淺談培養(yǎng)學(xué)生的問題意識
2017-10-13 05:05:18南京大學(xué)附屬中學(xué)杭麗華
中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2017年19期
☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 杭麗華
淺談培養(yǎng)學(xué)生的問題意識
☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 杭麗華
中學(xué)數(shù)學(xué)歷經(jīng)八次課程改革，到今天已走過了六十年.筆者從學(xué)生時代開始學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，到今天數(shù)學(xué)教學(xué)飛速的變革，數(shù)學(xué)教學(xué)逐步在向更高、更快的思維層面發(fā)展.但從一線教學(xué)的實(shí)際來看，筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)依舊沒有徹底擺脫傳統(tǒng)教學(xué)中的一個頑疾——教學(xué)中教師講授部分過多.這樣情況的出現(xiàn)還是有很多原因的，首先，作為中學(xué)數(shù)學(xué)教師的我們，當(dāng)年學(xué)習(xí)的時候大都是在這樣的講授教學(xué)中度過的，本身缺乏主動對問題思考的意識，導(dǎo)致今天作為教師時也沒有改變這樣的意識.其次，教學(xué)課時的不足，這也導(dǎo)致了大量教學(xué)必須以精簡、快速的節(jié)奏進(jìn)行，在課堂教學(xué)中也壓縮了學(xué)生思考的空間，更談不上培養(yǎng)學(xué)生問題的意識.最后，學(xué)生的問題往往千奇百怪，若沒有研究精神的教師往往招架不住，這也是專業(yè)化精神不足的體現(xiàn).
數(shù)學(xué)學(xué)科課程改革對于學(xué)生的發(fā)展提出了全新的六大核心素養(yǎng)，要求教學(xué)進(jìn)一步徹底向?qū)W生思維和能力發(fā)展的方向進(jìn)行轉(zhuǎn)變，各高校自主招生和三位一體的繼續(xù)擴(kuò)大也體現(xiàn)了學(xué)生能力要求凸顯更為重要，因此培養(yǎng)學(xué)生思維和問題意識，比能機(jī)械模仿地解決數(shù)學(xué)問題來得更為重要，成為教學(xué)新的增長點(diǎn).
一、注重情境，有感而問
中學(xué)數(shù)學(xué)是講求形式化與非形式化的完美融合，只有兩者的較好融合才能在教學(xué)中滲透知識的內(nèi)涵和外延.教材中的知識是冰冷的、線性的、形式化的，這些形態(tài)特征決定了其不可能被學(xué)生很好地接受，因此教師的作用在于如何做好這些過渡，將其轉(zhuǎn)換為學(xué)生通俗易懂的教育形態(tài).筆者認(rèn)為，中學(xué)數(shù)學(xué)中合理的轉(zhuǎn)換需要借助情境，有情境才能讓學(xué)生產(chǎn)生具體感知與抽象歸納之間的聯(lián)系，才能產(chǎn)生一系列思考，產(chǎn)生問題，從而建立思考的意識，問題的意識.
案例1《指數(shù)函數(shù)》情境設(shè)計(jì)
師：前面同學(xué)們學(xué)習(xí)了指數(shù)運(yùn)算，今天我們來學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù).首先我們先來看一個實(shí)際問題，大家測量下，一張紙的厚度大概是多少？
生1：比較薄一點(diǎn)的紙，大概是0.01毫米.
師：請你對折一下，現(xiàn)在的厚度是多少？
生2：0.01×2毫米.
師：還是很薄！那我們接著對折，再對折，一直重復(fù)30次吧.你會想到什么？
生3：我很想知道，這個時候紙張的厚度是多少？
生4：我想知道它大概的高度有多少？
師：好！同學(xué)們都積極地提出了問題，至于結(jié)果如何？我們請其他同學(xué)思考.
生5：這個簡單，應(yīng)該是0.01×230毫米！我猜應(yīng)該是三、四層樓這么高吧？
師：同學(xué)們列出的式子非常正確！至于這個數(shù)值到底是多大，猜測得對不對？我們不妨請大家用計(jì)算器算一算.
生6：0.01×230≈10737418（mm）≈10737.418（米）！這個數(shù)值很大，大到有點(diǎn)夸張！
師：是的！同學(xué)們一定很驚訝，一張很薄的紙對折30次的厚度竟然遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了珠穆朗瑪峰的高度！
生7：是的！遠(yuǎn)比我們想象的要大得多的多！
師：那你對這個現(xiàn)象進(jìn)一步想一想，你會覺得上述什么方面很值得進(jìn)一步的思考？
生8：我想知道為什么2n增加得這么快？這難道就是今天要學(xué)的一種新的函數(shù)？這樣的增長速度讓我想起了生物學(xué)中常常講起的細(xì)胞分裂，1個變2個，2個變4個，4個變8個，…，如此下去，爆炸式的增長.
師：同學(xué)們的思維非常靈活，也提出了很多的問題，這正是我們今天要研究的一種新的基本初等函數(shù)——指數(shù)函數(shù)，即形如f（x）=ax（a＞0anda≠1）的函數(shù).
本課例的引入是生活中的折紙問題，一個小小的、不起眼的折紙問題，引發(fā)了學(xué)生積極的思考，而且折紙30次這種實(shí)踐讓學(xué)生對課堂充滿了期待，學(xué)生非?？释?.01×230毫米到底是一個多大的數(shù)量概念？當(dāng)這一答案揭曉的時候，學(xué)生又提出了問題：為什么增加如此之快？這些都與本課成功的情境設(shè)置精密相關(guān)，因此可以說一個合理的情境可以激發(fā)學(xué)生思維的迸發(fā)，爆發(fā)出一系列迫切的問題，是一種潛意識的問題思考.
二、以錯為媒，自發(fā)而問
數(shù)學(xué)離不開解題，而解題水平的提升離不開錯誤的發(fā)生.可以這么說，一定程度上的合理錯誤是提升學(xué)生思考全面性的必經(jīng)之路.要提升學(xué)生的自我思考、提出問題意識，可以從錯誤的試題中尋求答案，這種尋找恰恰反映了學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙所在，對學(xué)生思維嚴(yán)密性有著較強(qiáng)的反饋，這可以大大激發(fā)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的步驟，即發(fā)現(xiàn)問題、解決問題、提出問題，從而形成一種自發(fā)而問的問題意識.
案例2已知f（x）=ax2+cx，且1≤f（1）≤3，-1≤f（-1）≤1，求f（2）的取值范圍.
①+②，得0≤2x≤4，即0≤4x≤8；
②×（-1），得-1≤y-x≤1.③
①+③，得0≤2y≤4.
故而代入f（2）=4x+2y，得0≤f（2）≤12.
分析：本題是不等式與不等關(guān)系章節(jié)學(xué)習(xí)中的一個經(jīng)典問題，這種錯誤也是初學(xué)者易犯的錯誤.教師請學(xué)生自我驗(yàn)證，并自行發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，提高學(xué)生自發(fā)而問的意識.
師：請同學(xué)們檢驗(yàn)下，你的答案正確與否？
生1：我發(fā)現(xiàn)有些問題，由0≤x≤2以及0≤y≤2得到0≤x+y≤4，這與已知條件相矛盾啊！
生2：是的！但是我在上述過程中，好像沒發(fā)現(xiàn)什么問題？
師：那先從結(jié)論出發(fā)思考下，明明1≤x+y≤3，怎么經(jīng)過一變形再回來，就變成0≤x+y≤4了呢？從這里入手思考應(yīng)該有收獲？
生3：我畫了一幅圖，從圖中我明白了為什么這么做是不行的！
師：展示給大家看一看，再說說理由.
圖1
圖2
我發(fā)現(xiàn)，題中條件所表示的變量范圍遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于變形之后的變量范圍，說明在研究過程中，已經(jīng)將變量范圍給擴(kuò)大了，這樣勢必導(dǎo)致前后矛盾的產(chǎn)生！
生4：我認(rèn)為，這主要是變量x、y之間有相互制約的關(guān)系，而得到0≤x≤2以及0≤y≤2時，我們已經(jīng)破壞了兩者之間的相互制約，導(dǎo)致了范圍的擴(kuò)大，這里圖形比較好地闡述了錯誤的原因.
生5：哦，我明白了！也就是說，得到的單量0≤x≤2以及0≤y≤2的范圍并沒有錯，但是它們之間的相互制約性卻沒有辦法顯現(xiàn)出來，并不是說0≤x≤2以及0≤y≤2所有的點(diǎn)（x，y）都滿足題中條件，因此錯解就是錯在這里了.
生6：正確的解答：f（2）=4x+2y=3f（1）+f（-1），由已知可得3≤3f（1）≤9，-1≤f（-1）≤1，故而兩式相加可得2≤f（2）≤10.
師：本題也可以用我們后續(xù)線性規(guī)劃的知識求解.
典型的錯誤是一個合理的教學(xué)平臺，恰恰可以讓學(xué)生進(jìn)行深思和問題意識的培養(yǎng).本題中的不等關(guān)系，是初學(xué)者常常犯的錯誤之一，從教學(xué)中不難發(fā)現(xiàn)教師哪怕講數(shù)遍，學(xué)生依舊在這里不停的犯錯誤，究其原因是那是教師的思考，并不是學(xué)生的思考.所以，以錯題為載體，請學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)，將這一錯誤挖掘的過程不斷的分析、思考，用學(xué)生相互思考、提問的方式獲得了成功.
三、以變?yōu)殒湥钏级鴨?/h2>
數(shù)學(xué)最終離不開解題，那么在解題中帶來的將是更多的思考，而思考帶來的是思維的深入，有了深入的思維才會有不斷發(fā)現(xiàn)問題、思考問題的意識.
案例3 AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足.若點(diǎn)C在平面α內(nèi)運(yùn)動，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動點(diǎn)C的軌跡為___________（填圓錐曲線中的某一種）.（答案：拋物線）
分析：這樣的問題到底是從哪里去思考切入？考查了什么知識點(diǎn)？后續(xù)學(xué)習(xí)中更要關(guān)注什么？如何真正理解以教材為本的教學(xué)？……其實(shí)，教材圓錐曲線一章的章頭圖中，清晰地表述了圓錐曲線之所以這樣稱呼的主要原因，即用平面截圓錐曲線得到的截口曲線.這樣的教學(xué)讓學(xué)生獲得了思考和問題：
問題1：圓錐曲線為什么這么稱呼？
問題2：截口曲線有哪幾種？
問題3：學(xué)習(xí)要注重什么？要注重教材中基本概念以及延伸.
變式1：斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面上的動點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是___________.（答案：橢圓）
變式2：二面角α-l-β的大小為120°，AB垂直平面β交l于B，動點(diǎn)C滿足AC與AB成40°角，則點(diǎn)C在平面α和平面β上的軌跡分別是___________.（答案：雙曲線、圓）
知識的變式鏈接，是知識深度使用的體現(xiàn)，這種體現(xiàn)的背后挖掘了學(xué)生積極思考知識的本質(zhì)，從而從更深的概念角度提高了問題的意識，獲得了更好的學(xué)習(xí)體驗(yàn).總之，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識還需要全方位的教學(xué)引導(dǎo)，教師要有意識的引導(dǎo)、設(shè)計(jì)，就能從多角度去提升學(xué)生的問題意識，獲取更好的知識本質(zhì).
1.趙緒昌.讓數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的錯誤美麗起來［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2011（1）.
2.王甫森.學(xué)會提問——課堂教學(xué)實(shí)踐及反思.［J］.中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2011（10）.
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