龔春林，朱政光，陳 兵，粟 華，谷良賢

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

多段分支彈道的兩級(jí)全局優(yōu)化方法

龔春林，朱政光，陳 兵，粟 華，谷良賢

(西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院陜西省空天飛行器設(shè)計(jì)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安 710072)

針對(duì)多段分支彈道設(shè)計(jì)存在的彈道交班點(diǎn)選取困難、交班控制變量突變等問(wèn)題，提出一種兩級(jí)全局優(yōu)化方法。對(duì)各彈道段分別建立子級(jí)優(yōu)化問(wèn)題，采用系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化實(shí)現(xiàn)各段交班點(diǎn)耦合變量協(xié)調(diào)，以及最佳交班點(diǎn)求解；將交班點(diǎn)耦合變量中質(zhì)量參數(shù)轉(zhuǎn)為局部?jī)?yōu)化變量，其他狀態(tài)參數(shù)轉(zhuǎn)為系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化變量，實(shí)現(xiàn)了同層優(yōu)化問(wèn)題解耦；在子級(jí)優(yōu)化問(wèn)題中引入控制變量一階導(dǎo)數(shù)作為優(yōu)化變量，并作為系統(tǒng)級(jí)協(xié)調(diào)變量，保證各段控制變量光滑過(guò)渡。某兩級(jí)重復(fù)使用運(yùn)載器全程彈道優(yōu)化算例表明，本文提出的方法能將高度耦合的全程彈道優(yōu)化轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單有效的兩級(jí)優(yōu)化問(wèn)題，可推廣應(yīng)用于其它各類(lèi)多段分支彈道設(shè)計(jì)。

多段分支彈道；彈道優(yōu)化；兩級(jí)全局優(yōu)化；交班點(diǎn)

0 引 言

彈道優(yōu)化逐漸成為飛行器總體設(shè)計(jì)的主要工作手段之一，具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價(jià)值。某些飛行器由于組成和任務(wù)的復(fù)雜性，其彈道包含多段分支彈道。例如，兩級(jí)入軌重復(fù)使用運(yùn)載器的典型彈道如圖1 (a)所示，包含上升段、返回再入段和入軌段，在兩級(jí)分離點(diǎn)處有兩條軌跡分支；帶多個(gè)分導(dǎo)彈頭的彈道導(dǎo)彈的典型彈道如圖1 (b)所示，在分離時(shí)刻時(shí)，導(dǎo)彈釋放多個(gè)彈頭，各彈頭飛行彈道即為不同分支彈道。這些彈道具有典型的多段分支特點(diǎn)，各段彈道設(shè)計(jì)目的各有不同，但又相互影響、相互耦合。在飛行器設(shè)計(jì)中，為了獲得最佳的總體設(shè)計(jì)方案，需要同時(shí)優(yōu)化分離條件及各段彈道，實(shí)現(xiàn)彈道的全局最優(yōu)化。

由于各段彈道優(yōu)化控制變量和目標(biāo)均有可能不同，該類(lèi)彈道優(yōu)化一般為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，基于傳統(tǒng)的最優(yōu)控制理論或參數(shù)優(yōu)化方法難以直接求解。同時(shí)，各段和各分支交班點(diǎn)之間高度耦合，在優(yōu)化過(guò)程中實(shí)現(xiàn)交班點(diǎn)控制變量和狀態(tài)變量的平滑連接進(jìn)一步增加了問(wèn)題的求解難度。

圖1 多段分支彈道示意圖Fig.1 The schematic diagram of the branching trajectory

針對(duì)多段分支彈道優(yōu)化，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了部分研究工作。文獻(xiàn)[1]采用POST和OTIS軟件進(jìn)行彈道優(yōu)化，雖然支持串聯(lián)的多段彈道優(yōu)化，但不支持多分支彈道優(yōu)化；文獻(xiàn)[2]采用間接法，通過(guò)計(jì)算推導(dǎo)得到兩級(jí)火箭最優(yōu)控制問(wèn)題中控制變量的解析函數(shù)，從而多級(jí)完成彈道優(yōu)化，但其不存在多分支彈道形式；文獻(xiàn)[3]對(duì)兩級(jí)入軌運(yùn)載系統(tǒng)全程分叉型彈道進(jìn)行了優(yōu)化，首先提出分叉型彈道的轉(zhuǎn)接條件，然后優(yōu)化三段獨(dú)立的彈道優(yōu)化問(wèn)題，但并沒(méi)能優(yōu)化交班點(diǎn)條件，無(wú)法得到最佳的兩級(jí)交班點(diǎn)。文獻(xiàn)[3]解決了多級(jí)火箭彈道優(yōu)化多分支等問(wèn)題，但未考慮交班點(diǎn)控制變量大小對(duì)上面級(jí)彈道的影響；文獻(xiàn)[4]采用參數(shù)優(yōu)化方法研究了多級(jí)組合動(dòng)力飛行器彈道優(yōu)化問(wèn)題，但未能解決彈道多段情況下控制變量突變情況；文獻(xiàn)[5]以偽譜法為基礎(chǔ)，引入連接條件模型，快速求解此類(lèi)運(yùn)載器最優(yōu)彈道，可解決多段彈道優(yōu)化問(wèn)題，但并不能解決多分支彈道優(yōu)化問(wèn)題。

可以看出，目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者更多地研究單級(jí)彈道優(yōu)化問(wèn)題，較少涉及彈道全局優(yōu)化問(wèn)題。本文以兩級(jí)重復(fù)使用運(yùn)載器為對(duì)象[6],針對(duì)彈道多段分支等特點(diǎn)，提出兩級(jí)全局優(yōu)化方法，通過(guò)構(gòu)造兩層優(yōu)化框架，完成通用的多段分支彈道優(yōu)化。

1 彈道優(yōu)化模型

根據(jù)多段分支彈道優(yōu)化模型[7-11]得到其原始框架，如圖2所示。各段彈道之間有著十分緊密的聯(lián)系，通過(guò)交班點(diǎn)互相耦合，且交班點(diǎn)同時(shí)作為各段彈道的起始條件或終端約束。

圖2 多段分支彈道優(yōu)化原始框架Fig.2 The original optimization framework of the branching trajectory

多段分支彈道優(yōu)化問(wèn)題可描述為如下形式：

s.t.

(1)

式中：J為全局目標(biāo)函數(shù)，x為設(shè)計(jì)變量，下標(biāo)n表示彈道段數(shù)量；Ji，ωi，ui，si，xi，ci分別為第i段彈道的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)、目標(biāo)權(quán)重、控制變量、狀態(tài)變量設(shè)計(jì)變量和約束條件；mi，H_ point_ j，ui,H_ point_ j，si,H_ point_ j分別表示第i段彈道在第j個(gè)交班點(diǎn)處的飛行器質(zhì)量、控制變量和狀態(tài)變量。

1) 優(yōu)化目標(biāo)

對(duì)于復(fù)雜任務(wù)飛行器，各段彈道優(yōu)化目標(biāo)可能不同。例如：某些彈道段需快速完成飛行任務(wù)，其優(yōu)化目標(biāo)可為時(shí)間最短；而某些彈道需準(zhǔn)確完成攻擊目標(biāo)，其優(yōu)化目標(biāo)為末端精度最高。因此，彈道全局優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)典型的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。本文采用加權(quán)處理方法實(shí)現(xiàn)該多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，式(1)中，權(quán)重系數(shù)ωi的選取可根據(jù)各彈道段優(yōu)化目標(biāo)對(duì)飛行器總體設(shè)計(jì)關(guān)注指標(biāo)的貢獻(xiàn)度而定。一種方法是通過(guò)敏感性分析確定總體指標(biāo)對(duì)各段優(yōu)化目標(biāo)的敏感因子，由敏感因子大小相對(duì)值確定權(quán)重；另一種方法是根據(jù)設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)和偏好確定權(quán)重因子。

2) 設(shè)計(jì)變量

彈道全局優(yōu)化由于存在交班點(diǎn)j，交班點(diǎn)的選取會(huì)影響彈道的優(yōu)化目標(biāo)。故設(shè)計(jì)變量中，除各段彈道的控制變量ui和狀態(tài)變量si外，還有交班點(diǎn)處控制變量和狀態(tài)變量ui,H_ point_ j,si,H_ point_ j。

3) 約束條件

首先，各段彈道于交班點(diǎn)處控制變量和狀態(tài)變量應(yīng)平滑連接，此時(shí)交班點(diǎn)處控制變量和狀態(tài)變量應(yīng)滿足式(1)約束條件中前兩個(gè)等式約束。其次，各段彈道分支之前質(zhì)量應(yīng)為彈道分支之后質(zhì)量之和，如式(1)約束條件中第三個(gè)等式約束。另外，各段彈道也存在相應(yīng)約束條件，如式(1)約束條件中后三個(gè)不等式約束。

針對(duì)此類(lèi)多段分支彈道優(yōu)化問(wèn)題，其分支交班點(diǎn)和各彈道段控制變量、狀態(tài)變量的優(yōu)化為強(qiáng)耦合優(yōu)化問(wèn)題，傳統(tǒng)彈道優(yōu)化直接法和間接法[12]均難以解決。本文提出兩級(jí)全局彈道優(yōu)化方法，以解決該優(yōu)化問(wèn)題。

2 彈道優(yōu)化方法

2.1兩級(jí)全局彈道優(yōu)化

本文提出適于多段分支兩級(jí)全局彈道優(yōu)化方法，集成各段彈道子級(jí)優(yōu)化問(wèn)題，將交班點(diǎn)耦合變量中質(zhì)量變量轉(zhuǎn)化為子級(jí)局部變量，其它狀態(tài)變量轉(zhuǎn)為系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量，實(shí)現(xiàn)同層級(jí)優(yōu)化器之間的耦合解耦，以求解各最佳交班點(diǎn)；同時(shí)通過(guò)引入控制變量一階導(dǎo)，將其轉(zhuǎn)為系統(tǒng)級(jí)協(xié)調(diào)變量，實(shí)現(xiàn)各段控制變量的光滑過(guò)渡。

圖3 解耦后的兩級(jí)全局彈道優(yōu)化框架Fig.3 De-coupled bi-level global optimization framework

圖4 兩級(jí)全局彈道優(yōu)化問(wèn)題的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣Fig.4 The design structure matrix of the two level global trajectory optimization

s.t.

(2)

(3)

優(yōu)化框架如圖3所示，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)矩陣如圖4所示，系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化問(wèn)題為式(2)所示，子級(jí)優(yōu)化問(wèn)題為式(3)所示。

2.2彈道優(yōu)化方法

2.2.1 動(dòng)力學(xué)方程

本文各段彈道采用下式所示的動(dòng)力學(xué)方程:

(4)

式中：V為速度，t為飛行時(shí)間，P為推力，α為攻角，F(xiàn)X為阻力，m為質(zhì)量，g重力加速度，θ為彈道傾角，σ為傾側(cè)角，F(xiàn)Y為升力，ψ為彈道偏角，X為縱程，Y為高度，Z為側(cè)向距離，ms為燃料質(zhì)量流量，α為攻角。

升力和阻力可按下式計(jì)算

(5)

式中：q為飛行動(dòng)壓，S為參考面積，Cx和Cy則分別表示升力系數(shù)與阻力系數(shù)。

推力P=Isms，Is為發(fā)動(dòng)機(jī)的比沖，與馬赫數(shù)Ma、高度Y、攻角α和燃油當(dāng)量比φ等參數(shù)相關(guān)。

2.2.2 各段彈道優(yōu)化方法

各段彈道優(yōu)化方法可采用間接法或直接法。間接法運(yùn)用龐特里亞金極大值原理和經(jīng)典變分法中的拉格朗日乘子法求出最優(yōu)控制問(wèn)題的必要條件，然后用其它數(shù)值方法求解獲得最優(yōu)變量。直接法則首先將最優(yōu)控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題，后應(yīng)用參數(shù)最優(yōu)化方法求解最優(yōu)變量?？紤]到本文所研究多段分支彈道全局優(yōu)化問(wèn)題的復(fù)雜性，重點(diǎn)介紹Hp自適應(yīng)偽譜法[13-14]。

Hp自適應(yīng)偽譜法將彈道優(yōu)化問(wèn)題的積分區(qū)間[t0,t1]轉(zhuǎn)換到區(qū)間[-1, 1]，對(duì)時(shí)間變量t作變換：

(6)

取N階Legendre-Gauss(LG)點(diǎn)以及τ0=-1作為節(jié)點(diǎn)，構(gòu)成N+1個(gè)Lagrange插值多項(xiàng)式，并以此為基函數(shù)構(gòu)造控制變量和狀態(tài)變量的近似表達(dá)式，即：

(7)

(8)

采用微分近似矩陣將動(dòng)力學(xué)微分方程約束轉(zhuǎn)換為代數(shù)約束方程：

(9)

將終端約束條件離散，并通過(guò)Gauss點(diǎn)上的Gauss權(quán)重，終端約束可表示為：

(10)

邊界約束可表示為：

φ(X0,t0,Xf,tf)=0

(11)

過(guò)程約束可表示為：

C(Xk,Uk,τk;t0,tf)≤0,k=1,…,N

(12)

3 算例

3.1問(wèn)題描述

本文算例[6]的研究對(duì)象為兩級(jí)重復(fù)使用運(yùn)載器，下面級(jí)動(dòng)力形式為RBCC發(fā)動(dòng)機(jī)，上面級(jí)動(dòng)力形式為液體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，燃料均為液氧/煤油。根據(jù)運(yùn)載器的飛行任務(wù)，規(guī)劃其任務(wù)剖面如圖5所示。其彈道設(shè)計(jì)是圖1(a)所示的多段分支彈道優(yōu)化問(wèn)題，包含下面級(jí)上升段、上面級(jí)上升段和下面級(jí)返回段3個(gè)彈道段：水平起飛，隨即將上面級(jí)以Ma8投送至50 km高空，然后兩級(jí)分離，下面級(jí)返回原場(chǎng)，上面級(jí)再將2 t有效載荷以7800 m/s速度投送至200 km高空，此時(shí)滿足入軌角度約束，彈道傾角為0°。

圖5 兩級(jí)入軌重復(fù)使用運(yùn)載器任務(wù)剖面Fig.5 The mission profile of two-stage-to-orbit reusable launch vehicle

全局彈道優(yōu)化問(wèn)題說(shuō)明如下：起飛條件為馬赫數(shù)0.4、攻角15°，終止條件為完成飛行任務(wù)，未端能量管理(Terminal area energy management,TAEM)界面條件為Ma2.5、高度15 km。

3.2兩級(jí)全局彈道優(yōu)化

該算例中系統(tǒng)級(jí)設(shè)計(jì)變量為分離點(diǎn)的馬赫數(shù)、高度、彈道傾角和縱程，系統(tǒng)級(jí)協(xié)調(diào)變量是攻角。系統(tǒng)級(jí)采用序列二次規(guī)劃優(yōu)化算法求解。各段彈道局部變量包括攻角、傾側(cè)角控制量、質(zhì)量，優(yōu)化方法采用Hp自適應(yīng)偽譜法。

3.2.1 系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化模型

系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下所示：

式中：m01、m02和m03分別為3段彈道運(yùn)載器初始質(zhì)量；mend 1、mend 2、mend 3分別為3段彈道結(jié)束時(shí)的質(zhì)量；r為運(yùn)載器質(zhì)量在各彈道之間的約束關(guān)系；V、θ、X、Y和α分別為交班點(diǎn)速度、彈道傾角、縱程、高度和攻角。各系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化變量取值范圍如表1所示。

考慮到經(jīng)濟(jì)效益，運(yùn)載器總體設(shè)計(jì)關(guān)注的是如何最小化起飛總質(zhì)量。該算例中3段彈道優(yōu)化目標(biāo)均取彈道燃料消耗最小，即：

(14)

由于各段彈道燃料消耗對(duì)起飛總質(zhì)量的影響程度相當(dāng)，因此定義各段權(quán)重系數(shù)相等，即ω1=ω2=ω3=1/3，則系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化目標(biāo)是minJ=1/3(J1+J2+J3)，等價(jià)于起飛質(zhì)量m01最小。

表1 系統(tǒng)級(jí)優(yōu)化變量取值范圍Table 1 The value range of design variable

表2 控制變量取值范圍Table 2 The value range of control variable

3.2.2 子級(jí)優(yōu)化模型

各段彈道工作模態(tài)控制變量為攻角α、火箭燃料質(zhì)量流量ms和燃油當(dāng)量比φ，其取值范圍如表2所示。對(duì)于狀態(tài)變量，包括速度V，彈道傾角θ，縱程X，高度Y，質(zhì)量m，運(yùn)載器上一工作模態(tài)的終端值為下一工作模態(tài)的初始值。

3.3結(jié)果分析

3.3.1 計(jì)算結(jié)果

部分迭代計(jì)算結(jié)果如圖6～9所示，兩級(jí)全局彈道優(yōu)化迭代計(jì)算至100步，計(jì)算終止。最優(yōu)解如圖中“空心方形點(diǎn)”所示，圖中水平虛線為優(yōu)化變量變化限制曲線。

圖6 速度迭代歷程Fig.6 The iteration history of velocity

圖7 高度迭代歷程Fig.7 The iteration history of altitude

圖8 攻角迭代歷程Fig.8 The iteration history of angle of attack

圖9 目標(biāo)函數(shù)迭代歷程Fig.9 The iteration history of objective

3.3.2 結(jié)果分析

本文對(duì)比研究了兩級(jí)全局彈道優(yōu)化和基于固定分離點(diǎn)的彈道優(yōu)化方法。兩者的不同在于是否在各段彈道優(yōu)化的同時(shí)考慮交班點(diǎn)(分離點(diǎn))的優(yōu)化。首先根據(jù)迭代設(shè)計(jì)結(jié)果，確定固定分離點(diǎn)參數(shù)，采用Hp自適應(yīng)偽譜法優(yōu)化各段彈道，得到的全程彈道優(yōu)化結(jié)果如圖10所示。

圖10 基于固定分離點(diǎn)的彈道優(yōu)化結(jié)果Fig.10 The optimization result based on fixed separation point

采用本文的兩級(jí)優(yōu)化方法則同時(shí)優(yōu)化各段彈道控制參數(shù)和交班點(diǎn)，得到了如圖11所示的全局優(yōu)化彈道。

圖11 兩級(jí)全局彈道優(yōu)化結(jié)果Fig.11 The trajectory result based on bi-levelglobal optimization

從表3的對(duì)比可以看出，采用本文方法得到的交班點(diǎn)與初始選擇的交班點(diǎn)有較大差異。

進(jìn)一步對(duì)比全程彈道及對(duì)應(yīng)的攻角曲線，如圖12和圖13所示。可以看出，由于分離點(diǎn)的不同，雖然兩者彈道形狀相似，但控制規(guī)律差異明顯，決定了目標(biāo)函數(shù)差異較大，也表明了各彈道段和交班點(diǎn)同時(shí)優(yōu)化的必要性。

表3 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Table 3 The comparison of the optimization results

圖12 兩種方法彈道優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Fig.12 The comparison of the optimal trajectory

圖13 下面級(jí)全程攻角曲線對(duì)比Fig.13 The comparison of angle of attack of the lower stage

計(jì)算結(jié)果表明：

1) 兩級(jí)全局彈道優(yōu)化中同層級(jí)耦合解耦，求解得到各最佳交班點(diǎn)，與基于固定分離點(diǎn)的全程彈道優(yōu)化相比，速度增大，彈道傾角增大，縱程減小，高度減小，攻角增大。這是因?yàn)閷?duì)于交班點(diǎn)速度，最優(yōu)點(diǎn)并非在邊界上。若速度太大，則下面級(jí)上升段燃料消耗質(zhì)量增大，上面級(jí)燃料消耗質(zhì)量減小；若速度太小，則相反。對(duì)于交班點(diǎn)彈道傾角，上面級(jí)對(duì)彈道傾角的敏感性較大，初始彈道傾角會(huì)直接影響上面級(jí)爬升的能力，也就會(huì)影響上面級(jí)燃料消耗質(zhì)量。對(duì)于交班點(diǎn)縱程，最優(yōu)點(diǎn)在邊界上，表明交班點(diǎn)縱程小更優(yōu)，下面級(jí)上升段和返回再入段燃料消耗質(zhì)量均減?。粚?duì)于交班點(diǎn)高度，最優(yōu)點(diǎn)也并非在邊界上，若高度太大，則下面級(jí)無(wú)論上升段還是返回再入段，燃料消耗質(zhì)量均較大，但上面級(jí)燃料消耗質(zhì)量較小，若高度太小，則相反；對(duì)于交班點(diǎn)攻角，其對(duì)最佳交班點(diǎn)的選取與彈道傾角相同，均趨于最大值，上面級(jí)對(duì)攻角的敏感性較大，較大的初始攻角會(huì)減小其燃料消耗質(zhì)量。

2) 將控制變量攻角轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)級(jí)協(xié)調(diào)變量，保證了攻角的大小和變化，有效解決了多段分支攻角不連續(xù)等問(wèn)題，攻角一階導(dǎo)絕對(duì)值最大僅為3.29°/s，為控制器實(shí)現(xiàn)提供良好的基礎(chǔ)。

3) 兩級(jí)全局彈道優(yōu)化中兩級(jí)運(yùn)載器起飛質(zhì)量116.04 t，下面級(jí)質(zhì)量103.18 t，上面級(jí)質(zhì)量12.86 t；下面級(jí)上升段彈道燃料消耗質(zhì)量為60.47 t，上面級(jí)彈道燃料消耗質(zhì)量為9.16 t，下面級(jí)返回再入段彈道燃料消耗質(zhì)量為2.72 t；與基于固定分離點(diǎn)全程彈道優(yōu)化相比，起飛質(zhì)量減小19.97%。

4 結(jié) 論

本文考慮到彈道優(yōu)化的多目標(biāo)性，提出兩級(jí)全局彈道優(yōu)化方法，通過(guò)構(gòu)造兩層優(yōu)化框架，完成通用的多段分支彈道優(yōu)化，得到以下結(jié)論：

1) 算例表明所提方法可有效解決多段分支彈道優(yōu)化問(wèn)題，系統(tǒng)級(jí)和子級(jí)所有設(shè)計(jì)變量、約束條件均滿足設(shè)計(jì)要求。

2) 同層級(jí)耦合解耦可有效求解各段分支最佳交班點(diǎn)，系統(tǒng)級(jí)協(xié)調(diào)變量可保證交班點(diǎn)控制變量和狀態(tài)變量的平滑過(guò)渡。

3) 所提方法同樣可推廣應(yīng)用于其它各類(lèi)差異性較大的多段分支彈道優(yōu)化設(shè)計(jì)，通用性較強(qiáng)、靈活性較大。

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Bi-LevelGlobalOptimizationMethodforMulti-BranchingTrajectory

GONG Chun-lin, ZHU Zheng-guang, CHEN Bing, SU Hua, GU Liang-xian

(Shanxi Aerospace Flight Vehicle Design Key Laboratory, School of Astronautics, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072,China)

To solve the problems of the staging point selection and control variables jumping faced during design of the multi-branching trajectory, a bi-level global optimization method is proposed. In the given method, the sub-level optimization problem is set up for each trajectory section, and the system level optimization problem is set up to coordinate the coupling variables of the staging point. For these coupling variables, the mass variable is transformed to the local variable of the sub-level optimization problem, and other state variables are transformed as the global variables of the system level optimization problem. By this strategy, the couplings between the sub-level optimizations are decoupled hierarchically, and the optimal staging point can be obtained. Meanwhile, the first-order derivatives of control is introduced as the system-level coordinating variables to ensure the smooth transition of the control variables between the trajectory sections. The global trajectory optimization problem of a two-stage-to-orbit reusable launch vehicle is tested. The results show that the provided method is able to transform the highly coupled trajectory optimization problem into the simple and efficient bi-level optimization formulation, therefore can support the design of the multi-branching trajectory.

Multi-branching trajectory; Trajectory optimization; Bi-level global optimization; Staging point

V412.1

A

1000 -1328(2017)09- 0903- 08

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.09.002

2017- 03-17;

2017- 07- 02

民用航天項(xiàng)目(D010403)；中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專(zhuān)項(xiàng)資金(G2016KY0302)；總裝預(yù)研基金(9140A20100111HK0318)

龔春林(1980-)，男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。

通信地址：陜西省西安市友誼西路127號(hào)249信箱(710072)

電話：(029)88492783

E-mail：leonwood@nwpu.edu.cn