汪澤辰
摘 要 在求解有關(guān)立體幾何的問(wèn)題時(shí),常常要用到法向量。用法向量求解決有關(guān)二面角的問(wèn)題。相比如其它方法更直接也容易下手,而在求法向量的過(guò)程中往往會(huì)出錯(cuò),因?yàn)樾枰?lián)立三元一次方程,計(jì)算量大。因此,可以用一種更為簡(jiǎn)單且不易出錯(cuò)的方法求解法向量,這便是行列式。
關(guān)鍵詞 行列式 法向量 求解
中圖分類號(hào):G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A
1什么是行列式?
行列式在數(shù)學(xué)中,是由解線性方程組產(chǎn)生的一種算式,是取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和。
對(duì)于二階和三階行列式計(jì)算比較容易,中學(xué)生通過(guò)基本定義可以快速理解。
2應(yīng)用行列式求法向量
然而行列式對(duì)于立體幾何求解法向量,可以大大的降低運(yùn)算,尤其針對(duì)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。如下:
已知平面內(nèi)不共線的兩向量
設(shè)其法向量為,在三個(gè)方向的分項(xiàng)是為
則有:
即
3例題分析
例1:平面,是矩形,與平面所成角是,點(diǎn)下是的中點(diǎn),點(diǎn)在邊上移動(dòng),當(dāng)為何值時(shí),二面角的大小為
分析:因?yàn)槊?,那么為面的法向量那么可以設(shè)面的法向量為,并用將表示。
解:設(shè)
以為原點(diǎn),
為軸正方向
為軸正方向
為軸正方向
建立空間坐標(biāo)系:
解得:
例2:(2013,湖南)在直棱柱中,,,,,求直線與平面所成角的正弦值
分析:題中無(wú)虛設(shè)未知數(shù),那么可以求出平面的法向量
解:常規(guī)解法
設(shè)是平面的一個(gè)法向量,
則 令,則
設(shè)于平面所成角為
使用行列式求解
解得法向量
評(píng)注:若與互相垂直的向量坐標(biāo)都不為0,那么運(yùn)算量不僅大,驗(yàn)算也很麻煩。若用行列式,便顯得簡(jiǎn)潔明了,以減少計(jì)算中出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤。endprint