潘俊朋+桑運曉+呂國娜+任保飛+劉樹駿

摘 要：：本文首先通過分析單級倒立擺系統(tǒng)建立相應(yīng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型，然后對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行LQR 控制器設(shè)計，最后使用Matlab 進(jìn)行仿真，結(jié)果表明在本文加權(quán)矩陣Q、R 的取值下，LQR 控制器可使系統(tǒng)達(dá)到有效的控制，小車位置跟著擺桿的角度動作，系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間、較小的超調(diào)量和較好的動靜態(tài)性能。

關(guān)鍵詞：倒立擺 Matlab LQR 控制

一、前言

單級倒立擺系統(tǒng)是一種不穩(wěn)定、多變量且具有強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)。如果把它當(dāng)做一個單輸出系統(tǒng)來處理將無法到達(dá)控制要求，所以對于這樣的多輸出系統(tǒng)，我們需要用到狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型來對其進(jìn)行分析。

二、建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型

為了方便而又不失精確的對單級倒立擺系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，實際中忽略一些次要的因素后的一級倒立擺系統(tǒng)簡圖如圖1所示，系統(tǒng)受力分析如圖2所示。

定義各參數(shù)：作用在小車的外力用F表示；擺桿與垂直向上方向的夾角用φ表示；擺桿與垂直向下方向的夾角用θ表示；采樣時間為T=0.005s；擺桿的質(zhì)量為m=0.2kg；擺桿的慣量為I=0.006kg*m*m；擺桿轉(zhuǎn)動軸心到擺桿質(zhì)心的距離為l=0.3m；小車的摩擦系數(shù)為b=0.1N/m/sec；小車的質(zhì)量為M=0.5kg；小車的位置用x表示。

應(yīng)用Newton方法來建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程并經(jīng)過整理后得到系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：

三、LQR控制器設(shè)計及其Matlab仿真

為了同時對小車的位置和擺桿的角度都進(jìn)行有效控制，我們使用線性二次性最優(yōu)控制算法（LQR）。這種控制算法在現(xiàn)代控制理論中占有舉足輕重的地位，通過多年的研究，使最優(yōu)控制算法得到越來越廣泛的工程應(yīng)用。

LQR控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。其中R是作用于小車的階躍信號，四個狀態(tài)量 和 分別代表小車的位移和速度、擺桿的位置和角速度。設(shè)計這個控制器的目的就是要達(dá)到以下效果：當(dāng)給系統(tǒng)作用一個階躍信號輸入時，擺桿晃動后會重新回到垂直位置，小車會重新處于一個命令位置。

通過Matlab仿真程序求出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣如下：

系統(tǒng)是能控的是最優(yōu)控制的前提條件，需要先判斷系統(tǒng)的能控能觀性：

系統(tǒng)的能控矩陣的秩：rank[B AB A2B A3B]=4；

系統(tǒng)的能觀矩陣的秩：rank[C CA CA2 CA3]=4。所以，系統(tǒng)是能控能觀的。

在使用LQR算法進(jìn)行控制器設(shè)計時，主要是求得反饋向量K的值。為了使問題簡化及加權(quán)矩陣具有比較明確的物理意義，將Q取為對角陣。經(jīng)過實驗取

編寫LQR的m文件，使用Matlab控制系統(tǒng)工具箱中的lqr函數(shù)進(jìn)行運算，得到反饋控制向量：K=[-70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238]。

運行得到仿真曲線，即LQR控制階躍響應(yīng)曲線如圖4所示。

從系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖中可以看出，在本文加權(quán)矩陣Q、R的取值下，LQR控制器可使系統(tǒng)達(dá)到有效的控制，小車位置跟著擺桿的角度動作，系統(tǒng)具有較短的調(diào)整時間、較小的超調(diào)量，符合設(shè)計要求。

參考文獻(xiàn)：

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