郎礪志

摘要：本文的主要工作是通過(guò)大量習(xí)題，提煉出橢圓問(wèn)題的三種解題模型，兩個(gè)解題意識(shí)，推導(dǎo)出一個(gè)常用的解題公式，并引導(dǎo)讀者可以將類(lèi)似的結(jié)果推廣到雙曲線和圓中，從某種程度上形成系統(tǒng)化的圓錐曲線知識(shí)，啟發(fā)讀者背誦進(jìn)而在解題中靈活使用，從而提高讀者解決圓錐曲線客觀試題的能力。

關(guān)鍵詞：焦點(diǎn)三角形；頂點(diǎn)三角形；離心率；中點(diǎn)弦公式

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B 文章編號(hào)：1672-1578（2017）07-0235-02

圓錐曲線和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是廣大高中同學(xué)公認(rèn)的難點(diǎn)，尤其是圓錐曲線問(wèn)題，本文的主要內(nèi)容針對(duì)圓錐曲線的離心率問(wèn)題，從大量習(xí)題中找尋些許共性，試圖幫助同學(xué)們找到解決離心率問(wèn)題的鑰匙。

模型1.焦點(diǎn)三角形

設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點(diǎn)，F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），c2=a2+b2，P為此橢圓上任意一點(diǎn)，若P，F(xiàn)1，F(xiàn)2不共線，則稱ΔPF1F2為此橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)三角形，它擁有面的基本性質(zhì)：

（1）ΔPF1F2的周長(zhǎng)為2a+2c；

（2）SΔPF1F2=c|yp|=12PF1gPF2sinθ=b2tanθ2；

（3）離心率e=sinθsinα+sinβ；

（4）cosθ≥1-2e2

下面是關(guān)于（3）（4）的簡(jiǎn)證：

（3）的證明：e=2c2a=F1F2PF1+PF2=sinθsinα+sinβ（正弦定理）

（4）的證明：cosθ=PF12+PF22-F1F222PF1PF2=（PF1+PF2）2-2PF1PF2-F1F222PF1PF2=4a2-4c22PF1PF2-1≥4a2-4c22（PF1+PF22）2-1=4a2-4c22a2-1=1-2e2（PF1=PF2=a時(shí)取等號(hào)）

模型2.頂點(diǎn)三角形

設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）如圖所示，稱ΔPA1A2為此橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)三角形則：KPA1gKPA2=-b2a2

證明：設(shè)P（x0，y0）是此橢圓上任意一點(diǎn)（異于A1A2）， A1（-a，0），A2（a，0）

KPA1gKPA2=y0x0-agy0x0+a=y0x02-a2

而x02a2+y02b2=1，∴y02=b2（1-x02a2）=b2（a2-x02）a2代入上式可得：KPA1gKPA2=-b2a2

此結(jié)論可以推廣如下：

設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0）如圖所示，若AB連線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，P為橢圓上異于AB的任意一點(diǎn)，總有KPAgKPB=-b2a2.

下面證明一下上面這個(gè)結(jié)論，

引理（中點(diǎn)弦公式）設(shè)M（x0，y0）為橢圓x2a2+y2b2=1弦AP（AP不平行y軸）的中點(diǎn)，則有：KAP·KOM=-b2a2.

證明：設(shè)A（x1，y1），P（x2，y2），則有KAP=y1-y2x1-x2，x12a2+y12b2=1x22a2+y22b2=1

兩式相減得：x12-x22a2+y12-y22b2=0整理得：y12-y22x12-x22=-b2a2，即（y1+y2）（y1-y2）（x1+x2）（x1-x2）=-b2a2，因?yàn)镸（x0，y0）是弦AP的中點(diǎn)，所以KOM=y0x0=2x02y0=y1+y2x1+x2，所以KAP·KOM=-b2a2

由于B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用中位線定理，可以獲得上面的結(jié)論。

模型3.平行四邊形模型

如圖，設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1（a>b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點(diǎn)，直線AB過(guò)原點(diǎn)，則四邊形AF1BF2是平行四邊形（利用橢圓的中心對(duì)稱性很容易證明）

下面結(jié)合例題來(lái)談?wù)劷鈾E圓問(wèn)題的兩大意識(shí)。

【例1】橢圓C：x29+y24=1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|+|BN|=________。

解析：如圖，本題題干咋一看十分棘手，因?yàn)轭}中的許多點(diǎn)都不一定在橢圓上，但仔細(xì)分析，出現(xiàn)了許多中點(diǎn)，所以我們使用一個(gè)基本原則：

中點(diǎn)中位線原則，事實(shí)上，|AN|+|BN|=2（|IF1|+|IF2|）=4a=12.

【例2】已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F，C與過(guò)原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連結(jié)AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，cos∠ABF=45，則C的離心率為_(kāi)_____。

解析：本題中的題干敘述與其他題的顯著不同是沒(méi)有涉及右焦點(diǎn)，所以解題時(shí)需要明確另一個(gè)解題意識(shí)：雙焦點(diǎn)同現(xiàn)原則，事實(shí)上，設(shè)F2為橢圓的右焦點(diǎn)，結(jié)合余弦定理可知|BF|=6，因此四邊形AFBF2是矩形，由矩形的性質(zhì)，2c=|F1F2|=|AB|=10，2a=|AF|+|AF2|=|AF|+|BF|=14，e=2c2a=57.

從大量習(xí)題中提煉出來(lái)的三模型，二意識(shí)，一公式在實(shí)踐的檢驗(yàn)中頗有建樹(shù)，未來(lái)還有兩個(gè)提升能力的方向：一.在平時(shí)的訓(xùn)練中有意識(shí)地識(shí)別三種模型，貫徹解題意識(shí)和使用重要公式；二.將本文的主要內(nèi)容推廣到圓和雙曲線上，同時(shí)繼續(xù)探究焦點(diǎn)在 軸時(shí)的情況，如果能夠獨(dú)立完成上述兩個(gè)問(wèn)題，那么你的解題能力一定會(huì)有一個(gè)質(zhì)的突破，所謂高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)就不再是難點(diǎn)了。