線段上移動(dòng)，第一秒到達(dá)中點(diǎn)，第二秒到達(dá)剩下一半的中點(diǎn)，第三秒到達(dá)剩下四分之一的中點(diǎn)……隨后提出3個(gè)問(wèn)題：產(chǎn)生了哪兩個(gè)不同的距離；距離接近哪個(gè)距離，何時(shí)達(dá)到；距離接近哪個(gè)距離，何時(shí)達(dá)到．例②：將分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成一位小數(shù)、兩位小數(shù)、三位小數(shù)、……隨后提問(wèn)：每次改寫(xiě)對(duì)小數(shù)的值有什么影響，接近多少；每次改寫(xiě)對(duì)與小數(shù)的差有什么影響，接近多少．

（3）提問(wèn)什么是變量的極限、上極限、下極限．

（4）變量可以與它的極限接近到什么程度．

（5）繼續(xù)舉例：①一個(gè)長(zhǎng)方形的短邊連續(xù)變化，問(wèn)哪些邊是變量，極限是多少；角是變量嗎，極限是多少；面積受到什么影響，極限是多少？為什么逐漸減小的邊不能變成零？②圓內(nèi)接正多邊形（如正方形或等邊三角形），二等分每段弧，并連接成弦，得到兩倍邊數(shù)的內(nèi)接正多邊形，類(lèi)似地得到四倍、八倍、……邊數(shù)的圓內(nèi)接正多邊形，問(wèn)變量的最終形式與極限．

（6）提及有時(shí)變量不能無(wú)限接近極限，如上述圓內(nèi)接多邊形的例子倒過(guò)來(lái)．

上述提問(wèn)并沒(méi)有給出答案，也沒(méi)有給出具體定義，只是引導(dǎo)學(xué)生慢慢了解什么是“變量的極限”．但毫無(wú)疑問(wèn)，這個(gè)過(guò)程蘊(yùn)含了極限概念．

3.2 分 布

3類(lèi)定義的總數(shù)基本持平，個(gè)別教科書(shū)出現(xiàn)兩類(lèi)定義，其中動(dòng)態(tài)定義27個(gè)，靜態(tài)定義33個(gè)，動(dòng)靜結(jié)合定義37個(gè)．圖3是3類(lèi)定義的具體時(shí)間分布，以10年為分布單位．

如圖3所示，92種教科書(shū)的極限概念開(kāi)始于動(dòng)態(tài)定義，結(jié)束于靜態(tài)定義．前后各20年的教科書(shū)數(shù)量較少，重點(diǎn)考察中間30年，即1890—1919．有一個(gè)很明顯的現(xiàn)象：1890—1899這10年動(dòng)態(tài)定義多于其它兩種定義，1900—1909這10年3種定義差不多，而1910—1919這10年動(dòng)態(tài)定義少于其它兩種定義．

圖3 3類(lèi)定義的時(shí)間分布

3類(lèi)定義中既有純文字的“描述性定義”，也有字母、符號(hào)表示的“形式化定義”．圖4呈現(xiàn)的是這些教科書(shū)中極限定義的演變過(guò)程，圖5是這些定義的數(shù)量分布．

圖4 極限定義的演變

圖5 極限定義的數(shù)量分布

第一個(gè)動(dòng)態(tài)定義出現(xiàn)在1872年，出自塔班（E. T. Tappan, 1824—1888）的《平面與立體幾何》[6]，是描述性定義．1904年出現(xiàn)形式化定義，即：當(dāng)接近定值，且-任意小時(shí)，無(wú)限接近定值l，那么l稱(chēng)為當(dāng)趨近時(shí)的極限．該定義出自查理·斯密（C. Smith，1844—1916）的《初等代數(shù)》[20]，是全部動(dòng)態(tài)定義中唯一一個(gè)形式化定義．

第一個(gè)靜態(tài)定義出現(xiàn)在1885年，即：當(dāng)變量的值能用一系列確定的區(qū)間測(cè)量并持續(xù)進(jìn)行時(shí)，與給定常數(shù)的差小于任意給定的量，無(wú)論多小，但不能完全等于這個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱(chēng)為變量的極限，出自溫特沃斯（G. A. Wentworth, 1835—1906）的《平面與立體幾何基礎(chǔ)》[9]，是描述性定義．1904年出現(xiàn)形式化定義，即：變量按一個(gè)給定的無(wú)窮序列改變，如果差保持小于每個(gè)給定的正數(shù)，那么被稱(chēng)為接近極限，出自范（H. B. Fine，1858—1928）的《范氏大代數(shù)》[19]．1909年出現(xiàn)了含有“差的絕對(duì)值”的形式化定義，即：假定常數(shù)和變量在變化時(shí)滿(mǎn)足保持小于任意給定數(shù)(>0)，那么稱(chēng)趨近極限，出自里茨（H. L. Rietz，1875—1943）與克雷索恩（A. R. Crathorne，1873—1946）的《大代數(shù)》[22]．靜態(tài)定義中共有5個(gè)形式化定義，其中兩個(gè)使用“”，3個(gè)使用“”或等價(jià)形式．這些形式化定義均出現(xiàn)在代數(shù)教科書(shū)中，但沒(méi)有必然規(guī)律．

而第一個(gè)動(dòng)靜結(jié)合定義出現(xiàn)在1880年，即：一個(gè)量按照一定的規(guī)律接近某個(gè)確定的量，如果第一個(gè)量可以無(wú)限接近但不能達(dá)到第二個(gè)量，那么第二個(gè)量（不變的量）稱(chēng)為第一個(gè)量（變量）的極限，出自布拉德伯里（W. F. Bradbury，1829—1914）的《初等幾何》[7]，也是描述性定義，比第一個(gè)靜態(tài)定義早5年．1899年出現(xiàn)形式化定義，即：變量越來(lái)越接近一個(gè)常數(shù)，與的差保持小于任意給定的量，那么稱(chēng)為的極限，出自比曼（W. W. Beman，1850—1922）的《新平面與立體幾何》[15]．動(dòng)靜結(jié)合定義中共有5個(gè)形式化定義，其中兩個(gè)出現(xiàn)在代數(shù)教科書(shū)中，3個(gè)出現(xiàn)在幾何教科書(shū)中；且與前面兩類(lèi)不同，首次出現(xiàn)形式化定義是在幾何教科書(shū)中．

綜上，描述性定義貫穿整個(gè)考察年代，而形式化定義雖有出現(xiàn)，卻寥寥無(wú)幾．

3.3 釋 例

由于極限概念難以理解，絕大多數(shù)教科書(shū)都給出了具體的例子對(duì)極限定義加以闡釋?zhuān)鶕?jù)這些例子的特征將其分成4類(lèi)．

3.3.1 “芝諾悖論”型

即：動(dòng)點(diǎn)沿著線段從點(diǎn)往點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，首先到達(dá)的中點(diǎn)，再到達(dá)的中點(diǎn)，然后到達(dá)的中點(diǎn)……在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的距離趨近于線段的長(zhǎng)度，即線段長(zhǎng)度就是距離的極限．

這類(lèi)例子出現(xiàn)在絕大多數(shù)教科書(shū)中，與中國(guó)古代《莊子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”有異曲同工之妙，不論哪一類(lèi)定義都可以使用．上述形式常用于闡釋動(dòng)態(tài)定義或動(dòng)靜結(jié)合定義．

而教科書(shū)中出現(xiàn)的這類(lèi)例子還有兩種形式：

（2）將一個(gè)長(zhǎng)方形二等分，其中之一再二等分，再取其一二等分，……依次類(lèi)推，小長(zhǎng)方形的面積依次是原長(zhǎng)方形面積的,,,, …，可以小于任意所給定的常數(shù)．這種形式出現(xiàn)較少，用于闡釋幾何教科書(shū)中動(dòng)態(tài)定義．

3.3.2 “無(wú)限小數(shù)”型

3.3.3 “圓的度量”型

首先指出圓內(nèi)接（外切）正多邊形（如正方形或等邊三角形）將圓分成若干等弧，二等分每段弧，并連接弦，得到兩倍邊數(shù)的內(nèi)接正多邊形；重復(fù)這個(gè)過(guò)程，依次得到四倍、八倍……邊數(shù)的內(nèi)接（外切）正多邊形．緊接著問(wèn)產(chǎn)生了哪些變量，這些變量的極限是多少．如圓周長(zhǎng)、圓面積、圓半徑分別是圓內(nèi)接（外切）多邊形周長(zhǎng)、面積、邊心距的極限，等等．

這類(lèi)例子主要用于闡釋在與圓相關(guān)的章節(jié)中出現(xiàn)的極限定義，以動(dòng)靜結(jié)合定義為主；既有正多邊形“接近”圓的過(guò)程，也有相應(yīng)兩個(gè)量的“差”可以小于任意給定的量．

3.3.4 “幾何元素”型

主要有以下幾種情況：

（1）長(zhǎng)方形的短邊連續(xù)變化，問(wèn)邊、角、面積的極限分別是多少？并提出一個(gè)很關(guān)鍵的問(wèn)題：“為什么逐漸減小的邊不能變成零？”

（2）增大等腰三角形的兩腰長(zhǎng)，則兩底角不斷增大，趨近直角，但是不能取到直角，這個(gè)過(guò)程中兩底角的極限是直角．

（3）增大直角三角形的其中一條直角邊，則其對(duì)應(yīng)的角不斷增大，趨近直角，但是不能取到直角，這個(gè)過(guò)程中該銳角的極限當(dāng)然也是直角．

這類(lèi)例子主要用于闡釋動(dòng)態(tài)定義，涉及幾何圖形（圓除外）的元素，出現(xiàn)在幾何教科書(shū)中，強(qiáng)調(diào)“動(dòng)”的過(guò)程．

綜上，4類(lèi)例子與定義類(lèi)型有一定的相關(guān)性．如“一尺之棰”型可靜可動(dòng)，不同的形式對(duì)應(yīng)不同的定義類(lèi)型．

此外，這4類(lèi)例子均符合定義中的“變量與常量不能相等”這一點(diǎn)，或許是人們認(rèn)為“變量不能等于極限”的原因之一．

4 討 論

4.1 數(shù)學(xué)家給出的極限定義

古希臘詭辯學(xué)派的安提豐（Antiphon，公元前426—公元前373）在解決“化圓為方”的問(wèn)題時(shí)提出如下方法：作圓內(nèi)接正方形，將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接正八邊形；再將邊數(shù)加倍，得內(nèi)接正十六邊形……；依此類(lèi)推，最后正多邊形窮竭了圓．后來(lái)阿基米德將其發(fā)展為“窮竭法”，是極限思想的萌芽．當(dāng)時(shí)的“極限”觀念是純幾何的，而目前常用的極限概念是數(shù)量的[26]．

公元18世紀(jì)，隨著微積分的創(chuàng)立，數(shù)學(xué)家們對(duì)極限概念開(kāi)始進(jìn)一步討論．微積分的基礎(chǔ)薄弱，究其原因是算術(shù)觀念與幾何觀念的混雜，這也是牛頓與萊布尼茲工作中許多含糊不清的根源[26]．直到19世紀(jì)，柯西將極限概念明確為算術(shù)的[26]，并建立極限理論，才為微積分奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)．

極限概念從最初的“幾何”觀念轉(zhuǎn)變?yōu)楹髞?lái)的“數(shù)量”觀念，這一事實(shí)與92種教科書(shū)中幾何教科書(shū)居多相符．

在微積分創(chuàng)立前后的數(shù)個(gè)世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們?cè)?jīng)給出的、較有代表性的極限定義有：

1655年，英國(guó)數(shù)學(xué)家沃里斯（J. Wallis，1616—1703）在《無(wú)窮小算術(shù)》中提出了函數(shù)極限的算術(shù)概念：它是被函數(shù)逼近的數(shù)，使得這個(gè)數(shù)和函數(shù)之間的差能夠小于任一指定的數(shù)，并且當(dāng)過(guò)程無(wú)限地繼續(xù)下去，差最終將消失[27]．

1735年，英國(guó)數(shù)學(xué)家羅賓斯（B. Robins，1707—1751）在《論艾薩克·牛頓爵士的流數(shù)法以及最初比與最終比方法的本質(zhì)與可靠性》一書(shū)中這樣定義極限：當(dāng)一個(gè)變量能以任意接近程度逼近一最終的量（雖然永不能絕對(duì)等于它），我們定義這個(gè)最終的量為極限[28]．

1821年，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在《分析教程》中寫(xiě)道：當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨近一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就有多小，這個(gè)定值就叫做所有其它值的極限[29]．

約1860年，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯（K. W. T. Weierstrass，1815—1897）認(rèn)為上述定義不夠明確而給出了現(xiàn)在所使用的定義：如果給定任何一個(gè)正數(shù)，都存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)于區(qū)間內(nèi)的所有都有，則說(shuō)在處有極限[29]．

可以發(fā)現(xiàn)，這4個(gè)的極限定義包括了動(dòng)態(tài)、靜態(tài)及動(dòng)靜結(jié)合定義；先有描述性定義，再有形式化定義；從有記載的極限定義演變?yōu)殪o態(tài)形式化定義跨越了兩百多年，如圖6所示．

圖6 數(shù)學(xué)家的極限定義

羅賓斯給出的定義強(qiáng)調(diào)了變量與其極限不能相等，有38.7%的教科書(shū)的定義也體現(xiàn)了這一點(diǎn)；創(chuàng)立了極限理論的柯西所給出的極限定義是動(dòng)態(tài)描述性定義；97個(gè)定義中只有11個(gè)形式化定義，但與維爾斯特拉斯的定義相比還是有所欠缺的．

教科書(shū)中極限定義的演變體現(xiàn)了極限概念的歷史演變過(guò)程．

4.2 極限概念的認(rèn)識(shí)論障礙

極限概念在歷史上有4大認(rèn)識(shí)論障礙[2]：（1）數(shù)形未能結(jié)合；（2）無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念；（3）極限概念的定義形式；（4）極限能否取到？下面結(jié)合教科書(shū)中的極限概念對(duì)這4大認(rèn)識(shí)論障礙進(jìn)行分析．

（1）早期教科書(shū)所用的闡釋定義的例子基本上是“路歸路，橋歸橋”，幾何教科書(shū)用幾何例子，代數(shù)教科書(shū)用代數(shù)例子．即使代數(shù)教科書(shū)的定義用幾何例子來(lái)闡釋?zhuān)矝](méi)有將其轉(zhuǎn)換成代數(shù)形式，基本沒(méi)有實(shí)現(xiàn)“數(shù)形結(jié)合”．

究其緣由，或是因?yàn)榘严鄳?yīng)的幾何例子代數(shù)化并不容易，且用描述性語(yǔ)言來(lái)說(shuō)明定義更容易讓學(xué)習(xí)者接受．

（2）動(dòng)態(tài)定義一般用“越來(lái)越接近”或“趨近”這類(lèi)詞來(lái)表示變化過(guò)程，只有兩個(gè)定義例外，一個(gè)用“足夠的步數(shù)”、而另一個(gè)定義用“無(wú)窮多個(gè)連續(xù)的值”．而靜態(tài)定義一般用“無(wú)論多小”或“小于任意給定的量”來(lái)表示變量與其極限的差．說(shuō)明早期教科書(shū)避免出現(xiàn)“無(wú)窮大”和“無(wú)窮小”的概念．

（3）從極限定義形式的演變來(lái)看，總共3類(lèi)97個(gè)定義中，描述性定義占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，且貫穿始終．形式化定義首次出現(xiàn)在1899年，在考察的這些定義中出現(xiàn)較早，但其后處于弱勢(shì)，隨機(jī)出現(xiàn)，總共只有11個(gè)．67種幾何教科書(shū)總共只有3個(gè)形式化定義，而代數(shù)教科書(shū)1903年才出現(xiàn)形式化定義，但稍晚的代數(shù)教科書(shū)基本上都采用了形式化定義．

（4）92種教科書(shū)中最早出現(xiàn)的極限定義強(qiáng)調(diào)“變量不能達(dá)到常量”，即變量不能等于極限，共有36種教科書(shū)提及，占38.7%．這點(diǎn)隨著時(shí)間的推移慢慢弱化、定義中不再要求，但闡釋定義仍然是“不能相等”的例子，容易產(chǎn)生誤解．

因此，92種教科書(shū)中呈現(xiàn)的極限定義特征及其釋例體現(xiàn)了歷史上人們對(duì)極限概念的4大認(rèn)識(shí)論障礙．

5 結(jié)論與啟示

綜上所述，早期教科書(shū)中的極限定義可以分成動(dòng)態(tài)定義、靜態(tài)定義、動(dòng)靜結(jié)合定義3類(lèi)．這3類(lèi)定義在數(shù)量上相差不大．這些定義大多數(shù)為描述性定義，且貫穿始終；少部分為形式化定義，零星點(diǎn)綴．整體來(lái)看，92種教科書(shū)中呈現(xiàn)的極限定義及其特征體現(xiàn)了人們對(duì)極限概念的不同理解．

基于以上分析得到如下啟示．

（1）對(duì)教科書(shū)編寫(xiě)的啟示．

（2）對(duì)教學(xué)要求的啟示．

從極限思想的萌芽到極限理論的建立經(jīng)歷了數(shù)千年，那么多偉大的數(shù)學(xué)家對(duì)極限尚不能很快融會(huì)貫通，對(duì)學(xué)生當(dāng)然也不能操之過(guò)急．92種教科書(shū)中出現(xiàn)的極限定義不完善的地方，如“變量與極限的差小于任意給定的常數(shù)”、“變量不能等于它的極限”、沒(méi)有涉及“某一變化過(guò)程”等，其實(shí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)極限概念時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤．了解了這些教科書(shū)中的極限定義以后，也就知道學(xué)生出現(xiàn)的這些錯(cuò)誤是很正常的．在了解學(xué)生認(rèn)知發(fā)展規(guī)律的前提下，在教學(xué)中對(duì)這些地方需要特別關(guān)注．

（3）對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)的啟示．

教科書(shū)的定義呈現(xiàn)方式中有示例（包括引例和舉例）的占84%，而極限定義的理解又是一個(gè)難點(diǎn)，所以不論教科書(shū)中采用何種形式，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)可以采用“引例+定義+舉例”的形式．引例可以幫助學(xué)生對(duì)極限有一個(gè)初步的了解，形成概念雛形；隨后給出極限定義，幫助學(xué)生對(duì)極限有一個(gè)統(tǒng)籌的觀點(diǎn)，并與自己形成的概念雛形加以比較；而后舉例說(shuō)明，幫助學(xué)生理解極限定義、并修正自己的概念雛形，最終將極限定義內(nèi)化．

英國(guó)數(shù)學(xué)家德摩根（A. De Morgan，1806—1871）強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)中的歷史次序，認(rèn)為教師在教代數(shù)時(shí)，不應(yīng)該一下子把新符號(hào)都解釋給學(xué)生，而應(yīng)該讓學(xué)生按歷史順序去學(xué)習(xí)符號(hào)[3]．雖然早期教科書(shū)中的極限概念還不是很完善，但正是這種不完善，才更符合人們的認(rèn)知過(guò)程，據(jù)此可以確定學(xué)生對(duì)極限概念理解的認(rèn)識(shí)論障礙．從極限思想的初步萌芽，到柯西初步創(chuàng)立極限理論，再到數(shù)學(xué)教科書(shū)的出版，歷經(jīng)數(shù)千年的時(shí)間，仍然沒(méi)有、的影子，那么要讓學(xué)生們短短數(shù)十分鐘掌握“”語(yǔ)言并不是一件容易的事情．美國(guó)早期數(shù)學(xué)教科書(shū)是一面鏡子，從中折射出人們理解極限概念的困難，據(jù)此完全可以預(yù)測(cè)、并深刻理解今日課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)困難．

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Limit Concept in the Early American Mathematical Textbooks

REN Fen-fang1, 2, WANG Xiao-qin3, CHEN Ling-ling4

(1. Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Xingzhi College Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China;3. Teacher Education College, East China Normal University, Shanghai 200241, China;4. Shanghai Zhujiajiao Secondary School, Shanghai 201713, China)

In this paper, the definitions of limit in 92 American mathematical textbooks published before the middle of the 20th century are examined. It was found that there are three types of definitions of limit: dynamic, static and mixed and the majority of them are descriptive definitions. Compared with the definitions given by mathematicians, the evolution of the concept of limit was just a miniature of its long history.

early mathematics textbooks; definition of limit; history of the concept of limit; epistemological obstacles

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

G40-059.3

A

1004–9894（2017）04–0038–06

2017–03–20

上海市教育科學(xué)研究項(xiàng)目——中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的有效設(shè)計(jì)，子課題——中小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中數(shù)學(xué)文化素材的案例設(shè)計(jì)（D1508）；浙江省2014年高等學(xué)校訪問(wèn)學(xué)者專(zhuān)業(yè)發(fā)展項(xiàng)目——HPM視角下的微積分教學(xué)研究（FX2014008）

任芬芳（1982—），女，浙江東陽(yáng)人，華東師范大學(xué)博士研究生，主要從事數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育研究．