馬偉偉

學(xué)具是把“實(shí)際問題”抽象成“數(shù)學(xué)模型”有效的方式?；\統(tǒng)地講，凡是教學(xué)過程中使用的直觀用具，均可納入學(xué)具范疇。作為小學(xué)低段的數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該對(duì)學(xué)具在教學(xué)中的價(jià)值以及使用方法有正確的認(rèn)識(shí)。

一、學(xué)具在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的意義

1.使用學(xué)具可以化抽象為具體

兒童認(rèn)識(shí)事物遵循“感知—表象—概念”的規(guī)律，數(shù)學(xué)知識(shí)（數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)計(jì)算、解決問題）相對(duì)抽象，小學(xué)生處于由具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的時(shí)期，所以學(xué)生需要通過動(dòng)手操作來充分感知具體形象的事物，獲得感性認(rèn)識(shí)，形成知識(shí)的表象。在此基礎(chǔ)上，教師再引導(dǎo)學(xué)生深入探索，從事物的表象中概括出事物的本質(zhì)特征，從而形成抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)。

以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念“平均分”為例，我們可以為每組同桌提供6張印著蘋果的圖片，讓同桌分一分，想怎么分就怎么分，并記錄分的結(jié)果。學(xué)生可能會(huì)出現(xiàn)（1，5）（2，4）（3，3）（4，2）（5，1）的結(jié)果，然后追問：“哪種分法最公平？”學(xué)生通過觀察討論，知道（3，3）這種分法每人分得的個(gè)數(shù)“同樣多”，最公平，教師順勢(shì)告知這種分法有個(gè)特殊的名字，由此引出“平均分”的概念。借助實(shí)物圖片，學(xué)生經(jīng)歷了自由分的操作活動(dòng)，再通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生把直觀的分物過程與抽象的數(shù)學(xué)概念結(jié)合起來，使概念具體化，學(xué)生明白了平均分的本質(zhì)特征就是每份分得“同樣多”。

2.使用學(xué)具可以化解難題

教材中的一些拓展題只靠口頭分析及講解，學(xué)生很難理解，借助學(xué)具，有些難題就很容易被理解。以三年級(jí)下冊(cè)“面積”單元里的一道拓展題為例?！巴趵蠋煘樾∨笥褱?zhǔn)備了一張長32厘米、寬15厘米的長方形彩紙，最多可以剪成邊長是2厘米的正方形彩紙多少張？”很多學(xué)生都用大面積除以小面積的方法求出120個(gè)，但也有一部分學(xué)生注意到了大長方形紙不夠剪整個(gè)小正方形那部分，其中有學(xué)生親手做了學(xué)具，我把這位學(xué)生的作品展示給大家，很多學(xué)生都恍然大悟。我請(qǐng)學(xué)生交流為什么不能用大面積除以小面積的方法，并請(qǐng)學(xué)生思考究竟要怎樣列式解題。學(xué)生在觀察、思考、交流中明白了，先求出一行能剪幾個(gè)（和大長方形的長有關(guān)系），再求能剪這樣的幾行（和大長方形的寬有關(guān)系），問題就解決了。我繼續(xù)追問：“我覺得大面積除以小面積的方法也很好，想想什么情況下我們也能選用這種方法？”學(xué)生在交流經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上很快明白，當(dāng)長和寬除以小正方形的邊長都能除盡的情況下使用這種方法正好。有了這一份學(xué)具，做錯(cuò)的學(xué)生不僅認(rèn)識(shí)到自己錯(cuò)在哪里，而且明白了這類問題的解決方法。

3.使用學(xué)具可以化被動(dòng)為主動(dòng)

使用學(xué)具，會(huì)改善學(xué)生聽教師講、學(xué)生看教師做的被動(dòng)性。學(xué)生能親自參與知識(shí)產(chǎn)生的過程，向教師主動(dòng)發(fā)問，向同伴大膽質(zhì)疑。

再以“面積”單元的拓展題為例，在討論過程中，有位學(xué)生舉手提問：“我有個(gè)想法，如果剪的不是正方形，而是長方形，應(yīng)該怎么計(jì)算呢？”我心中竊喜，學(xué)生真的在主動(dòng)思考了！于是我首先肯定了她的問題，在課后留了一份手工作業(yè)：每位學(xué)生制作兩張長方形卡片（長30厘米，寬24厘米）。學(xué)生完成后，我篩選出可以忽略誤差的作品，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考：這樣的一張長方形卡片最多能剪多少個(gè)長10厘米、寬8厘米的長方形？學(xué)生通過量一量、畫一畫、剪一剪，得到9個(gè)這樣的小長方形。課上我先請(qǐng)學(xué)生把剪好的小長方形密鋪在另外一張大長方形紙上，檢驗(yàn)結(jié)果是否正確。在直觀的展示下，學(xué)生觀察到這一張大長方形的紙確實(shí)能剪出9個(gè)小長方形。我繼續(xù)提問：“剛才同學(xué)們通過剪紙找到了結(jié)果，誰會(huì)通過列式解決問題呢？”有了操作的經(jīng)驗(yàn)和密鋪的直觀感受，學(xué)生很快提到先求出一行能剪幾個(gè)，也就是30÷10=3。我追問：“誰能把這個(gè)算式表示的意思擺出來？”看到一個(gè)個(gè)舉起的小手，我知道他們真明白了。然后學(xué)生用24÷8=3，求出能剪這樣的幾行，我又讓學(xué)生擺出了這一步表示的意思，最后3×3=9順其自然。接著我故意制造沖突，我把小長方形的長邊對(duì)著大長方形的寬鋪，問：“怎么鋪了6個(gè)就不能再鋪了？這樣剪也行??！”生：“題中說的是最多！”我：“那到底怎樣剪才能剪出最多的三角形呢？”“剛好能除盡、余數(shù)小的……”我聽懂了他們的想法，只是學(xué)生用語言表述有些困難，于是我用一個(gè)具體例子引導(dǎo)他們思考。我把黑板上的長方形紙的長由30厘米假設(shè)成48厘米，寬由24厘米假設(shè)成30厘米，問這張紙最多能剪多少個(gè)長10厘米、寬8厘米的長方形，應(yīng)該怎么剪?！柏Q著剪，因?yàn)?0除以10能整除，48除以8也能整除?！钡墙又吐牭健叭绻加杏鄶?shù)怎么辦？”“可不可以有的橫著剪，有的豎著剪”……學(xué)生們真的在思考，他們的想法如何落實(shí)，還需要后續(xù)的操作來驗(yàn)證。課下我和一位學(xué)生交流：“咱班同學(xué)的想法真好，還想到了橫著和豎著結(jié)合著剪?！边@位學(xué)生笑著說：“這樣比較復(fù)雜，得把大長方形分成兩部分計(jì)算?！笨梢钥匆?，學(xué)生在動(dòng)手操作中，不斷地思考，有質(zhì)疑、有驗(yàn)證，這樣的學(xué)習(xí)過程不正是我們想要的嗎！

二、對(duì)學(xué)具的開發(fā)與應(yīng)用的思考

1.學(xué)具的來源

在小學(xué)低段和教材內(nèi)容配套的學(xué)具太少，除了教材最后附頁中的一些圖片或圖形外，沒有現(xiàn)成的學(xué)具，所以學(xué)具主要靠教師組織準(zhǔn)備。有些常規(guī)學(xué)具需要學(xué)生人手一份，比如計(jì)數(shù)器、小棒、七巧板，教師就要組織學(xué)生統(tǒng)一購買，在這里要提醒大家在購買時(shí)最好選用材料穩(wěn)固可以長期保存使用的產(chǎn)品（我們當(dāng)時(shí)統(tǒng)一購買的計(jì)數(shù)器很多都已損壞）。教師自制的學(xué)具從數(shù)量上有3種情況：每人一份；每組一份；單獨(dú)一份既做教具又做學(xué)具。有時(shí)教師也會(huì)請(qǐng)學(xué)生自己制作或從家里帶一些物品作為學(xué)具，往往不能保質(zhì)保量。所以我還是期待每位學(xué)生都有自己的學(xué)具袋，保證與教材內(nèi)容相關(guān)的學(xué)具都有，教師就可以在現(xiàn)有學(xué)具的基礎(chǔ)上進(jìn)行進(jìn)一步的開發(fā)應(yīng)用。

2.學(xué)具的開發(fā)

首先可以使用實(shí)物，比如《數(shù)花生》中用的各種豆子；再比如華應(yīng)龍?jiān)凇队螒蛞?guī)則的公平性》中用啤酒瓶蓋、骰子、硬幣作為學(xué)具。只要用心，生活中的許多實(shí)物都可以被開發(fā)成學(xué)具。也可以用模型替代，比如《認(rèn)識(shí)鐘表》所用的鐘表模型，還有四年級(jí)《烙餅問題》用厚紙板剪一個(gè)橢圓代表鍋，剪三個(gè)圓形代替餅，圓形的正反兩面涂上不同顏色代表餅的正反面，制作“烙餅?zāi)Ｐ汀?。還可以圖像模擬，比如實(shí)物圖形——?jiǎng)游?、食物、汽車圖像卡片等，在低段教學(xué)中特別受學(xué)生喜歡，再比如制作數(shù)字卡片和符號(hào)卡片搭配使用進(jìn)行四則計(jì)算。另外，我相信如果教師有更強(qiáng)的創(chuàng)新精神與扎實(shí)的專業(yè)知識(shí)，應(yīng)該還能制作出難度較大的學(xué)具，比如儀器。不管我們?nèi)绾伍_發(fā)學(xué)具，有兩點(diǎn)要研究：學(xué)具與教學(xué)內(nèi)容的關(guān)聯(lián)性；學(xué)生操作這些學(xué)具的便捷性。這樣學(xué)具才能發(fā)揮出實(shí)效性。

3.學(xué)具應(yīng)用中的調(diào)控

學(xué)具開發(fā)得好是前提，要想發(fā)揮學(xué)具的實(shí)效性，需要教師的調(diào)控。首先，學(xué)生操作前，教師要引導(dǎo)學(xué)生明確動(dòng)手操作的目的、要解決的問題，還要讓學(xué)生清晰操作的流程，這樣學(xué)生的操作才是有序的，學(xué)生的思維才是有目的的。其次，學(xué)生在操作過程中，教師要及時(shí)巡視，參與到多組活動(dòng)中進(jìn)行調(diào)控，促進(jìn)學(xué)生清晰地認(rèn)識(shí)自己正在經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動(dòng)。對(duì)于學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生，要鼓勵(lì)他們創(chuàng)新，對(duì)于學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生，給予示范點(diǎn)撥。同時(shí)關(guān)注個(gè)性化的思維，這樣可以平衡活動(dòng)的進(jìn)度。最后，學(xué)生活動(dòng)結(jié)束后，教師要組織研討，學(xué)生有自己的發(fā)現(xiàn)后最渴望表達(dá)分享，教師可以先讓學(xué)生在組內(nèi)交流，再在全班分享。教師還要根據(jù)巡視中了解的情況，請(qǐng)不同層次的學(xué)生進(jìn)行分享，并組織大家積極評(píng)價(jià)、建議，讓學(xué)生在研討中充分感受操作的過程與結(jié)果，逐步建立清晰的知識(shí)表象，從而促進(jìn)抽象知識(shí)的建構(gòu)。

（作者單位：北京師范大學(xué)亞太實(shí)驗(yàn)學(xué)校）

責(zé)任編輯：肖佳曉

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