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        運(yùn)用行列式求解平面法向量

        2017-09-15 10:29:26汪澤辰
        科教導(dǎo)刊·電子版 2017年24期
        關(guān)鍵詞:求解行列式

        汪澤辰

        摘 要 在求解有關(guān)立體幾何的問(wèn)題時(shí),常常要用到法向量。用法向量求解決有關(guān)二面角的問(wèn)題。相比如其它方法更直接也容易下手,而在求法向量的過(guò)程中往往會(huì)出錯(cuò),因?yàn)樾枰?lián)立三元一次方程,計(jì)算量大。因此,可以用一種更為簡(jiǎn)單且不易出錯(cuò)的方法求解法向量,這便是行列式。

        關(guān)鍵詞 行列式 法向量 求解

        中圖分類號(hào):G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A

        1什么是行列式?

        行列式在數(shù)學(xué)中,是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式,是取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。

        對(duì)于二階和三階行列式計(jì)算比較容易,中學(xué)生通過(guò)基本定義可以快速理解。

        2應(yīng)用行列式求法向量

        然而行列式對(duì)于立體幾何求解法向量,可以大大的降低運(yùn)算,尤其針對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。如下:

        已知平面內(nèi)不共線的兩向量

        設(shè)其法向量為,在三個(gè)方向的分項(xiàng)是為

        則有:

        3例題分析

        例1:平面,是矩形,與平面所成角是,點(diǎn)下是的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上移動(dòng),當(dāng)為何值時(shí),二面角的大小為

        分析:因?yàn)槊?,那么為面的法向量那么可以設(shè)面的法向量為,并用將表示。

        解:設(shè)

        以為原點(diǎn),

        為軸正方向

        為軸正方向

        為軸正方向

        建立空間坐標(biāo)系:

        解得:

        例2:(2013,湖南)在直棱柱中,,,,,求直線與平面所成角的正弦值

        分析:題中無(wú)虛設(shè)未知數(shù),那么可以求出平面的法向量

        解:常規(guī)解法

        設(shè)是平面的一個(gè)法向量,

        則 令,則

        設(shè)于平面所成角為

        使用行列式求解

        解得法向量

        評(píng)注:若與互相垂直的向量坐標(biāo)都不為0,那么運(yùn)算量不僅大,驗(yàn)算也很麻煩。若用行列式,便顯得簡(jiǎn)潔明了,以減少計(jì)算中出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤。endprint

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