☉浙江省湖州市吳興高級中學(xué) 劉曉東

☉浙江省嘉興市第一中學(xué) 沈新權(quán)

橫看成嶺側(cè)成峰
——對2017年高考浙江卷第15題的多維賞析

☉浙江省湖州市吳興高級中學(xué) 劉曉東

☉浙江省嘉興市第一中學(xué) 沈新權(quán)

2017年高考已落下帷幕，浙江卷因其首次文理合卷格外引人注目，其中第15題秉承了浙江卷簡潔、靈動的一貫風(fēng)格，可謂橫看成嶺側(cè)成峰，本文就此題進(jìn)行多維賞析，旨在引玉.

一、原題再現(xiàn)

考題 （2017年浙江卷15題）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值為_________，最大值為__________.

本題背景簡捷，但內(nèi)涵及其豐富，從不同的角度、高度去審視它，我們都能得到一系列優(yōu)美的解法.

二、解法賞析

1.準(zhǔn)確理解，優(yōu)化運(yùn)算

數(shù)學(xué)的概念與性質(zhì)不是獨(dú)立存在的，如果問題涉及某個概念或性質(zhì)，則問題的解決必定與這些概念、性質(zhì)相關(guān)聯(lián)，因此，我們可以從這些概念或性質(zhì)本身出發(fā)來解決問題，在解決問題的過程中，應(yīng)當(dāng)合理選擇算法，優(yōu)化運(yùn)算.

解法1：設(shè)b=（2，0），a=（cosθ，sinθ），則a+b=（2+cosθ，sinθ），a-b=（2-cosθ，-sinθ），所以

，所以16≤t2≤20.

點(diǎn)評：題干涉及向量的模、向量的加減運(yùn)算，但考慮到向量的坐標(biāo)運(yùn)算思維量小，易于操作，因此解法1利用向量模的概念結(jié)合坐標(biāo)法進(jìn)行求解，自然順暢，具有一定的普適性.

2.由表及里，層層推進(jìn)

在解決數(shù)學(xué)問題時，我們往往會憑借數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)從題干的“表”入手，尋求突破，但在“表”的探尋過程中，又會產(chǎn)生新的問題，因此探究要層層推進(jìn)，直至問題得以解決.

解法2：由題意，設(shè)t=|a+b|+|a-b|，則t2=（|a+b|+|a-b|）2=2a2+2b2+2|a+b|·|a-b|=10+2|a+b|·|a-b|.

又2|a+b|·|a-b|≤（|a+b|）2+（|a-b|）2=10，所以t2≤20.

以下同解法1.

點(diǎn)評：解法2的關(guān)鍵點(diǎn)在于對10+2|a+b|·|a-b|的處理，通過平方將問題轉(zhuǎn)化為求兩個非負(fù)實(shí)數(shù)積的最值問題，最大值可以根據(jù)基本不等式很容易得到，按數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)，最小值不可能由基本不等式直接得到，但只要考慮到向量數(shù)量積的定義，問題便迎刃而解.此類解法往往是學(xué)生的首選，但必須要做到“遇神請神，遇佛送佛”.

3.活用換元，巧妙構(gòu)造

換元是數(shù)學(xué)解題的重要思想，通過換元，構(gòu)造合理的數(shù)學(xué)模型，不但能使問題得以順利解決，更能給人以美的享受.

解法3：由題意可設(shè)x=|a+b|，y=|a-b|，則x2=（|a+b|）2=5+4cosθ，x∈［1，3］，y2=（|a-b|）2=5-4cosθ，y∈［1，3］，所以x2+y2=10.

因?yàn)閤∈［1，3］，y∈［1，3］，所以點(diǎn)（x，y）的軌跡為一段圓弧，如圖1.

圖1

解法4：如解法3，設(shè)x+y=b，即y=-x+b，則b的幾何意義為直線在y軸上的截距.

如圖1，當(dāng)直線過A點(diǎn)時，（x+y）min=4；當(dāng)直線與弧AB相切時取得最大值，此時，即

點(diǎn)評：解法3、解法4通過換元巧妙地將問題轉(zhuǎn)化為三角、截距問題，不僅使問題得以迅速解決，更體現(xiàn)了數(shù)學(xué)美.但新元的范圍是預(yù)防錯解的關(guān)鍵，也是換元法解題必須強(qiáng)調(diào)和強(qiáng)化的.

4.追根究底，回歸本源

所有的數(shù)學(xué)問題都有其“根”，如果我們能夠?qū)さ狡洹案?，抓住問題的本質(zhì)，問題的解決自然是水到渠成.

圖2

又|a+b|+|a-b|=2（OM+BM）≥2OB=4 ①，|a+b|+|a-b|=2（OM+AM）≥2OA=2 ②，

由于①②要恒成立，所以|a+b|+|a-b|≥4.

點(diǎn)評：解法5主要是圍繞向量加法、減法的運(yùn)算法則，結(jié)合向量模的本質(zhì)，從幾何的維度對問題進(jìn)行求解，數(shù)與形的完美結(jié)合，彰顯了數(shù)學(xué)的魅力.

5.小題小做，尋求捷徑

限時作答是高考的特點(diǎn)之一，在有限的時間內(nèi)快速、準(zhǔn)確答題，是高考取得成功的關(guān)鍵，小題小做是數(shù)學(xué)解題教學(xué)追求的一種境界.

解法6：由三角不等式得|a+b|+|a-b|≥max｛2|a|，2|b|｝=2|b|=4.

點(diǎn)評：對于最值問題，優(yōu)先考慮不等式，鑒于題干是兩個絕對值之和，自然聯(lián)想到絕對值三角不等式，解法自然流暢，充分體現(xiàn)了小題小做的思想.

三、解后感悟

應(yīng)該說，尋找解題方向的思路沒有優(yōu)劣之分的，但解題方法卻有好壞之分，好的方法能直達(dá)問題的本質(zhì)，讓解題過程清晰明了、賞心悅目，好的方法更來自于數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)的積累，是解題教學(xué)積淀的客觀反映.

（1）解題教學(xué)應(yīng)深刻理解數(shù)學(xué)概念和性質(zhì).數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)是整個數(shù)學(xué)大廈的基石，也是解題方向的根本，只有充分理解題中涉及的概念，以及性質(zhì)的內(nèi)涵與外延，才能找出問題的本質(zhì)，為尋找解題思路提供方向，這樣的解題教學(xué)也才有意義.

（2）應(yīng)注意問題的等價轉(zhuǎn)化.解題時，不斷轉(zhuǎn)化問題是探索解題方向的關(guān)鍵，也是積極發(fā)現(xiàn)解題方法的過程.轉(zhuǎn)化是一切解題策略的基本出發(fā)點(diǎn)，在轉(zhuǎn)化的過程中，我們不僅能求得問題的解決，同時也能將相關(guān)知識進(jìn)行串聯(lián)，形成相應(yīng)的知識鏈，由一個問題派生一堆問題，解決一堆問題，這才是解題教學(xué)的根本所在.

（3）2017年浙江省首次文理合卷，這對高中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn)，2017年高考浙江卷提供了很好的藍(lán)本，對高中數(shù)學(xué)的教學(xué)具有很強(qiáng)的導(dǎo)向性，本題就是一個很好的例證，試題親和、簡練，但內(nèi)涵極其豐富，簡約而不簡單，橫看成嶺側(cè)成峰，有極高的教學(xué)價值，是解題教學(xué)的極好素材.F