王佳

摘 要：數(shù)感即對數(shù)（學(xué)）的感知與運用能力，表現(xiàn)為理解數(shù)的意義，多種方法表示數(shù)，明確數(shù)的大小關(guān)系，能用數(shù)來表達(dá)和交流信息，為解決問題選擇合適的方法，估算結(jié)果并對結(jié)果做出合理性的解釋。文章運用發(fā)展心理學(xué)的基本原理，以運算為視角，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理展開分析，以運算教學(xué)為主要研究對象，通過對問題開放性、合作競爭、認(rèn)知和記憶策略的描述，以及對學(xué)生在運算中的積極方式進(jìn)行對比，探討合適的運算教學(xué)對學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)的促進(jìn)和推動作用。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；數(shù)感；運算；發(fā)展心理學(xué)；元認(rèn)知；元記憶

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1008-3561（2017）26-0056-02

一、前言

數(shù)感，即對數(shù)（學(xué)）的感知與運用能力，中小學(xué)階段主要表現(xiàn)為：理解數(shù)的意義，多種方法表示數(shù)，明確數(shù)的大小關(guān)系，能用數(shù)來表達(dá)和交流信息，為解決問題選擇合適的方法，估算結(jié)果并對結(jié)果做出合理性解釋。數(shù)感研究始于上世紀(jì)70年代，在擴(kuò)展學(xué)生課堂參與度、積極營造數(shù)學(xué)情境、利用身邊具體形象和實踐活動進(jìn)行感悟等方面做了探索并取得了較好的應(yīng)用性成果。

處于具體運算階段的學(xué)生，數(shù)感特征中感受性的強弱，絕對閾限的高低，直接作用著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思維的發(fā)展以及各學(xué)科抽象邏輯的應(yīng)用水平。其對多少、遠(yuǎn)近、大小等的清晰敏銳度也是洞察力和判斷力的心理基礎(chǔ)。小學(xué)階段貫穿始末的“運算教學(xué)”則是數(shù)感培育最直接、最有效的渠道，也是最廣闊的平臺。這個階段的運算包含了數(shù)之間的關(guān)系，加減乘除計算，結(jié)合具體情境的估算和解釋，靈活使用不同方法解決生活中簡單的問題，并對結(jié)果進(jìn)行合理性判斷。無論從哪方面講，運算在數(shù)感培養(yǎng)中有其不可或缺性。運算的習(xí)得與熟練，對數(shù)的思維體系和意識能力系統(tǒng)化發(fā)展提供了基礎(chǔ)保障。

兒童時期的孩子，思維獲得了飛躍發(fā)展，特別是邏輯思維開始逐漸成熟，抽象思維逐步占據(jù)主導(dǎo)，推理系統(tǒng)化，并逐步掌握了守恒，思維具備了可逆性，補償意識開始萌芽，這些都為數(shù)感的加強奠定了心理基礎(chǔ)。當(dāng)然，本文跳出了皮亞杰的階段認(rèn)知理論的圈圈，借助發(fā)展心理學(xué)的相關(guān)理論，重點研究小學(xué)階段運算的教與學(xué)，對“問題、競爭、認(rèn)知、記憶、錯誤”進(jìn)行探討，要解決的是由運算帶動數(shù)感在正常發(fā)展中提升的問題（表1）。

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二、開放問題設(shè)計，增強問題的邏輯性

兒童以具體形象思維為主，樂于以直觀來理解抽象。此時在運算的教學(xué)實際中，教師通常采用先建立數(shù)學(xué)模型，然后在數(shù)數(shù)中內(nèi)化知識，最后再通過運用口訣或簡單經(jīng)驗解決問題的模式。至四年級后，形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡。此時，對學(xué)生運算能力的訓(xùn)練，是發(fā)掘?qū)W生巨大潛力和促進(jìn)學(xué)生思維能力發(fā)展的最佳手段。這既體現(xiàn)學(xué)生在解決實際問題中對理解性和自由性的期待，又能幫助學(xué)生借助成功來“獲得勤奮感，克服自卑感”，從而完善自己的品格。

在教學(xué)“兩步計算應(yīng)用題”時，本文作者曾在所教的兩個班級運用了不同的方法。A班，例題：王老師帶著500元去買籃球，每只165元，買了3只，還剩多少元？學(xué)生獨立列式計算，教師指名匯報，集體進(jìn)行校對、講評。接著再依次出示幾道題，學(xué)生基本掌握了此類問題的解法。B班，相同例題，學(xué)生依舊獨立列式解答，教師講評。接著，教師板書列式：500-（165×3），讓學(xué)生自己編出四道這樣列式的應(yīng)用題。學(xué)生獨立編寫，教師指名匯報，教師再相機(jī)點評。可以說，B班同學(xué)的問題五花八門甚至稀奇古怪，但從思維角度來講，B班的多樣性足以讓每個學(xué)生體會身邊數(shù)（學(xué)）的豐富，感受數(shù)（學(xué)）的能量，而對數(shù)（學(xué)）產(chǎn)生潛意識中的高認(rèn)可度與接受性，提升了對數(shù)的感受性。

不僅在解決問題階段，在運算的初始建模中，多樣性對于方法和自我思維方向的選擇，擴(kuò)大開放性依然是很有效的。例如，菜市場的老大娘未必對數(shù)學(xué)的計算法則和簡便方法有過認(rèn)知，卻在稱出斤兩后迅速地告知你該付多少，爾后又找零多少，而此時的顧客往往落后于他們的反應(yīng)?；蛟S有人歸功于他們的記憶，但菜價與斤兩是兩個變量，況且也不太可能在事前列算過相關(guān)結(jié)果，背誦并不現(xiàn)實。其實，菜市場里的每個人不約而同有著自己的一套成熟的計算模式且運用自如。在此，可簡稱個性算法。在這樣的計算理念中，往往不需要過多的原理，只是自己喜歡，用來順手，結(jié)果正確。不可否認(rèn)，他們對數(shù)的感覺，至少在敏銳度方面是領(lǐng)先的。學(xué)生特別是中高年級的學(xué)生，是否也能有機(jī)會在運算問題中、在日常的練習(xí)過程中充分發(fā)揮個性算法，駕輕就熟，得出正確結(jié)果，解釋出結(jié)果的合理性呢？教育學(xué)者們喜歡對此冠以“張揚個性，釋放天性”來褒獎，而教師則只是思考過程中的道理，以及達(dá)到目標(biāo)方式與現(xiàn)有規(guī)則的融合。當(dāng)然，這一點在現(xiàn)在的教學(xué)實際中是有遺憾的，因為很少有在校學(xué)生有著各式創(chuàng)新思維方式而被鼓勵使用甚至加以推廣的。雖然網(wǎng)上也曾有過相關(guān)統(tǒng)計，運算靈活度高的孩子其思維的可逆性與演繹推理能力的發(fā)展要遠(yuǎn)遠(yuǎn)快于“死算”的孩子。

三、強化在合作環(huán)境下的競爭意識

比起合作，競爭更帶有明顯的主觀能動性與創(chuàng)新意識，并伴隨著堅強的意志及強烈的成功欲望。在小學(xué)階段，運算是競爭的最好“格斗場”。不論是日常普遍開展的口算速算這些純結(jié)果類的比拼，還是解讀多方法、探究性問題思路的較勁，潛移默化中學(xué)生將原有的對數(shù)（學(xué)）的理解應(yīng)用圖式在做著各種不同的有效的優(yōu)化與組合，加速了他們?nèi)蘸髮栴}切入點的把握，他們也更樂于去記下這些證明了自己能力的方法，或是可以記下別人贏取優(yōu)勢的過程，并引以為鑒，這樣形成的更多專屬個人的認(rèn)知方法和記憶策略是很重要的。在童年期兒童邏輯推理類別體系化形成初期，這無疑是很好的范式。

在教學(xué)第十冊“公倍數(shù)與公因數(shù)”時，教師對競爭的應(yīng)用非常頻繁。由于內(nèi)容本身是建立在整數(shù)乘除法之上，也不涉及更多其他知識基礎(chǔ)，所以學(xué)生參與面很大，積極度也高。在這個過程中老師始終是設(shè)計與仲裁的角色，期間的理解、尋找方法、計算、驗證、比對均由孩子們自己完成。挑戰(zhàn)這個以往錯誤率超過30%的單元需要勇氣，但競爭給了學(xué)生動力，部分學(xué)生特別是學(xué)困生在失利一兩次后也在總結(jié)方法，在集中注意力指向的過程中，對數(shù)的理解和原概念技能的重組捋清了復(fù)雜思維脈絡(luò)。endprint

當(dāng)然，競爭中的機(jī)械訓(xùn)練或訓(xùn)練強度過大，片面強調(diào)解題技巧，忽視通性算法都有可能造成學(xué)生思維跑偏，鉆牛角尖以及“被放棄”。這時，由于這個年齡段孩子尚無清晰的辯證思維，抽象本質(zhì)思維水平還處在摸索階段，教師必須隨時調(diào)整策略，對問題和方法適當(dāng)矯正，或分散難度或有效遷移，使學(xué)生達(dá)到準(zhǔn)確掌握知識和技能的要求。

四、有效形成元認(rèn)知與元記憶

7歲～12歲的兒童，其記憶容量已接近成人水平，又是認(rèn)知與記憶的密集期和形成期，此時，對于增加“庫存量”顯然是必要的。本文作者在學(xué)習(xí)圓周率時，老師就曾將“3.14159265358979”描述成“山頂一獅一虎救二鹿舞三舞把酒吃酒”，以致迄今都記憶猶新。運算的認(rèn)知能力、運算過程方法的記憶和記憶方法，對提高學(xué)生的理解力、判斷力和推理能力至關(guān)重要，特別是其中的估算和問題簡化技巧，對推動主動化認(rèn)知是相當(dāng)明顯的。當(dāng)人們的大腦皮層接收指令完成相應(yīng)發(fā)展多變的運算時，調(diào)動了更多細(xì)胞體神經(jīng)合作參與，其中整個協(xié)調(diào)和識別系統(tǒng)的影響是最大的，他們對不斷重復(fù)的經(jīng)過產(chǎn)生習(xí)慣化，并納入條件反射系統(tǒng)，服務(wù)于更高級的認(rèn)知與思維。創(chuàng)新意識、辨析求證等高階數(shù)感，便在這樣的基礎(chǔ)上深化發(fā)展。同樣，元記憶的積累也在綜合各組織的有效管理，以開發(fā)和利用更大容量記憶資源。因此，整個小學(xué)階段，利用多種形式和難度的運算來刺激學(xué)生，并鼓勵其對認(rèn)知方法和記憶策略進(jìn)行自我個性化改造，在正確有效的前提下加以推廣和加工，不僅是操作性極強的教學(xué)方式，也是符合該年齡段孩子好奇心與求知欲的合理學(xué)法。作為教師，在引導(dǎo)學(xué)生有意注意的同時，還要把握運算中的關(guān)鍵節(jié)點，適當(dāng)提醒復(fù)述，將瞬時記憶和短時記憶的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為長時記憶，增大學(xué)生知識技能容量，使學(xué)生在把握價值取向中體會數(shù)的實用性，領(lǐng)悟數(shù)的美感。但過于注重學(xué)生記憶的發(fā)展，看重認(rèn)知效率，結(jié)果也會不太理想。在日?；摹皵?shù)”的接觸中，教師把“數(shù)”教“活”的想法，同樣對于自我意識逐漸增強的學(xué)生起著促進(jìn)發(fā)展的特殊作用。數(shù)感的培養(yǎng)是一個過程，重點則在效果的漸漸體現(xiàn)。

學(xué)生到了高年級階段，開始有了自己的想法并嘗試提出質(zhì)疑，特別是當(dāng)教師的單一模式教學(xué)大量重復(fù)后，會被學(xué)生抵觸。本文作者在2016年畢業(yè)班的教學(xué)中，考前加大練習(xí)力度，反復(fù)以往的操作，非但無助于結(jié)果的改善，學(xué)生反而情緒低落造成其他問題的出現(xiàn)。效率與效果在小學(xué)階段特別是運算類教學(xué)中基本呈倒“U”型關(guān)系（表2）。

五、結(jié)束語

綜上所述，本文運用發(fā)展心理學(xué)的基本原理，以運算為視角，對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理展開分析，以小學(xué)階段的運算教學(xué)為主要研究對象，通過對問題開放性、合作競爭、認(rèn)知和記憶策略的描述，以及對學(xué)生在運算中的積極方式進(jìn)行對比，探討了合適的運算教學(xué)法對學(xué)生數(shù)感培養(yǎng)的促進(jìn)和推動作用，有助于學(xué)生解決問題能力和創(chuàng)造性思維能力的提高。

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