黃紹書 蔣金團(tuán)

(1. 六盤水市第23中學(xué),貴州 六盤水 553000; 2. 施甸縣第一中學(xué),云南 保山 678200)

自行車“轉(zhuǎn)彎不倒”問(wèn)題的研究

黃紹書1蔣金團(tuán)2

(1. 六盤水市第23中學(xué),貴州 六盤水 553000; 2. 施甸縣第一中學(xué),云南 保山 678200)

簡(jiǎn)單介紹對(duì)自行車在水平彎道上“轉(zhuǎn)彎不倒”問(wèn)題的理解上存在的誤區(qū)與困擾．著重根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩平衡,從轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)懸空的角度,剖析其“轉(zhuǎn)彎不倒”的約束關(guān)系,并給出不倒條件下的最大角速度的解析式．

自行車轉(zhuǎn)彎; 剛體轉(zhuǎn)動(dòng); 離心力效應(yīng); 陀螺效應(yīng)

1 引言

自行車發(fā)明至今已有200多年,關(guān)于自行車穩(wěn)定性問(wèn)題的研究和討論同樣有同樣悠久的歷史．特別是自行車轉(zhuǎn)彎時(shí),人和車都總是向彎道的內(nèi)側(cè)傾斜,人和車組成的系統(tǒng)(以下簡(jiǎn)稱人車系統(tǒng))的重力作用線不在支撐面上,那么,為什么人車系統(tǒng)不會(huì)傾倒呢?這方面已發(fā)表的科普文獻(xiàn)近百篇,[1]但基本都未離開離心力效應(yīng)和陀螺效應(yīng)的觀點(diǎn)．

關(guān)于自行車穩(wěn)定性原理的討論從未停止,并幾度掀起熱潮,還曾有對(duì)流行上百年的離心力效應(yīng)和陀螺效應(yīng)的傳統(tǒng)觀點(diǎn)的懷疑．

圖1

2012年1月,美國(guó)科普雜志Discover Magazine評(píng)選了2011年全球100個(gè)頂尖科學(xué)故事．其中“自行車的新物理”榮居第26位．為此,作為最普及的大眾簡(jiǎn)易交通工具的自行車,其困擾公眾“轉(zhuǎn)彎不倒”的問(wèn)題再度熱議起來(lái)．

2 誤區(qū)與困擾

如圖1所示,自行車在水平彎道轉(zhuǎn)彎時(shí),受到3個(gè)力作用,即人車系統(tǒng)的重力mg、路面對(duì)車輪的支持力FN及法向摩擦力f．

設(shè)人車系統(tǒng)做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ω、軌道半徑為r．那么,在豎直方向

FN-mg=0，

(1)

即FN與mg等大反向,合力為0．

在水平方向

f=mrω2，

(2)

即摩擦力f提供轉(zhuǎn)彎所需的向心力．

顯然,這一分析過(guò)程中,沒(méi)有考慮人車系統(tǒng)的空間尺度,也沒(méi)有考慮支持力FN與重力mg之間是非共點(diǎn)力的關(guān)系,僅將人車系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)考慮成質(zhì)點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)．因此,這一分析不能解釋轉(zhuǎn)彎“不倒”的問(wèn)題．

圖2

事實(shí)上,人車系統(tǒng)是一個(gè)相對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)．那么,什么力的力矩與重力力矩平衡,使得人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎“不倒”,而維系著動(dòng)態(tài)平衡狀態(tài)呢?這就是公眾不能釋疑的根本性困擾．

3 “不倒”的條件

為了便于討論,將人車系統(tǒng)簡(jiǎn)化成剛體．人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎時(shí),實(shí)際是繞某一豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng),其轉(zhuǎn)動(dòng)面為一圓錐面,如圖2所示．

受力情況與圖1一致,不再贅述．設(shè)人車系統(tǒng)的重心為O,轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的傾斜角為θ、轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)(相對(duì))為P,轉(zhuǎn)動(dòng)軸為過(guò)P點(diǎn)的豎直軸,路面支撐動(dòng)點(diǎn)S與O、P之間的距離分別為l和L．那么,重力mg、支持力FN和摩擦力f對(duì)P點(diǎn)的力矩分別為

MG=mg·(L-l)·cosθ.

(3)

MF=FN·L·cosθ.

(4)

Mf=f·L·sinθ.

(5)

由圖2可知,支持力FN與重力mg的大小是相等的．在人車系統(tǒng)逐漸傾斜過(guò)程中,主動(dòng)力矩MG和MF將隨傾斜角θ的減小而增大,而被動(dòng)力矩Mf的變化比較復(fù)雜,因?yàn)槟﹂吡的大小與其力臂存在相反的變化趨勢(shì)．人車系統(tǒng)“倒”與“不倒”,完全決定于這3個(gè)力矩之間的約束關(guān)系．在人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的角速度沒(méi)有超過(guò)最大角速度之前,摩擦力的大小就處在0與最大靜摩擦力fm之間的變化范圍,且摩擦力的大小由人車系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度、轉(zhuǎn)動(dòng)半徑及傾斜角確定,見(jiàn)以下(6)～(11)式的推導(dǎo)．這時(shí),摩擦力矩Mf也隨之變化．

(1) 當(dāng)Mf>MF-MG,即

4 最大角速度

人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的最大角速度ωm與人車系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)(相對(duì))P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J或回轉(zhuǎn)半徑r0有關(guān),[2]同時(shí)還與人車系統(tǒng)的最小傾斜角θn有關(guān)．

再次將人車系統(tǒng)進(jìn)一步看成質(zhì)量均勻分布的細(xì)柱型剛體．根據(jù)前面設(shè)定,人車系統(tǒng)的豎直面總長(zhǎng)度應(yīng)為2l．令人車系統(tǒng)的線密度為λ．在距離圖2中的P點(diǎn)為r處,取一長(zhǎng)度元dr,則長(zhǎng)度元的質(zhì)量為dm=λdr．因此,人車系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)(相對(duì))P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(6)

回轉(zhuǎn)半徑為

(7)

若設(shè)車輪與路面之間的最大靜摩擦因數(shù)為μm,那么,由圖2可知,人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎的最小傾斜角θn滿足

(8)

由于地面對(duì)車輪的支持力FN等于人車系統(tǒng)的重力mg,因此人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎過(guò)程中受到路面的最大靜摩擦力fm為

fm=μm·mg.

(9)

這一最大靜摩擦力就是人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎時(shí)的最大向心力．剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),由于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響,向心力應(yīng)等效作用于剛體的微分質(zhì)量集中點(diǎn)．因此,人車系統(tǒng)轉(zhuǎn)彎過(guò)程中,最大角速度ωm滿足

fm=mr0ωm2cosθn.

(10)

代入各量代數(shù)式,化簡(jiǎn)可得

(11)

5 結(jié)語(yǔ)

圖2中的轉(zhuǎn)動(dòng)固定點(diǎn)P以及過(guò)該點(diǎn)的豎直軸是相對(duì)的,具體要由人車系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程確定．因此,各式中涉及的路面支撐點(diǎn)S與轉(zhuǎn)動(dòng)定點(diǎn)P之間的距離L以及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J、回轉(zhuǎn)半徑r0、最大角速度ωm等也都是相對(duì)的．

本文的分析還不很徹底,迫切期待同行及專家們的指導(dǎo)和對(duì)該問(wèn)題的進(jìn)一步深入探討．

1 劉延柱.關(guān)于自行車的穩(wěn)定性[J].力學(xué)與實(shí)踐，2012，2(34):90-93.

2 哈爾濱工業(yè)大學(xué)理論力學(xué)教研室.理論力學(xué)(Ⅰ)[M].北京：高等教育出版社，2009，7(7):259-272.

2017-02-12)