肖宏治，梅俊雷，李艷琴，饒永生

?

教育數(shù)學思想在《中學數(shù)學研究》課程改革中的實踐研究

肖宏治1，梅俊雷1，李艷琴1，饒永生2

（1．貴州師范學院數(shù)學與計算機科學學院，貴州貴陽 550018；2．廣州大學計算機科學與教育軟件學院，廣東廣州 510006）

改造數(shù)學使之更適宜教學是教育數(shù)學的任務．張景中院士主持開發(fā)的“超級畫板”為教育數(shù)學思想的實踐提供了強有力的支撐．在教育數(shù)學思想指導下，將“超級畫板”運用于高師數(shù)學專業(yè)《中學數(shù)學研究》課程教學改革實踐，并滲透教育數(shù)學思想，以函數(shù)為例引導學生進行了多層次的探索與實踐，使學生對知識的形成獲得了良好的認知體驗，對相關知識的掌握更加牢固，對不同知識之間相互聯(lián)系的理解更加深入，有效地提升了學生的數(shù)學思維水平．《中學數(shù)學研究》的教學應該做到：突出“研究”的味道；探尋不同數(shù)學知識之間的結合點；發(fā)揮超級畫板的優(yōu)勢；轉變思維方式以提高效率．

教育數(shù)學思想；中學數(shù)學研究；課程改革實踐；超級畫板

1 引 言

隨著中國新一輪基礎教育改革的不斷深入，已有相當一部分現(xiàn)代數(shù)學知識進入中學課堂，主要包括：初等微積分、初等集合論、數(shù)理邏輯引論、概率論和統(tǒng)計引論等相關知識．由此也促使了高師院校師范類專業(yè)部分課程的變革，使之最終服務于基礎教育改革與發(fā)展．有學者認為[1]：在師范生教師教育類課程的改革中，應注重方法與理性實踐的指導．《中學數(shù)學研究》正是師范類專業(yè)的一門理論性與實踐性都很強的重要必修課程，主要包括中學代數(shù)研究和中學幾何研究兩部分，其內(nèi)容體系基本按照中學數(shù)學知識進行編排．然而長期以來，該課程的教學內(nèi)容沒有較大的變化，大都是對中學內(nèi)容的重新整理歸類、再一次強調和深化，沒有從本質上改變該課程的內(nèi)容和體系，教學手段和媒介也比較落后和陳舊[2]．因此，為了更好地與基礎教育的改革相銜接，更好地為基礎教育改革服務，高師院校對該門課程的改革是非常重要也非常緊迫的．由于《中學數(shù)學研究》這門課程內(nèi)容知識多、雜、散，且教學時數(shù)也有限，如何妥善安排，形成一個優(yōu)化的中學數(shù)學研究系統(tǒng)，光靠教學法加工顯然不夠，還需要數(shù)學上的再創(chuàng)造或對知識的重構，這一改革思路正好符合張景中院士“教育數(shù)學”的思想．為此，在教育數(shù)學思想的指導下去進行課程的教學改革和實踐探索，從本質上改變課程內(nèi)容的難度和深度，優(yōu)化課程的內(nèi)容體系，使其更符合時代發(fā)展，培養(yǎng)出更多優(yōu)秀的數(shù)學師范生，是亟待研究的問題．

2 理論基礎

2.1 文獻綜述

在20世紀80年代末，張景中院士總結自己的教學實踐，開辟了“教育數(shù)學”的研究領域，提出了“教育數(shù)學”思想，將作為科學的數(shù)學進行“再創(chuàng)造”，使其變?yōu)樽鳛榻逃臄?shù)學，這種“再創(chuàng)造”已超出了對數(shù)學進行“教學法加工”的范疇[3]．越來越多的人認識到：“教育數(shù)學”思想可以充分體現(xiàn)國家基礎教育課程改革的理念，進行數(shù)學課程改革是深入進行教育數(shù)學研究的良好契機．數(shù)學教育改革實踐已初步顯示：“教育數(shù)學”思想作為一種新的數(shù)學教育觀的反映，既可以吸收現(xiàn)代教育科學研究的成果，又對數(shù)學研究成果材料進行改造創(chuàng)新優(yōu)化，揭示數(shù)學知識之間的緊密關系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律形成的優(yōu)化過程，提煉數(shù)學思想，選擇最優(yōu)呈現(xiàn)方式，發(fā)掘普適性解決數(shù)學問題的方法，讓學習者容易地學習數(shù)學知識的同時，掌握數(shù)學本質，提高數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)數(shù)學能力[4~6]．

同時，在信息化教學的今天，信息技術與課程內(nèi)容的整合已成為中學數(shù)學課程的基本理念之一，信息技術的發(fā)展對數(shù)學教育的價值、目標、內(nèi)容以及教學方式產(chǎn)生了很大的影響[7]．已有許多學者對信息技術在數(shù)學教學中的應用進行了研究，有學者認為將信息技術運用于數(shù)學教學的目的是使學生在分析和解決數(shù)學問題過程中，能借助信息技術更好地認識和把握問題的實質及其相互關系[8]．有學者認為信息技術融入數(shù)學教育有利于展現(xiàn)抽象思維的理性文化特點，提升對數(shù)學對象關聯(lián)性的理解[9]．而由張景中院士主持策劃、李傳中等設計開發(fā)的“超級畫板”平臺可以很好地與中學數(shù)學課程內(nèi)容進行整合，在“超級畫板”平臺上建立動態(tài)的圖形和模型，能夠觀察到圖形的動態(tài)變化和物體的運動過程以及實驗的變化，這對學生的自學能力、探索精神、創(chuàng)新意識、科學素養(yǎng)都有積極的影響，且已有研究表明[10~11]，超級畫板為教育數(shù)學思想的應用與實踐及師范生的培養(yǎng)提供了非常有利的平臺和條件．

2.2 分析框架

在《中學數(shù)學研究》課程教學改革和實踐過程中，嘗試保留其課程內(nèi)容精華部分，加入張景中院士《一線串通的初等數(shù)學》相關章節(jié)內(nèi)容，使用“超級畫板”數(shù)學教育軟件教學，將教育數(shù)學思想與《中學數(shù)學研究》課程體系聯(lián)系起來，從而優(yōu)化課程體系．由于《一線串通的初等數(shù)學》是以三角學為基礎，認為三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的一座橋梁，是溝通初等數(shù)學和高等數(shù)學的一條通道，提出了“下放三角，全局皆活”的概念和體系．而“超級畫板”則是集“寫、畫、測、算、編、演、推、變”等功能于一身，是為中國基礎教育量身定做的智能軟件，是當今最為成熟、最為完善的軟件之一，且內(nèi)置三角函數(shù)的各種公式與化簡方法，它能夠準確、生動地反映“下放三角，全局皆活”的數(shù)學實踐，用“超級畫板”能夠將教育數(shù)學的思想淋漓盡致地反映和呈現(xiàn)出來．同時，教師將現(xiàn)代化的信息手段和傳統(tǒng)的教學方式有機地結合，打破傳統(tǒng)的靜態(tài)文本的模式，生動、形象、鮮活地將數(shù)學知識的動態(tài)文本有趣地呈現(xiàn)在教的過程中．通過《中學數(shù)學研究》課程教學改革，試圖為學生的思考打開一扇窗戶，使學生擁有真正意義上的數(shù)學實驗室，學生通過實驗可以看到在參數(shù)和對象變化后圖形形成的過程，能夠在極短時間內(nèi)看到“超級畫板”對幾何問題自動證明的過程與結果，以及運用“超級畫板”驗證和推導自己的想法．

3 研究方法與過程

3.1 被 試

實驗選取貴州師范學院2013級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)的兩個班級本科生作為實驗對象，于2015年秋季學期對這兩個班的《中學數(shù)學研究》課程教學進行改革．

3.2 研究過程

該次課程教學改革實踐研究依托2014年度貴州省省級本科教學工程建設項目“教育數(shù)學思想在本科《中學數(shù)學研究》課程體系中的應用與實踐（黔教高發(fā)【2014】378號）”進行，實踐周期為一學期，總教學時數(shù)為54學時，每周3學時．為實踐的順利進行，在2015年上半年，專門為2013級數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)開設了第二課堂“超級畫板興趣班”，通過課外學習，學生基本了解和掌握了超級畫板的基礎知識和基本操作．實踐中借助超級畫板的功能和特色，結合張景中院士的教育數(shù)學思想對《中學數(shù)學研究》課程內(nèi)容進行改革，具體見表1．

課程教學改革實踐中，有18位學生繼續(xù)組成興趣小組，在授課教師的指導下進行超級畫板的相關研究學習，研究如何借助超級畫板解決數(shù)學問題，研究超級畫板在數(shù)學課件制作中的應用，研究超級畫板在中小學數(shù)學教學中的應用等．

表1 《中學數(shù)學研究》課程內(nèi)容改革

3.3 改革實踐案例：函數(shù)的圖象與函數(shù)的特征

《中學數(shù)學研究》課程中函數(shù)部分內(nèi)容主要包含：函數(shù)的概念及其發(fā)展；函數(shù)的一般概念及其性質；初等函數(shù)的概念及其主要性質等8個方面的內(nèi)容．其中“函數(shù)概念的3種定義、函數(shù)的圖象與函數(shù)的特征”是重點講解內(nèi)容[12~13]．如何在教學過程中使學生用高等數(shù)學的觀點來看待函數(shù)，從“研究”的角度學習函數(shù)，使之更進一步掌握函數(shù)相關內(nèi)容，這是一個難題．超級畫板在曲線作圖、幾何變換、代數(shù)運算方面具有獨特優(yōu)勢，為解決這一難題提供了非常實用的工具，現(xiàn)以“函數(shù)的圖象與函數(shù)的特征”一節(jié)的教學及探索過程為例呈現(xiàn)如下．

圖1 軸對稱圖形驗證

圖2 旋轉函數(shù)圖象

此時還不足以得到結論，還需驗證它是否是某一具體的標準雙曲線，若直接求解比較困難，故而反過來思考，先假設旋轉后圖象就是某一標準雙曲線，求解出其標準方程，再畫出圖象，看其是否與旋轉后圖象重合．根據(jù)函數(shù)圖象的漸近線與對稱軸的夾角是，可知標準雙曲線的漸近線與軸夾角也是，所以．再根據(jù)函數(shù)的圖象與對稱軸的交點，的長度即標準雙曲線頂點到原點的距離，求得，繼而求得．在超級畫板中，選擇原點，直接點擊快捷按鈕“圓錐曲線”，填入、值，即得標準雙曲線，如圖3所示．

圖3 旋轉驗證標準雙曲線

既然是旋轉，那么能否通過代數(shù)方法實現(xiàn)旋轉或者其它方法，以嚴格證明函數(shù)的圖象是雙曲線，故而可進一步探究．由于探究過程稍有繁瑣，并且不是所有學生都能熟練掌握超級畫板，所以未在課堂進行，留作課后作業(yè)由學生自行探究．課后在指導超級畫板興趣小組時帶領小組成員進行一番探索，收獲良多．

通常所說的坐標旋轉變換包含兩種：一是旋轉圖象，二是旋轉坐標系．兩種都可以實現(xiàn)旋轉，在此僅寫出第一種的探究過程．平面直角平面坐標系中，點(,)繞坐標原點逆時針旋轉角，到達點￠(,)，點￠與點的坐標關系是，．在此次探究過程中，，帶入前面的關系式即可得到旋轉后點￠(,)的兩個坐標的關系，需要驗證￠的坐標和滿足雙曲線標準方程．由于計算過程涉及負數(shù)冪和非特殊角的三角函數(shù)運算，非常繁瑣，興趣小組的學生花了很長時間也未能準確計算出結果，不得不另尋他法．經(jīng)過探索，一位擅長編寫程序的學生利用超級畫板找到了解決方法：先在程序工作區(qū)編程計算出和的表達式，消除，兩者均只用表示，如圖4所示；再通過超級畫板中畫“一般曲線”的“參數(shù)方程形式”畫出圖象，結果顯示：由參數(shù)方程畫出的曲線（圖5中虛曲線）與雙曲線（圖5中加粗實曲線）重合．此法無需進行復雜計算，大大節(jié)省了時間，讓學生進一步體會了超級畫板在編程、計算、畫圖方面的強大功能．

圖4 程序計算

圖5 用參數(shù)方程畫出雙曲線

上述過程中最重要部分是旋轉前后坐標的關系式，用矩陣可表示為：，仔細觀察可發(fā)現(xiàn)矩陣是一個正交矩陣，這意味著上述旋轉變換是一個正交變換，在高等代數(shù)中正交變換在化二次型為標準型中應用較多，而且雙曲線標準方程的左端部分就是一個標準二次型，它們之間的聯(lián)系引發(fā)學生進一步探究．

4 研究結果與分析

4.1 被試總體成績分析

在講授《中學數(shù)學研究》課程時，由于課時數(shù)有限，并且不是所有學生都能夠熟練使用超級畫板，所以只是在部分課程內(nèi)容講授時初步嘗試使用超級畫板．在教學過程中，通過觀察學生在課堂上的表現(xiàn)、分析課后作業(yè)情況以及和學生的交談，發(fā)現(xiàn)學生對超級畫板越來越感興趣，對幾何相關內(nèi)容的思考更加深入，并且能夠嘗試從不同的角度和思路來解決問題．兩個班級的《中學數(shù)學研究》期末考試卷面成績分段統(tǒng)計如表2所示，不及格率為15.22%，及格人數(shù)占18.48%，中等人數(shù)占38.04%，良好人數(shù)占19.56%，優(yōu)秀人數(shù)占8.70%．通過對試卷得分情況的進一步分析，發(fā)現(xiàn)學生在幾何相關題目的得分率明顯比其它題目高．

表2 《中學數(shù)學研究》期末考試卷面成績分段統(tǒng)計

4.2 興趣小組與非興趣小組成績對比

由于授課教師所指導的超級畫板興趣小組的學生對超級畫板的使用比其他同學熟練一些，所以對興趣小組學生和其他學生的期末考試成績進行更進一步的對比分析．興趣小組共18個學生，占兩個班級總人數(shù)的19.56%．需要說明的是，興趣小組學生是自愿報名參與的，興趣小組平時講授和研究內(nèi)容與期末考試試題無關．興趣小組共有4人期末卷面成績達到優(yōu)秀，占總優(yōu)秀人數(shù)的50%，另外，興趣小組沒有人卷面成績不及格．將學生按照是否參與超級畫板興趣小組分成兩組，借助SPSS統(tǒng)計分析軟件，采用獨立樣本檢驗對兩組學生的期末成績進行差異分析，結果如表3所示．檢驗結果：值小于0.01，說明興趣小組和非興趣小組學生的《中學數(shù)學研究》期末成績均值差異顯著．超級畫板興趣小組學生的成績比非興趣小組學生平均高出約12分．

5 結論與思考

此次課程教學改革整合優(yōu)化了《中學數(shù)學研究》課程內(nèi)容和體系，有效地促進了教師的教學研究，轉變教師的教學方式和學生的學習方式．使學生對知識的形成獲得了良好的認知體驗，對相關知識的掌握更加牢固，對不同知識之間相互聯(lián)系的理解更加深入，有效地提升了學生的數(shù)學思維水平．與已有該課程教學內(nèi)容的改革研究相比[2，15]，這是國內(nèi)首次嘗試以張景中院士“教育數(shù)學”思想為引領，以“超級畫板”為實踐平臺去改革《中學數(shù)學研究》的課程內(nèi)容和體系的優(yōu)化．經(jīng)過這一次的初步嘗試，相關經(jīng)驗為《中學數(shù)學研究》課程教學進一步深入改革提供了參考．

表3 興趣小組與非興趣小組學生成績差異T檢驗

5.1 突出“研究”的味道

《中學數(shù)學研究》課程所涉及的內(nèi)容多是中小學數(shù)學知識，對學生而言并不難，難在如何研究．學生進入大學之前，受應試教育影響，很少能夠自主思考并研究數(shù)學相關內(nèi)容；進入大學之后，數(shù)學專業(yè)課的教學多是講授式，少有研究數(shù)學的機會．如果只是把中學數(shù)學的內(nèi)容整理、強調和深化，學生學起來也是索然無味．因此，需要老師精心設計教學，帶領學生真正地去研究數(shù)學，用高觀點看待初等數(shù)學．通過研究，學生更加清楚數(shù)學知識的來龍去脈，以及不同數(shù)學知識之間的聯(lián)系，為他們思考如何教這些數(shù)學知識打下了堅實的基礎[16]．

5.2 找尋不同數(shù)學知識之間的結合點

很多中小學數(shù)學內(nèi)容是有密切聯(lián)系的，但是由于課程的設置，數(shù)學內(nèi)容被轉化成教育形態(tài)以方便教學，很多數(shù)學知識的聯(lián)系也被打斷了，不利于學生整體認識和理解數(shù)學．《中學數(shù)學研究》這門課正好提供了一個加強理解不同數(shù)學知識之間聯(lián)系的機會，但是如果仍然按照中學數(shù)學來編排其內(nèi)容和體系，那就沒有什么實際意義，所以必須找尋不同數(shù)學知識之間的結合點，把不同數(shù)學知識串連起來，尤其是幾何與代數(shù)內(nèi)容的結合點．以不同數(shù)學知識的結合點為中心展開教學，引導學生思考和研究，將會收到意想不到的效果．

5.3 發(fā)揮超級畫板的特色

超級畫板教學軟件操作簡單，其所擁有的動態(tài)幾何作圖、曲線作圖、跟蹤軌跡、動態(tài)測量、圖形變換、符號計算、程序環(huán)境、智能自動推理、文本公式、統(tǒng)計圖表、動畫按鈕、課件平臺等功能，為數(shù)學教學提供相當優(yōu)越的便利條件．有了超級畫板的幫助，數(shù)學知識會以一種全新的面貌呈現(xiàn)．同時，學生也可以借助超級畫板進行思考、研究和創(chuàng)作．學生對超級畫板教學軟件的掌握和運用也符合現(xiàn)代教育對信息技術與課堂教學融合的要求．

5.4 轉變思維方式以提高效率

對《中學數(shù)學研究》課程體系和內(nèi)容進行改革，本質上是提高教學效益，對學生而言就是提高數(shù)學思維能力，更加全面而深刻地理解數(shù)學[17]．對中學數(shù)學內(nèi)容的探究，學生可以從不同的角度思考，找到不同的解決思路，結合超級畫板，學生更能體會作為“機器”的數(shù)學，體會另外一種思維方式．在無形之中，學生看待數(shù)學、看待事物的方法發(fā)生了轉變，解決問題的效率得到了提高．

[1] 唐恒鈞，張維忠．教師教育類課程的教材：注重方法與理性實踐[J]．數(shù)學教育學報，2015，24（2）：57-60．

[2] 嚴虹，項昭．中學課程改革背景下的高師《中學數(shù)學研究》課程建設與思考[J]．數(shù)學學習與研究，2013，（1）：45-46．

[3] 張景中，曹培生．從數(shù)學教育到教育數(shù)學[M]．北京：中國少年兒童出版社，2011．

[4] 沈文選，吳仁芳．走進教育數(shù)學——四議數(shù)學教育與教育數(shù)學[J]．數(shù)學教育學報，2009，18（4）：5-8．

[5] 鄭毓信．數(shù)學教育視角下的“核心素養(yǎng)”[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（3）：1-5．

[6] 喻平．數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素析取的實證研究[J]．數(shù)學教育學報，2016，25（6）：1-6．

[7] 中華人民共和國教育部．義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M]．北京：北京師范大學出版社，2012．

[8] 溫建紅，涂榮豹．對數(shù)學教學中有效運用信息技術的思考[J]．數(shù)學教育學報，2008，17（1）：91-94．

[9] 劉詠梅，吳立寶．信息技術對促進數(shù)學基本思想教育的價值分析[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（1）：41-46．

[10] 張景中，江春蓮，彭翕成．基于《超級畫板》開設《動態(tài)幾何》課程的實踐與思考[J]．數(shù)學教育學報，2008，17（5）：1-5．

[11] 侯小華，范永順，劉芳．超級畫板在提高數(shù)學師范生教師素質中的應用[J]．數(shù)學教育學報，2011，20（6）：93-96．

[12] 張奠宙，張廣祥．中學代數(shù)研究[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[13] 張奠宙，沈文選．中學幾何研究[M]．北京：高等教育出版社，2006．

[14] 唐曉文，王昆侖，陳翠．線性代數(shù)[M]．上海：同濟大學出版社，2012．

[15] 張定強，楊淑清．高師數(shù)學系《中學數(shù)學研究》課程教材教法探析[J]．西北師范大學學報（自然科學版），2006，（4）：114-117．

[16] 聶曉穎，黃秦安．論數(shù)學課堂文化的內(nèi)涵與模式及對培養(yǎng)數(shù)學核心素養(yǎng)的價值[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（2）：71-74．

[17] 曹一鳴，于國文．中學數(shù)學課堂教學行為關鍵性層級研究[J]．數(shù)學教育學報，2017，26（1）：1-6．

Research on the Practice of Educational Mathematics Thought in Curriculum Reform of “Mathematics Research in High School”

XIAO Hong-zhi1, MEI Jun-lei1, LI Yan-qin1, RAO Yong-sheng2

(1. School of Mathematics and Computer Science, Guizhou Education University, Guizhou Guiyang 550018, China;2. School of Computer Science and Educational Software, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China)

Education Mathematics aimed to reform Mathematics so that it was suitable for teaching. The Super Sketchpad method developed by Academician Jingzhong Zhang provided a powerful tool for the use of ideas of Mathematics Education. In this paper, we applied the Super Sketchpad to the teaching of the course “Research on High School Mathematics” for the undergraduate students majored in Mathematics in normal college. Infiltrating the ideas of Mathematical Education and using function as an example, we found that that students had a deeper understanding about mathematics contents, the relevance knowledge and their relationships and their mathematical thoughts were improved efficiently. Basing on these practices, we put forward some suggestions for the course “Research on High School Mathematics”: Highlighting the taste of “research”, exploring the combinations of different mathematical knowledge, making full use of the advantages of “Super Sketchpad”, and changing the way of thinking to improve the efficiency.

ideas of mathematics education; mathematics research in high school; curriculum reform practice; super sketchpad

[責任編校：陳漢君]

G420

A

1004–9894（2017）04–0097–06

2017–05–20

2015貴州省教育廳高校人文社科研究規(guī)劃項目——專業(yè)認同理論視域下的貴州農(nóng)村特崗教師專業(yè)發(fā)展研究（2015GH24）；2016貴州省教育科學規(guī)劃（名校長工作室）專項課題——貴州初中數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展實驗研究（2016MXZ026）；2016年度貴州省科技平臺及人才團隊專項資金項目（黔科合平臺人才【2016】5609）；2014年度貴州省省級本科教學工程建設項目（黔教高發(fā)【2014】378號）

肖宏治（1963—），女，貴州畢節(jié)人，副教授，主要從事數(shù)學教育、教師培訓研究．